derivation

Mme Frikha 3ème math 1
Série dexercices
Exercice 1 : Q C M ( cocher les bonnes réponses )
1. La courbe représentative de la fonction f ci-dessus permet de dire que :
f est impaire.
f 
f
Si f ( x ) est un polynôme, il est au moins de
degré 4.
0
()
lim
x
fx
x
existe et est comprise entre 10
et 15.
La tangente en 1 a un coefficient
directeur négatif.
f(x)
inférieure à 30.
La dérivée f  est croissante sur
  ;0,5].
f ( x ) = 20 a deux solutions sur
Le coefficient directeur de la tangente en
1
2
est égal à 0.
La fonction f admet un extremum relatif
en 1.
Quand x  [0, 1], la courbe de f est en
dessous de sa tangente en tout point.
f (2) = 60.
2. Soit
( ) 1 2g x x
. Alors :
La dérivée de g est définie sur
1
] , ]
2
.
g est strictement décroissante sur
1
] , ]
2
.
2
'( ) 12 gx x
.
La tangente à la courbe représentative de
g a une tangente orthogonale à ( y = x) en
0.
La tangente à C
g
en
1
2
est horizontale.
Les coefficients directeurs des tangentes
à C
g
sont tout positifs.
Exercice 2 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a.
53
( ) 4 6 2 1f x x x x   
b.
2
( ) 1g x x
c.
2
21
() 4
x
hx x
x
y
-2 -1 0 1 2
0
20
40

d.
22
1
( ) 3 2 1 k x x x x
e.
2
2
() 32
x
fx x
f.
2
( ) 1g x x x
g.
22
4
( 2 )
() 4
xx
hx x
h.
21
() 32 kx xx
7. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et préciser leur sens de variation :
a.
53
( ) 4 6 2 1f x x x x   
b.
2
( ) 1g x x
c.
2
21
() 4
x
hx x
d.
2
1
( ) 3 2 1 k x x x
Exercice 3 : 1) Soit f la fonction définie sur par:
f x 4x 5
a) Déterminer le nombre dérivé de f en 5.
b) Estimer
25,0004
.
c) Comparer le résultat avec celui affiché par la calculatrice.
2) Donner une approximation de
4,008
. Quelle est la valeur réelle?
Exercice 4 : Soit f la fonction définie sur par :
3
f x ax bx c  
où a, b, c sont des réels. Soit
C
la représentation graphique de f dans un repère orthonormé
O, i, j
.
A/ Déterminer a, b, c sachant que :
C
passe par le point
1
A 0, 2
;
C
admet en A une tangente
31
yx
22
;
C
B/ Soit
331
f x 2x x
22
.
1) Factoriser
fx
sachant que
f 1 0
.
2) On considère la fonction g définie sur par
g x f x
.
a) Etudier la dérivabilité de g en 1 et en
1
2
.
b) Construire la tangente ou les demi-tangentes à
C
, représentation de g, aux points d'abscisses
respectives 1 et
1
2
c) Déterminer
0
x
0
M
de
C
, avec
0
x 1
tel que la tangente à
C
en ce point
soit perpendiculaire à
1
: y x 1
5
.
Exercice 5 : La courbe ( f) représente une fonction f définie et dérivable sur [0 ; 4] dans un repère
orthonormé. (Figure 1)
La droite (TA
1) a) Donner f (0), f (1), f 0) et f 1).
b) Donner le tableau des variations de f.
2) -à-dire g =
f
1
. 
a) Déterminer g (0), g (1) et g (3).
b) Déterminer les valeurs 0) et 1).
c) Déterminer le sens de variation de g. justifier.
d) Construire sur le graphique la courbe représentative de g.

Exercice 6 :
Soit f la fonction définie sur IR par :
(  ) La courbe représentative de f dans un repère orthonormé (o,
ji ,
)
I /
1) a) Calculer
2xf(x)lim;
x
f(x)
lim ; f(x)lim xxx 
0g(x)f(x)lim
x
2) a) Montrer que f est continue en 1.
b) Déterminer, le domaine de continuité de f.
3) a) Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1.
b) En déduire que (  ) admet deux demi tangentes au point (1, 6). Construire ces deux demi
tangentes
II / Soit (  1) la partie de (  ) relative à] 1, + [
1) a) Vérifier que pour tout x  ]1, + [on a : f (x) = 2x + 3 +
b) Soit a  ]1, + [, montrer que f est dérivable en a a) = 2 
2) a) (  1) admet   ?
b) Soit la droite (D) : 4x + 7y   1) où la tangente
à (  ) est perpendiculaire à (D).
Exercice 7 : I ]Soit la fonction f :
1x4
bax x; IRIR 
; où a et b sont des réels.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans la plan rapporté à un repère orthonormé
jio ,,
.
1) a) Justifier que f est dérivable en tout point de IR \ {1} et calculer f  IR \ {1}
 : y =  3x + 15.
x
1
2
0
x
1
1 xsi
xx² 12xx²2x
(x) f
1 xsi 7x23xx²(x) f
3

2) On donne a = 1 et b = 3
a) 
io  ,
b) Soit D une droite de coefficient directeur m ; où m est un réel. Montrer que si D est tangente
à (C) alors m  ]-, 1[
c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (C) passant par le point A(1, -4)
II- Soit g la fonction définie par :
0, xsi 2xx²1x(x) g
,0 xsi
1x4
3x(x) g
1) Montrer que g est continue en tout point de son ensemble de définition.
2) Etudier la dérivabilité de g en zéro. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Exercice 8 :
2) Déterminer  sachant que  '( 3)=0 et  
4) Déterminer les points de  où les tangentes sont parallèles à la droite      
5) Tracer la courbe  dans un repère orthonormé   
Exercice 9 : I) Soit f la fonction définie sur IR\{2}par f( x )=
233
2
xxx
et on désigne
par (C) sa courbe représentative dans un R.O.N
),,( jio 
.
1) Vérifier que f( x )=
2
1
2  x x
pour tout
2x
.
2) Déterminer les asymptotes à (C).
3) Justifier que f est dérivable sur IR\{2} et que f '( x )=
2
2
)2( 34 xxx
pour tout
2x
.
4) a) Déterminer les points de (C) où les tangentes sont parallèles à la
droite ():
098  yx
; IR .
b) Déterminer alors les valeurs possibles de pour que () soit, elle-même une tangente à (C) .
II) Soit g( x )=
1
1
1 )(f
xsia
x
x
xsix
;
a
IR . On désigne par (C') sa
courbe représentative dans un R.O.N
),,( jio 
.
1) Déterminer la valeur de
a
pour que f soit continue en 1.
Dans la suite, on prendra
1a
.
2) Etudier la dérivabilité de g à droite de 1. Interpréter graphiquement le résultat.
3) g est-elle dérivable en 1? Justifier.
4) Calculer
)(g lim x
x
. Interpréter graphiquement le résultat.
5) Montrer que g est dérivable sur ]1, [ et g'( x )=
12
2
2
xx
x
pour
1x
.