1 APPLICATIONS LINÉAIRES DÉFINIES EXPLICITEMENT 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI APPLICATIONS LINÉAIRES
1 APPLICATIONS LINÉAIRES
DÉFINIES EXPLICITEMENT
1Pourquoi les applications suivantes NE sont-elles
PAS linéaires ? 1) §R[X]−→ R[X]
P7−→ P′−P2.
2) §R−→ R
x7−→ x+1. 3) §R2−→ R
(x,y)7−→ x y.
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2Montrer que les applications suivantes sont linéaires
puis déterminer une base de leur noyau et une base de
leur image.
1)
a) (x,y)7−→ y−3x,5x+2y,x+y.
b) (x,y,z)7−→ x+y+z,x+3y+2z,3x+y+2z.
c) (x,y,z)7−→ 2x−y+z,3x+y−z,
x+y+z,y−2z.
2)
a) P7−→ XP′(X+1)−P′(1)de R3[X]dans
lui-même.
b) P7−→ P−X P′−P(0)de R[X]dans lui-même.
c) M7−→ 1 3
3 9Mde M2(R)dans lui-même.
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3Montrer que l’application :
(x,y,z)7−→ x+2y,4x−y+z, 2x+2y+3z
est un automorphisme de R3et déterminer sa réciproque.
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4Soient a,b,c∈Rnon tous nuls.
On pose : A=
a2ab ac
ab b2bc
ac bc c2
. Déterminer SANS
CALCUL une base de Im Aet une équation de Ker A—
par simple contemplation de A.
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51) Montrer que l’application P7−→ P(0),P′est un
isomorphisme de K[X]sur K×K[X].
2) En déduire une nouvelle preuve du fait que K[X]
n’est pas de dimension finie.
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6Montrer que P7−→ P(X) + P(X+1)est un au-
tomorphisme :
1) de Rn[X]pour tout n∈N.2) de R[X].
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7On note ∆l’endomorphisme P7−→ P(X+1)−P(X)de
R[X].
1) Déterminer Ker ∆.
2) Déterminer Im ∆Rn[X]pour tout n∈N∗.
3) Montrer que ∆est surjectif de R[X]sur
lui-même.
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8Soient Eun espace vectoriel et Fet Gdeux
sous-espaces vectoriels de Ede dimension finie.
1) Déterminer l’image et le noyau de l’application
(f,g)7−→ f+gde F×Gdans E.
2) Redémontrer ainsi la formule de Grassmann.
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9Soit n∈N. Pour tout k∈¹0, nº, on pose :
Bk=Xk(1−X)n−k.
1) Montrer grâce à la formule du binôme que
Xiest combinaison linéaire de B0,...,Bnpour
tout i∈¹0, nº. Qu’en déduit-on ?
2) On reprend l’exercice indépendamment
de la question 1). Montrer par récurrence sur n
que la famille B0,...,Bnest libre.
3) Pour tout P∈Rn[X], on pose :
ϕ(P) =
n
X
k=0n
kPk
nBk.
Montrer que ϕest un automorphisme de Rn[X].
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10 Montrer que les K-espaces vectoriels Mn,p(K)
et LKp,Knsont isomorphes.
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2 APPLICATIONS LINÉAIRES
ABSTRAITES
11 Soient Eun K-espace vectoriel, f∈ L (E)et k∈N∗.
Comparer Ker fet Ker fk, puis Im fet Im fk.
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12 Soient Eun K-espace vectoriel et f,g∈ L (E). On
suppose que fet gcommutent. Montrer qu’alors Ker g
et Im gsont stables par f.
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13 Soient Eun K-espace vectoriel et f,g∈ L (E).
Montrer que : E=Im f+Ker gsi et seulement si :
Im (g f ) = Im g.
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14 Soient E,Fet Gtrois K-espaces vectoriels, f∈ L (E,F)
et g∈ L (F,G).
1) a) Exprimer la proposition : g◦f=0L(E,G)
en termes de noyau et d’image.
b) Quelle relation en déduit-on entre rg(f)et
rg(g)si E,Fet Gsont de dimension finie ?
2) Montrer que : fKer (g◦f)=Ker g∩Im f.
