Variables aléatoires réelles à densité
S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Variables aléatoires réelles à densité
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Variables aléatoires réelles à densité
Soient Xune v.a.r. définie sur un espace probabilisé ,A,P, à valeurs dans X,PXla probabilité
image de Ppar X,FXla fonction de répartition de X(et de PX). On a déjà vu que :
FXest croissante sur , à valeurs dans 0,1, continue à droite en tout point, et vérifie lim
x FXx0 et
lim
xFXx1. De plus, FXest continue en xsi et seulement si PXxPXx 0.
On a déjà étudié le cas où Xest une v.a.r. discrète : FXest une fonction en escalier sur et les seuls points
de probabilité non nulle sont les points de discontinuité de FX(ce sont les points de l’ensemble Xqui est au
plus dénombrable).
Dans ce chapitre, on s’intéresse à des v.a.r. Xpour lesquelles FXest continue sur : on a alors
PXx0 pour tout réel x. On dira que Xest une v.a.r. à densité.
1-Définitions -Propriétés.
Définition.
On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction fde dans vérifiant :
-fest positive ;
-fest continue sur sauf éventuellement en un nombre fini de points ;
- l’intégrale
fxdx est convergente et
fxdx 1.
Définition.
Une variable aléatoire réelle Xest dite à densité s’il existe une fonction fXde dans positive, continue
sur sauf éventuellement en un nombre fini de points, telle que pour tout x,FXx
xfXtdt.
fXest alors une densité, appelée densité de X (et de PX) et Xest une variable aléatoire réelle à densité.
Remarques.
(i) fXest effectivement une densité car 1 lim
xFXxlim
x
xfXtdt
fXxdx.
(ii) Si fXest une densité de X, alors toute fonction gXpositive et différant de fXen un nombre fini de points
seulement est encore une densité de X.
Soit Xune v.a.r. de densité fX. D’après les propriétés de l’intégrale, la fonction de répartition FX:
x
xfXtdt est continue sur . Elle est également dérivable en tout point xoù fXest continue, de dérivée
FX
xfXx.
Réciproquement, si FXest continue sur et continûment dérivable sur sauf éventuellement en un
nombre fini de points a1,...,an, alors pour tout réel x, on a FXx
xFX
tdt, de sorte que Xest une v.a.r.
à densité.
Proposition.
Une variable aléatoire réelle Xest à densité si et seulement si sa fonction de répartition est continue sur
et continûment dérivable sur sauf éventuellement en un nombre fini de points a1,...,an. La variable
aléatoire Xadmet alors pour densité la fonction fXdéfinie par :
fXxFX
xsi x\a1,...,an
0 si xa1,...,an.
Stéphane Ducay
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La loi de probabilité PXd’une variable aléatoire à densité est donc caractérisée par sa fonction de
répartition FXou de façon équivalente par sa densité fX.
Proposition.
Soit Xune une variable aléatoire à densité, de densité fX. Pour tous réels aet btels que ab, on a :
PXaPXaFXa
afXtdt ;
PXaPXa1FXa1
afXtdt
a
fXtdt ;
PaXbPaXbPaXbPaXbFXbFXa
a
bfXtdt.
Remarque.
Pour tout réel xet tout réel hstrictement positif, on a PxXxh
x
xhfXtdt. Si fXest continue
en x, alors lim
h0
PxXxh
hlim
h0
1
h
x
xhfXtdt fXx, ce qui peut se traduire par l’écriture
différentielle PxXxdxfXxdx, et justifie le terme ”densité de probabilité”.
2-Exemples de v.a.r.à densité.
V.a.r. Uniforme sur a,b.
Xa,b,fXx1
basi xa,b
0 si xa,b,FXx
0 si xa
xa
basi xa,b
1 si xb
V.a.r. Exponentielle Exp,0.
X0,,fXxexsi x0
0 si x0,FXx1exsi x0
0 si x0
V.a.r. Normale N,,,0,.
Xet pour tout x,fXx1
2e
1
2x
2
.
3-Espérance mathématique d’une v.a.r.à densité.
Soit Xune v.a.r. à densité, définie sur un espace probabilisé ,A,P, admettant une densité fX.
Définition.
On dit que Xadmet une espérance mathématique si l’intégrale
xfXxdx est absolument convergente.
On appelle alors espérance mathématique de X le réel EX
xfXxdx.
Exemple.
Xv.a.r. Exponentielle Exp,0.
