Mme Frikha 3ème math 1 Série d’exercices Exercice 1 : Q C M ( cocher les bonnes réponses ) y 40 20 x 0 -2 -1 0 1 2 1. La courbe représentative de la fonction f ci-dessus permet de dire que : f est impaire. f ’ s’annule deux fois. Si f(x) est un polynôme, il est au moins de f ’(−1)=1. degré 4. f ( x) existe et est comprise entre 10 x 0 x lim et 15. L’équation f(x)=0 n’a pas de solutions. La dérivée f ’ est croissante sur l’intervalle , −1 ;0,5]. Le coefficient directeur de la tangente en 1 est égal à 0. 2 Quand x [0, 1], la courbe de f est en dessous de sa tangente en tout point. La tangente en –1 a un coefficient directeur négatif. Il n’existe aucun point de C d’ordonnée inférieure à –30. L’équation f(x) = 20 a deux solutions sur ,−2, +2-. La fonction f admet un extremum relatif en 1. f(2) = 60. 2. Soit g( x) 1 2 x . Alors : 1 2 La dérivée de g est définie sur ] , ] . g '( x) 2 . 1 2x La tangente à Cg en 1 est horizontale. 2 1 2 g est strictement décroissante sur ] , ] . La tangente à la courbe représentative de g a une tangente orthogonale à (y = x) en 0. Les coefficients directeurs des tangentes à Cg sont tout positifs. Exercice 2 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a. f ( x) 4 x 5 6 x 3 2 x 1 b. g( x) 1 x 2 c. h( x ) 2 x 1 4x2 d. k( x) 3 x 2 2 x g. h( x) 1 1 x2 ( 2 x 2 x )2 4x e. f ( x ) h. k( x) 4 x2 f. g( x) x 1 x2 3 2x2 2 1 3 x2 x 7. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et préciser leur sens de variation : a. f ( x) 4 x 5 6 x 3 2 x 1 d. k( x) 3 x 2 b. g( x) 1 x 2 c. h( x ) 2 x 1 4x2 1 1 x2 par: f x 4x 5 Exercice 3 : 1) Soit f la fonction définie sur a) Déterminer le nombre dérivé de f en 5. b) Estimer 25,0004 . c) Comparer le résultat avec celui affiché par la calculatrice. 2) Donner une approximation de 4, 008 . Quelle est la valeur réelle? Exercice 4 : Soit f la fonction définie sur par : f x ax 3 bx c où a, b, c sont des réels. Soit C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé O, i, j . A/ Déterminer a, b, c sachant que : C passe par le point A 0, parallèle à la droite d’équation y B/ Soit f x 2x 3 1 ; C admet en A une tangente 2 3 1 x ; C coupe l’axe des abscisses au point B d’abscisse 1. 2 2 3 1 x . 2 2 1) Factoriser f x sachant que f 1 0 . 2) On considère la fonction g définie sur a) Etudier la dérivabilité de g en 1 et en par g x f x . 1 . 2 b) Construire la tangente ou les demi-tangentes à C , représentation de g, aux points d'abscisses respectives 1 et 1 2 c) Déterminer x 0 l’abscisse du point M 0 de C , avec x 0 1 tel que la tangente à C en ce point 1 5 soit perpendiculaire à : y x 1 . Exercice 5 : La courbe ( f) représente une fonction f définie et dérivable sur [0 ; 4] dans un repère orthonormé. (Figure 1)On note f ’ la fonction dérivée de f. La droite (TA) est la tangente au point A d’abscisse 0. La courbe admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1. 