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15 Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L (E).
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1) Montrer que :
Ker f∩Im f=0E⇐⇒ Ker f2=Ker f.
2) Montrer que :
E=Ker f+Im f⇐⇒ Im f2=Im f.
3) On suppose à présent Ede dimension finie. Mon-
trer l’équivalence des assertions suivantes :
(i) E=Ker f⊕Im f.
(ii) Ker f2=Ker f. (iii) Im f2=Im f.
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16 Soient Eun K-espace vectoriel. À quelle condi-
tion nécessaire et suffisante l’anneau L(E)est-il com-
mutatif ?
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17 Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de di-
mension finie et f,g∈ L (E,F). Montrer l’inégalité :
rg(f)−rg(g)¶rg(f+g)¶rg(f) + rg(g).
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18 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension
finie et u∈ L (E). Montrer l’équivalence suivante :
Ker u=Im u⇐⇒ u2=0L(E)et dim E=2 rg(u).
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19 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie net
f∈ L (E).
1) On suppose f nilpotent, i.e. qu’une cer-
taine puissance de fest nulle. On note alors p
le plus petit entier naturel non nul pour lequel
fp=0L(E), appelé l’indice de nilpotence de f .
a) Écrire avec des quantificateurs les proposi-
tions : fp=0L(E)et : fp−16=0L(E).
b) Montrer que la famille :
x,f(x),f2(x),..., fp−1(x)
est libre pour un certain x∈E.
c) En déduire que fn=0L(E).
2)
a) On suppose que pour tout x∈E:
∃p∈N∗/fp(x) = 0E.
Montrer qu’alors fest nilpotent.
b) Trouver un contre-exemple au résultat a) dans
le cas où Eest de dimension infinie.
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20 Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L (E).
1) Si : f2=3f−2IdE, montrer que :
E=Ker f−IdE⊕Ker f−2IdE.
2) Si : f3=IdE, montrer que :
E=Ker f−IdE⊕Ker f2+f+IdE.
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21 Soient Eun K-espace vectoriel et f,g,h∈ L (E).
On suppose que : f g =h,gh =fet h f =g.
1) Montrer que f,get hont même noyau Ket
même image I.
2) Montrer que : f5=f.
3) En déduire que : E=K⊕I.
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22 Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L (E)de
rang 1. Montrer que pour un certain λ∈K:f2=λf.
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23 Soient E,F,Gdes K-espaces vectoriels, f∈ L (E,F)et
g∈ L (F,G).
1) Montrer que si Eet Fsont de dimension
finie, alors :
dim Ker (g◦f)¶dim Ker f+dim Ker g.
2) Montrer que si on suppose seulement
Ker fet Ker gde dimension finie, alors Ker (g◦f)
l’est aussi avec la même inégalité.
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24 Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de di-
mension finie et u,v∈ L (E,F). Montrer que :
dim Ker (u+v)¶dimKer u∩Ker v+dim Im u∩Im v.
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25 Soient Eun K-espace vectoriel et f,g∈ L (E).
On suppose que : f g −g f =IdE.
1) Montrer que pour tout n∈N∗:
f gn−gnf=ngn−1.
2) Montrer que la famille gkk∈Nest libre.
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26 Soient Eun K-espace vectoriel et h∈ L (E).
On suppose que : ∀x∈E,∃λ∈K/h(x) = λx.
Montrer que : ∃λ∈K/∀x∈E,h(x) = λx, i.e.
que hest une homothétie.
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27 Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de
dimension finie, Kun sous-espace vectoriel de Eet I
un sous-espace vectoriel de F. À quelle condition néces-
saire et suffisante simple Ket Isont-ils respectivement
le noyau et l’image d’une même application linéaire de
Edans F?
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28 Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de
dimension finie et f∈ L (E,F)de rang r. Montrer que
fest la somme de rapplications linéaires de rang 1 de
Edans F.
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29 Soient Eun K-espace vectoriel de dimen-
sion finie et f∈ L (E). On veut montrer l’équivalence
suivante :
(i) Ker f=Im f.
(ii) f2=0L(E)et ∃g∈ L (E)/f g +g f =IdE.