EX
xfXxdx
0
xexdx xex0
0
exdx 1
ex
0
1
.
Remarques.
iSi Xest borné, alors Xpossède toujours une espérance mathématique.
iiUne v.a.r. continue peut ne pas avoir d’espérance mathématique. Par exemple, soit Xune v.a.r. suivant
la loi de Cauchy C0,, i.e. Xet fXx
2x2,0.
On a
fXxdx 1
2x2dx 1
Arctan x
1
2
21.
De plus,
xfXxdx 1
x
2x2dx est intégrale divergente en et , et donc EXn’existe pas.
Stéphane Ducay
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Définitions.
Une v.a.r. discrète Xest dite centrée si EX0. Si une v.a.r. Xn’est pas centrée, alors la v.a.r.
YXEXest centrée, et est appelée v.a.r. centrée associée à X.
4-Fonction d’une v.a.r.à densité.
Soit Xune v.a.r. à densité, définie sur un espace probabilisé ,A,P, et une application de dans . Il
se peut que l’application X, notée X, ne soit pas une v.a.r. à densité ; par exemple, si est constante ou
si est la fonction partie entière, alors Xest une v.a.r. discrète (voir exercice 6). Rappelons que si Xest
une v.a.r. discrète, alors Xest toujours une v.a.r. discrète.
Si Xune v.a.r. à densité, une condition suffisante pour que Xsoit une v.a.r. à densité est que soit une
fonction strictement monotone et dérivable sur .
Proposition.
Soit Xune v.a.r. à densité de densité fX, et une fonction strictement monotone et dérivable sur . La
v.a.r. YXest à densité et admet pour densité la fonction fYdéfinie par
fYxfX1x 1xsi x
0 si x.
La preuve de ce résultat repose sur la détermination de la fonction de répartition FYde Y. En pratique,
c’est souvent cette démarche qui est utilisée, comme le montrent les exemples suivants.
Exemples.
1) YXaX b, avec a0.
Si a0, alors pour tout x,
FYxPYxPaX bxP X xb
aFXxb
a. La densité de probabilité de Yest
alors donnée par FY
, lorsque FYest dérivable. Si FXest dérivable en xb
a(ou de façon équivalente fX
continue en xb
a), on a alors fYxFY
x1
aFX
xb
a1
afXxb
a; sinon, on peut prendre
fYx0.
Si a0, alors pour tout x,
FYxPYxPaX bxP X xb
a1FXxb
a. Si FXest dérivable en xb
a(ou
de façon équivalente fXcontinue en xb
a), on a alors fYxFY
x1
aFX
xb
a1
afXxb
a;
sinon, on peut prendre fYx0.
2) YXX2.
Pour tout x0, FYxPYxPX2xP0.
Pour x0, FYxPYxPX20PX00 (car Xv.a.r. abs. continue).
Pour tout x0,
FYxPYxPX2xPxXxFXxFXx.
La fonction de répartition de Yest donc FYxFXxFXxsi x0
0 si x0.
Une densité de probabilité de Yest donnée par FY
, lorsque FYest dérivable.
Pour tout x0, fYxFY
x0.
Pour tout x0, si FXest dérivable en xet x(i.e. fXcontinue en xet x), alors
fYxFY
x1
2xFX
x1
2xFX
x1
2xfXxfXx ; sinon on peut prendre
fYx0.
Si on ne veut pas étudier la dérivabilité de FYen 0, on peut prendre fY00.
Proposition.
Si Xest une variable aléatoire réelle de fonction de répartition FXcontinue strictement croissante et si U
est une variable aléatoire de loi Uniforme sur 0,1, alors la variable aléatoire YF1Ua la même loi que
X.
Stéphane Ducay
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Ce résultat, dont la preuve est laissée au soin du lecteur, permet de réduire la simulation informatique de la
loi de Xà celle de U.
Théorème.
Si la v.a.r. Xadmet une espérance mathématique, alors elle est donnée par la formule
EX
xfXxdx.
Remarques.
iOn admet que ce résultat est valable dans tous les cas (Xdiscrète, à densité, ...) dès lors que
l’intégrale ci-dessus a un sens.
iiOn peut ainsi calculer l’espérance mathématique de Xsans qu’il soit nécessaire de déterminer sa
loi de probabilité, mais en utilisant seulement celle de X. Par exemple, on a EX2
x2fXxdx.
Proposition.
Soient Xune v.a.r. à densité, aun réel, 1et 2deux applications de dans tels que X,1Xet 2X
aient une espérance mathématique. Alors
EaXaEXet E1X2X E1X E2X.