1) a) Donner f (0), f (1), f ’ (0) et f ’ (1). b) Donner le tableau des variations de f. 2) On considère la fonction g inverse de f, c’est-à-dire g = a) b) c) d) 1 . On note g’ la fonction dérivée de g. f Déterminer g (0), g (1) et g (3). Déterminer les valeurs g’ (0) et g’ (1). Déterminer le sens de variation de g. justifier. Construire sur le graphique la courbe représentative de g. Exercice 6 : Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) x² 3x 2 x 7 2x x² 2x 1 f (x) x² x si x 1 3 si x 1 ( ) La courbe représentative de f dans un repère orthonormé (o, i , j ) I/ f(x) ; lim f(x) 2x x x b) En déduire qu’il existe une fonction affine g telle que lim f(x) g(x) 0 1) a) Calculer lim f(x) ; lim x x x 2) a) Montrer que f est continue en 1. b) Déterminer, le domaine de continuité de f. 3) a) Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1. b) En déduire que ( ) admet deux demi tangentes au point (1, 6). Construire ces deux demi tangentes II / Soit ( 1) la partie de ( ) relative à] 1, + [ 1 1) a) Vérifier que pour tout x ]1, + [on a : f (x) = 2x + 3 + x 1 b) Soit a ]1, + [, montrer que f est dérivable en a et que f ’(a) = 2 – 2 x0 2) a) ( 1) admet – elle une tangente parallèle à l’axe des abscisses ? b) Soit la droite (D) : 4x + 7y – 7 = 0. Montrer qu’il existe un seul point de ( 1) où la tangente à ( ) est perpendiculaire à (D). Exercice 7 : I ]Soit la fonction f : IR IR ; x ax b 4 ; où a et b sont des réels. x 1 On désigne par (C) sa courbe représentative dans la plan rapporté à un repère orthonormé o, i , j . 1) a) Justifier que f est dérivable en tout point de IR \ {1} et calculer f ’(x) pour tout x IR \ {1} b) Déterminer a et b pour que (C) admette en son point d’abscisse 2 pour tangente la droite Δ : y = – 3x + 15. 2) On donne a = 1 et b = 3 a) Déterminer les points de (C) où la tangente est parallèle à l’axe o, i b) Soit D une droite de coefficient directeur m ; où m est un réel. Montrer que si D est tangente à (C) alors m ]-, 1[ c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (C) passant par le point A(1, -4) II- 4 si x ,0 g (x) x 3 x 1 Soit g la fonction définie par : g (x) x 1 x² 2x si x 0, 1) Montrer que g est continue en tout point de son ensemble de définition. 2) Etudier la dérivabilité de g en zéro. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. Exercice 8 : + + oit ( ) = pour 1 −1 −2 − − *1+ , ( ) = 1)Montrer que pour tout ( − 1) 2) Déterminer et sachant que '( 3)=0 et (3) = 2 −4 +7 3) Dans la suite de l’exercice on donne ( ) = −1 Déterminer lim ( ( ) − ) , interpréter graphiquement ce résultat. 4) Déterminer les points de où les tangentes sont parallèles à la droite 5) Tracer la courbe dans un repère orthonormé ( , ) Exercice 9 : I) Soit f la fonction définie sur IR\{2}par f(x)= =− +2 x 2 3x 3 et on désigne x2 par (C) sa courbe représentative dans un R.O.N (o, i , j ) . 1) Vérifier que f(x)= x 2 1 pour tout x 2 . x2 2) Déterminer les asymptotes à (C). x 2 4 x 3 3) Justifier que f est dérivable sur IR\{2} et que f '(x)= pour tout x 2 . ( x 2) 2 4) a) Déterminer les points de (C) où les tangentes sont parallèles à la droite (Δ): 8x 9 y 0 ; IR . b) Déterminer alors les valeurs possibles de pour que (Δ) soit, elle-même une tangente à (C) . f ( x) si x 1 II) Soit g(x)= x 1 a si x 1 x ; a IR . On désigne par (C') sa courbe représentative dans un R.O.N (o, i , j ) . 1) Déterminer la valeur de a pour que f soit continue en 1. Dans la suite, on prendra a 1. 2) Etudier la dérivabilité de g à droite de 1. Interpréter graphiquement le résultat. 3) g est-elle dérivable en 1? Justifier. 4) Calculer x lim g( x) . Interpréter graphiquement le résultat. 2 x 5) Montrer que g est dérivable sur ]1, [ et g'(x)= 2x 2 x 1 pour x 1 .