Uniforme continuité

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Uniforme continuité
Exercice 1 [ 01818 ] [correction]
Montrer que x7→ √xest uniformément continue sur R+.
Exercice 2 [ 01819 ] [correction]
Montrer que x7→ ln xn’est pas uniformément continue sur R+?.
Exercice 3 [ 01820 ] [correction]
Montrer que x7→ xln xest uniformément continue sur ]0,1].
Exercice 4 [ 02821 ] [correction]
Soit f:R+→Runiformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifs a
et btels que
∀x>0,|f(x)|6ax +b
Exercice 5 [ 03034 ] [correction]
Soit f: [0,1[ →Runiformément continue. Montrer que fest bornée.
Exercice 6 [ 03035 ] [correction]
Soit f:R+→Rcontinue et tendant vers 0 à l’infini.
Montrer que fest uniformément continue.
Exercice 7 [ 03153 ] [correction]
Soit f:R+?→Rune fonction uniformément continue vérifiant
∀x > 0, f(nx)−−−−→
n→∞ 0
Montrer que fconverge vers 0 en +∞.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Pour y>x>0,
(√y−√x)2=y+x−2√xy 6y−x
donc √y−√x6√y−x
Par symétrie
∀x, y >0,√y−√x6p|y−x|
Soit ε > 0. Considérons η=ε2>0.
Pour tout x, y >0,
|y−x|6η⇒√y−√x6p|y−x|6√η=ε
La fonction racine carrée est donc uniformément continue.
Exercice 2 : [énoncé]
Par l’absurde supposons que x7→ ln xsoit uniformément continue sur R+?.
Pour ε= 1, il existe η > 0tel que
∀x, y > 0,|y−x|6η⇒ |ln y−ln x|6ε
Pour y=x+η,
|ln y−ln x|= ln x+η
x−−−−→
x→0++∞
Absurde.
Exercice 3 : [énoncé]
Soit f: [0,1] →Rdéfinie par
f(x) = (xln xsi x6= 0
0sinon
fest continue sur le segment [0,1], donc uniformément continue sur [0,1] et donc
a fortiori sur ]0,1].
Exercice 4 : [énoncé]
Pour ε= 1 >0l’uniforme continuité assure l’existence d’un α > 0tel que
∀x, y ∈R,|x−y|6α⇒ |f(x)−f(y)|61
Posons n=bx/αc. On a |f(α)−f(0)|61,|f(2α)−f(α)|61,. . . ,
|f(nα)−f((n−1)α)|61et |f(x)−f(nα)|61donc en sommant
|f(x)−f(0)|6n+ 1 puis |f(x)|6bx/αc+1+|f(0)|6ax +bavec a= 1/α et
b= 1 + |f(0)|.
Exercice 5 : [énoncé]
Pour ε= 1, il existe α > 0tel que
∀x, y ∈[0,1[ ,|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|61
Par suite, pour tout x∈[1 −α, 1[, on a |f(x)−f(1 −α)|61puis
|f(x)|61 + |f(1 −α)|.
De plus, la fonction fest continue donc bornée sur le segment [0,1−α]par un
certain M.
On a alors fbornée sur [0,1[ par max {M, 1 + |f(1 −α)|}.
Exercice 6 : [énoncé]
Soit ε > 0.
Puisque ftend vers 0 en +∞, il existe A∈R+tel que pour tout x∈[A, +∞[,
|f(x)|6ε/2.
Puisque la fonction fest continue, elle est continue sur le segment [0, A + 1] et
donc uniformément continue sur ce segment en vertu du théorème de Heine.
Par suite il existe α > 0tel que
∀(x, y)∈[0, A + 1]2,|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|6ε
Posons α0= min {α, 1}>0.
Soient x, y ∈R+tels que |x−y|6α0.
Quitte à échanger, supposons que xest le plus petit de xet y.
Si x∈[0, A]alors x, y ∈[0, A + 1] et |y−x|6αdonc |f(y)−f(x)|6ε.
Si x∈[A, +∞[alors x, y ∈[A, +∞[donc |f(y)−f(x)|6|f(y)|+|f(x)|6ε.
Exercice 7 : [énoncé]
Soit ε > 0. Puisque fest uniformément continue, il existe α > 0vérifiant
∀x, y > 0,|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|6ε
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Considérons alors la suite (f(nα)). Puisque celle-ci converge vers 0, il existe
N∈Nvérifiant
∀n>N, |f(nα)|6ε
Posons A=Nα. Pour x>A, il existe n>Nvérifiant
|nα −x|6α
et donc
|f(x)|6|f(x)−f(nα)|+|f(nα)|62ε
On peut alors conclure que fconverge vers 0 en +∞.
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