5-Moments d’une v.a.r.à densité.
Définition.
Soit run entier naturel non nul. On appelle moment d’ordre r d’une v.a.r. à densité Xl’espérance
mathématique de Xrsi elle existe. Dans ce cas, on a EXr
xrfXxdx.
Proposition.
Si une v.a.r. à densité Xadmet un moment d’ordre r, alors elle admet tous les moments d’ordre rr.
En particulier, l’existence du moment d’ordre 2 entraîne l’existence de l’espérance mathématique.
Définitions.
Soit run entier naturel non nul. On appelle moment centré d’ordre r d’une v.a.r. à densité Xl’espérance
mathématique de XEXrsi elle existe.
En particulier, on appelle variance de X, et on note VarXle moment centré d’ordre 2 s’il existe. On a
alors VarXEXEX2
xEX2fXxdx.
Si Xa une variance, on appelle écart-type de X le nombre XVarX.
Remarques.
iPour que Xait une variance, il faut et il suffit que Xadmette un moment d’ordre 2.
iiUne v.a.r. à densité peut ne pas avoir de variance, même si EXexiste (voir exercice 2).
Proposition.
Soient Xune v.a.r. à densité ayant une variance, aun réel.
Alors VaraXa2VarXet VarXaVarX.
Définitions.
Une v.a.r. à densité Xest dite réduite si VarX1. Si Xest une v.a.r., alors YX
Xest réduite et
ZXEX
Xest centrée et réduite, et sont appelées v.a.r. réduite et centrée réduite associées à X.
Théorème de Koenig-Huyghens.
Soit Xune v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2. Alors VarXEX2EX2.
Pour le calcul de la variance, on utilise souvent cette dernière formule plutôt que la définition.
Stéphane Ducay
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6-Loi Normale N,.
Soit Xune v.a.r. suivant une loi Normale N,, i.e. une v.a.r. à densité de densité de probabilité
fXx1
2e
1
2x
2
pour tout x.
6.1.Cas d’une loi N0,1.
On a fXx1
2e
x2
2
pour tout x. Vérifions que fXest bien une densité de probabilité.
Il est clair que fXest continue et positive sur .
Par ailleurs, rappelons que
ex
2
dx . En effet,
0ex
2
dx
0
ex
2
dx, ces deux intégrales étant
convergentes, donc
ex
2
dx 2I, avec I
0
ex
2
dx
0
ey
2
dy, d’où I2
0
0
ex
2
y
2
dxdy. Par le
changement de variables polaires xrcos
yrsin, on obtient
I2
0
/2
0
er
2
rdr d
0
/2 1
2er
2
0
d
0
/2 1
2d
4, d’où I
2et le résultat annoncé.
On en déduit que
fXxdx 1
2
e
x2
2
dx 1
2
eu
2
2du 1.
Calcul de EX.
On peut vérifier que
0xfXxdx
0
xfXxdx, ces deux intégrales étant convergentes, et donc
EX
xfXxdx 0.
Calcul de VarX.
On peut vérifier que
0x2fXxdx
0
x2fXxdx, ces deux intégrales étant convergentes, et donc
EX22
0
x2fXxdx 2
2
0
x2e
x2
2
dx 2
0
x xe
x2
2
dx. En intégrant par parties, on a
0
x2e
x2
2
dx xe
x2
2
0
0
e
x2
2
dx
0
e
x2
2
dx. On en déduit que
EX22
0
e
x2
2
dx 2
0
1
2e
x2
2
dx
1
2e
x2
2
dx
fXxdx 1.
On a alors VarXEX2EX21.
Ainsi, on dit que Xsuit la loi Normale centrée réduite.
Fonction de répartition de X.
Elle est donnée pour tout réel xpar FXx
xfXtdt
x1
2e
t2
2
dt. Cette fonction n’étant pas
exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur approchée de cette fonction. Ces
valeurs approchées sont présentées dans une table appelée table de la loi normale centrée réduite. La fonction
FXest souvent notée .
La table ne donne des valeurs approchées de xque pour des xcompris entre 0 et 3. On pourra admettre
que x1 pour tout x3. On remarquera aussi que pour tout réel x,x1x, ce qui permet
d’obtenir des valeurs approchées de xque pour des x0.
Précisons enfin que est une bijection strictement croissante de sur 0,1.
Stéphane Ducay
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6
7
8
9
1
/
9
100%