1) Montrer l’implication (ii) =⇒(i).
2) On suppose à présent que : Ker f=Im f.
a) Montrer que : f2=0L(E).
b) Pourquoi peut-on se donner un supplémen-
taire Ide Ker fdans E?
c) On note pla projection sur Ker fparallèle-
ment à Iet on pose : g=f−1
I
◦p. Conclure.
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30 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension
2 et u∈ L (E). Montrer que : u2=0L(E)si et seule-
ment s’il existe un vecteur a∈Ker uet une forme li-
néaire λde Etels que pour tout x∈E:u(x) = λ(x)a.
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3 CALCUL MATRICIEL
31 Soient a,b,c∈R. Calculer le rang des matrices
suivantes :
1) 
2 1 3 −3
−1 2 1 4
1 1 2 −1
.2) 
1 1 1
a b c
a2b2c2
.
3)
−1 0 1 0
2 5 −2−5
6 5 4 3
9 5 0 1
7 0 5 −3
.4) 
a1 1
1a1
1 1 a
.
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32 Soit λ∈R. À quelle condition nécessaire et
suffisante sur λles sous-espaces vectoriels :
Vect(λ,λ,1)et Vect(1,λ, 1),(2,1, 1)
sont-ils supplémentaires dans R3?
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33 On pose : A=
1 2 1 0
2 2 2 0
0−1 1 1
0 1 2 2
. Les sous-
espaces vectoriels Ker Aet Im Asont-ils supplémentaires
dans R4?
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34 1) Montrer que pour tout X∈Rn:
tX X =0=⇒X=0.
2) En déduire que pour tout M∈ Mn,p(R):
rg(M) = rgtM M.
3) Généraliser au cas où M∈ Mn,p(C).
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35 Soient A∈ Mn(K),B∈ Mp,n(K),C∈ Mn,q(K)
et D∈ Mp,q(K). On suppose Ainversible.
1) Compléter le calcul par blocs suivant :
A C
B D=In0n,p
··· Ip··· 0n,q 0p,nD−BA−1C In···
0q,nIq.
2) En déduire une égalité intéressante de rangs.
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36 On travaille dans cet exercice avec le corps de
base C. Pour tout X= (z1,...,zn)∈Cn, on appelle
conjugué de X le vecteur : X=z1,...,zn.
1) Soit Fun sous-espace vectoriel de Cn. On note
Fl’ensemble des conjugués des éléments de F.
Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de
Cnet que : dim F=dim F.
2) Montrer que pour tout M∈ Mn(C):
rgM=rg(M).
3) Soit A∈ M3(R)— mais donc : A∈ M3(C).
On suppose que : A3=−A. Afin de montrer
que An’est pas inversible, on suppose par l’ab-
surde qu’elle l’est.
a) Montrer l’égalité :
C3=Ker (A−iI3)⊕Ker (A+iI3).
b) Conclure.
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37 Soient A∈ Mp(K),B∈ Mq(K)et X∈ Mp,q(K).
Montrer que la matrice par blocs A X
0q,pBest inver-
sible si et seulement si Aet Ble sont. Que vaut son in-
verse dans ce cas ?
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38 Soient A,B∈ Mn(K)telles que : A+B=AB.
1) Montrer que In−Aet In−Bsont inversibles.
2) Montrer que Aet Bcommutent.
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39 Soient A,B∈ Mn(K).
1) Montrer que si AB est inversible, alors Aet
Ble sont aussi.
2) Montrer que pour tout λ∈K,AB−λIn
est inversible si et seulement si BA −λInl’est.
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4 FORMES LINÉAIRES ET HYPERPLANS
40 Soit α∈C. Montrer que P∈C[X]/P(α) = 0
est un hyperplan de C[X]et en déterminer une base.
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41 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie
non nulle et H1et H2deux hyperplans distincts de E.
Calculer dim(H1∩H2).
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5 PROJECTEURS ET SYMÉTRIES
42 On note Sn(K)(resp. An(K)) l’ensemble des ma-
trices symétriques (resp. antisymétriques) de Mn(K).
Redémontrer l’égalité : Mn(K) = Sn(K)⊕An(K)en
exhibant une certaine symétrie.
