Devoir en temps libre no.1

Cycle Préparatoire Polytechnique 2ème année
Devoir de Mathématiques n˚1
Cours : Espaces Vectoriels Normés
à remettre le mercredi 8 février 2006
Consignes : veillez à apporter un soin particulier à la présentation de votre
copie. Soignez également la rédaction des réponses, n’oubliez pas de quantifier.
Tout résultat, même juste, ne se verra attribuer aucun point s’il n’est pas justifié.
Bon courage !
Notations du problème et préliminaires : dans tout le problème, (E, N)et (F, k.k)désigne-
ront deux espaces vectoriels normés. Xdésignera une partie de Eet Y, une partie de F. Le but
de ce problème est de démontrer quelques propriétés caractéristiques des applications uniformé-
ment continues pour en déduire un théorème très célèbre d’Analyse : le théorème de Heine. Nous
tenterons alors de l’utiliser pour calculer des sommes.
Rappelons au préalable la définition d’une application uniformément continue :
Définition.
Soit f:X−→ Y.fest dite uniformément continue si, et seulement si :
∀ε > 0,∃η > 0 : ∀(x, y)∈E2, N(x−y)< η =⇒ kf(x)−f(y)k< ε.
ηs’appelle le module de continuité uniforme et est parfois noté η:= ω(f, ε).
Soit f:X−→ Y, une fonction uniformément continue.
1. Démontrer que fest continue sur X.
2. (a) Donner (en le justifiant, d’après la définition ci-dessus), un exemple de fonction uni-
formément continue sur Rou une partie de R, à l’exception des fonctions constantes
ou affines.
(b) Supposons dans cette question que Xdésigne un intervalle de R, et Y, une partie
de R. Supposons de plus que fest dérivable et que sa dérivée est bornée. Démontrer
qu’alors, fest uniformément continue.
(c) Soit (an)n∈N, une suite de réels telle que
+∞
X
k=0
|ak|<+∞. Soit (λn)n∈N, une suite
quelconque de réels. On définit la fonction fsur Rpar : f(x) :=
+∞
X
k=0
akeiλkx.
Montrer que fest bien définie et continue sur R, puis donner (en justifiant) une
condition suffisante portant sur la suite de réels (λn)n∈Npour que fsoit uniformément
continue sur R.
Indication : on utilisera un théorème relatif à la continuité d’une série de fonction,
puis un théorème relatif à la dérivabilité sous le signe somme.
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3. Soient (un)n∈Net (vn)n∈N, deux suites d’éléments de Etelles que : lim
n→+∞N(un−vn) = 0.
(a) Montrer que lim
n→+∞kf(un)−f(vn)k= 0.
(b) Soit ϕ:N−→ N, une application strictement croissante.
Démontrer que lim
n→+∞kf(uϕ(n))−f(vϕ(n))k= 0.
(c) Supposons à présent et dans cette question uniquement, que fest non uniformément
continue.
Démontrer l’existence de deux suites d’élements de E,(un)n∈Net (vn)n∈Nvérifiant
lim
n→+∞N(un−vn) = 0 et telles qu’il n’existe pas d’application ϕ:N−→ N, strictement
croissante telle que la suite kf(uϕ(n))−f(vϕ(n))kn∈Nconverge vers 0.
(d) Énoncer le théorème que l’on vient de démontrer.
4. Soit ϕ:R−→ R
x7−→ sin(x2)
.
Montrer, en utilisant le théorème précédent, que ϕn’est pas uniformément continue.
5. Soit Γ, une partie de E. On suppose dans cette question que l’espace vectoriel normé E
possède la propriété Csuivante : « Si (wn)n∈Nest une suite d’éléments de E, alors, il existe
ϕ:N−→ N, une application strictement croissante telle que (wϕ(n))n∈Nest convergente
dans E. Soit h: Γ −→ Z⊂F.
Démontrer que hest continue sur Γsi, et seulement si hest uniformément continue sur Γ.
Remarque : le théorème que l’on vient de démontrer s’appelle le « théorème de Heine ».
6. Une application du théorème de Heine. Soit [a, b], un segment de Ret f: [a, b]−→ R,
une application continue. Soit n, un entier naturel strictement positif donné. Posons pour
tout entier k∈ {0, n −1},αk=a+kb−a
n.
(a) Soit ε > 0, un réel fixé. Démontrer qu’il existe N∈Ntel que :
n≥N=⇒
Zαk+1
αk
f(x).dx −(αk+1 −αk)f(αk)
≤(αk+1 −αk)ε.
(b) En déduire que : Zb
a
f(x).dx = lim
n→+∞
b−a
n
n−1
X
k=0
fa+kb−a
n.
Indication : on commencera par utiliser une relation de Chasles sur les intégrales.
(c) Calculer, si elles existent, les limites des suites (S1
n)n∈Net (S2
n)n∈N, respectivement
définies pour tout entier naturel npar :
S1
n:= 1
n2
n−1
X
k=0 pk(n−k)et S2
n:=
n
X
k=1
n
n2+k2.
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