Cycle Préparatoire Polytechnique 2ème année Devoir de Mathématiques n˚1 Cours : Espaces Vectoriels Normés à remettre le mercredi 8 février 2006 Consignes : veillez à apporter un soin particulier à la présentation de votre copie. Soignez également la rédaction des réponses, n’oubliez pas de quantifier. Tout résultat, même juste, ne se verra attribuer aucun point s’il n’est pas justifié. Bon courage ! Notations du problème et préliminaires : dans tout le problème, (E, N ) et (F, k.k) désigneront deux espaces vectoriels normés. X désignera une partie de E et Y , une partie de F . Le but de ce problème est de démontrer quelques propriétés caractéristiques des applications uniformément continues pour en déduire un théorème très célèbre d’Analyse : le théorème de Heine. Nous tenterons alors de l’utiliser pour calculer des sommes. Rappelons au préalable la définition d’une application uniformément continue : Définition. Soit f : X −→ Y . f est dite uniformément continue si, et seulement si : ∀ε > 0, ∃η > 0 : ∀(x, y) ∈ E 2 , N (x − y) < η =⇒ kf (x) − f (y)k < ε. η s’appelle le module de continuité uniforme et est parfois noté η := ω(f, ε). Soit f : X −→ Y , une fonction uniformément continue. 1. Démontrer que f est continue sur X. 2. (a) Donner (en le justifiant, d’après la définition ci-dessus), un exemple de fonction uniformément continue sur R ou une partie de R, à l’exception des fonctions constantes ou affines. (b) Supposons dans cette question que X désigne un intervalle de R, et Y , une partie de R. Supposons de plus que f est dérivable et que sa dérivée est bornée. Démontrer qu’alors, f est uniformément continue. +∞ X (c) Soit (an )n∈N , une suite de réels telle que |ak | < +∞. Soit (λn )n∈N , une suite k=0 quelconque de réels. On définit la fonction f sur R par : f (x) := +∞ X k=0 ak eiλk x . Montrer que f est bien définie et continue sur R, puis donner (en justifiant) une condition suffisante portant sur la suite de réels (λn )n∈N pour que f soit uniformément continue sur R. Indication : on utilisera un théorème relatif à la continuité d’une série de fonction, puis un théorème relatif à la dérivabilité sous le signe somme. 1 3. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N , deux suites d’éléments de E telles que : lim N (un − vn ) = 0. n→+∞ (a) Montrer que lim kf (un ) − f (vn )k = 0. n→+∞ (b) Soit ϕ : N −→ N, une application strictement croissante. Démontrer que lim kf (uϕ(n) ) − f (vϕ(n) )k = 0. n→+∞ (c) Supposons à présent et dans cette question uniquement, que f est non uniformément continue. Démontrer l’existence de deux suites d’élements de E, (un )n∈N et (vn )n∈N vérifiant lim N (un −vn ) = 0 et telles qu’il n’existe pas d’application ϕ : N −→ N, strictement n→+∞ croissante telle que la suite kf (uϕ(n) ) − f (vϕ(n) )k n∈N converge vers 0. (d) Énoncer le théorème que l’on vient de démontrer. 4. Soit ϕ : R −→ R . x 7−→ sin(x2 ) Montrer, en utilisant le théorème précédent, que ϕ n’est pas uniformément continue. 5. Soit Γ, une partie de E. On suppose dans cette question que l’espace vectoriel normé E possède la propriété C suivante : « Si (wn )n∈N est une suite d’éléments de E, alors, il existe ϕ : N −→ N, une application strictement croissante telle que (wϕ(n) )n∈N est convergente dans E. Soit h : Γ −→ Z ⊂ F . Démontrer que h est continue sur Γ si, et seulement si h est uniformément continue sur Γ. Remarque : le théorème que l’on vient de démontrer s’appelle le « théorème de Heine ». 6. Une application du théorème de Heine. Soit [a, b], un segment de R et f : [a, b] −→ R, une application continue. Soit n, un entier naturel strictement positif donné. Posons pour b−a . tout entier k ∈ {0, n − 1}, αk = a + k n (a) Soit ε > 0, un réel fixé. Démontrer qu’il existe N ∈ N tel que : Z α k+1 n ≥ N =⇒ f (x).dx − (αk+1 − αk )f (αk ) ≤ (αk+1 − αk )ε. αk n−1 b−a b−aX . f a+k f (x).dx = lim (b) En déduire que : n→+∞ n n a k=0 Indication : on commencera par utiliser une relation de Chasles sur les intégrales. Z b (c) Calculer, si elles existent, les limites des suites (Sn1 )n∈N et (Sn2 )n∈N , respectivement définies pour tout entier naturel n par : Sn1 := n−1 1 Xp k(n − k) n2 k=0 2 et Sn2 := n X k=1 n . n2 + k 2