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43 On note ϕl’application :
(x,y,z)7−→ −3x+4y−6z,−12x+16y−24z,−6x+8y−12z.
1) De quelle matrice ϕest-elle l’application linéaire
canoniquement associée ? En déduire que ϕest
un projecteur de R3.
2) Caractériser ϕgéométriquement.
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44 On pose : A=
2 2 −1−1
2 2 −1−1
1 1 1 −2
1 1 −2 1
. Calculer
A2, puis montrer que : R4=Ker A⊕Im A.
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45 1) Montrer que :
R2[X] = R1[X]⊕VectX2+X+1,
puis déterminer une expression de la projection
sur R1[X]parallèlement à VectX2+X+1.
2) On pose : G=¦(x,y,z)∈R3/x+y+2z=0©
et F=¦(x,y,z)∈R3/x+2y+z=0 et 2x+y−z=0©.
Montrer que : R3=F⊕G, puis déterminer
une expression de la symétrie par rapport à F
parallèlement à G.
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46 Soit A∈R[X]non nul. Montrer que l’applica-
tion qui à tout P∈R[X]associe le reste de la division
euclidienne de Ppar Aest un projecteur de R[X]— que
l’on caractérisera géométriquement.
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47 Soient Eun K-espace vectoriel et pet qdeux
projecteurs de E. On suppose que : pq =0L(E)et on
pose : r=p+q−qp. Montrer que rest la projection
sur Im p⊕Im qde direction Ker p∩Ker q.
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48 Soient Eun K-espace vectoriel et pet qdeux
projecteurs de E. On suppose que pet qcommutent.
Montrer que pq est le projecteur de Esur Im p∩Im q
de direction Ker p+Ker q.
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49 Soient Eun K-espace vectoriel et pet qdeux
projecteurs de E.
1) Montrer que p+qest un projecteur de Esi et
seulement si : pq =qp =0L(E).
2) Montrer que, dans ce cas, Im pet Im qsont en
somme directe et que p+qest le projecteur de
Esur Im p+Im qde direction Ker p∩Ker q.
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50 Soient Eun K-espace vectoriel et pet qdeux
projecteurs de E. Montrer que : Ker p=Ker qsi et
seulement si : p=pq et q=qp.
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51 Soit Eun K-espace vectoriel. On note P(E)
l’ensemble des projecteurs de E.
1) Montrer que la relation ´sur P(E)définie pour
tous p,q∈ P (E)par :
p´q⇐⇒ pq =qp =p
est une relation d’ordre.
2) Montrer que pour tous p,q∈ P (E), si pet q
commutent : infp,q=pq.
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6 SOMMES D’UN NOMBRE FINI
DE SOUS-ESPACES VECTORIELS
52 Soient Eun K-espace vectoriel et f1,...,fn∈ L (E).
On suppose que : fifj=0 pour tous i,j∈¹1, nº
distincts et que : f1+...+fn=IdE.
1) Montrer que f1,..., fnsont des projecteurs.
2) Montrer que : E=
n
M
i=1
Im fi.
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53 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension
finie et F1,...,Fpdes sous-espaces vectoriels de Epour
lesquels : E=
p
X
i=1
Fi. Montrer qu’il existe des sous-
espaces vectoriels G1,...,Gpde Epour lesquels :
G1⊂F1, . .. , Gp⊂Fpet E=
p
M
i=1
Gi.
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54 Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L (E).
1) Montrer que pour tous x∈E,λ∈Ket
P∈K[X], si : f(x) = λx, alors :
P(f)(x) = P(λ)x.
2) Montrer que pour tous λ1,...,λp∈K
distincts, les sous-espaces vectoriels :
Ker f−λ1IdE, . .. , Ker f−λpIdE
sont en somme directe. On pourra convoquer cer-
tains polynômes de Lagrange.
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55 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension
finie. On note Sl’ensemble des sous-espaces vectoriels
de E. Soit d:S −→ Nune application. On suppose
que : d(E) = dim Eet que pour tous F,F′∈ S :
F∩F′=0E=⇒dF+F′=d(F) + d(F′).
Montrer que pour tout F∈ S :d(F) = dim F.
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