1 APPLICATIONS LINÉAIRES DÉFINIES EXPLICITEMENT 2
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APPLICATIONS LINÉAIRES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1 APPLICATIONS LINÉAIRES ————————————– DÉFINIES EXPLICITEMENT 8 1 Pourquoi les applications suivantes NE sont-elles § R[X ] −→ R[X ] PAS linéaires ? 1) P 7−→ P ′ − P 2 . § § R −→ R R2 −→ R 2) 3) x 7−→ x + 1. (x, y) 7−→ x y. ————————————– ————————————– 2 Soient E un espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E de dimension finie. 1) Déterminer l’image et le noyau de l’application ( f , g) 7−→ f + g de F × G dans E. 2) Redémontrer ainsi la formule de Grassmann. 9 Montrer que les applications suivantes sont linéaires puis déterminer une base de leur noyau et une base de leur image. 1) a) (x, y) 7−→ y − 3x, 5x + 2 y, x + y . b) (x, y, z) 7−→ x + y +z, x +3 y +2z, 3x + y +2z . c) (x, y, z) 7−→ 2x − y + z, 3x + y − z, x + y + z, y − 2z . 2) a) P 7−→ X P ′ (X + 1) − P ′ (1) de R3 [X ] dans lui-même. b) P 7−→ P− X P ′− P(0) de R[X ] dans lui-même. 1 3 c) M 7−→ M de M2 (R) dans lui-même. 3 9 Soit n ∈ N. Pour tout k ∈ ¹0, nº, on pose : Bk = X k (1 − X )n−k . 1) Montrer grâce à la formule du binôme que X i est combinaison linéaire de B0 , . . . , Bn pour tout i ∈ ¹0, nº. Qu’en déduit-on ? On reprend l’exercice indépendamment 2) de la question 1). Montrer par récurrence sur n que la famille B0 , . . . , Bn est libre. Pour tout P ∈ Rn [X ], on pose : 3) ϕ(P) = n X k n Bk . P n k k=0 Montrer que ϕ est un automorphisme de Rn [X ]. ————————————– ————————————– 3 10 Montrer que l’application : (x, y, z) 7−→ x + 2 y, 4x − y + z, 2x + 2 y + 3z ————————————– est un automorphisme de R3 et déterminer sa réciproque. 2 ————————————– 4 Soient a, b, c∈ R non tous nuls. a2 a b ac On pose : A = a b b2 bc . Déterminer SANS ac bc c 2 CALCUL une base de Im A et une équation de Ker A — par simple contemplation de A. 11 12 1) Montrer que l’application P 7−→ P(0), P ′ est un isomorphisme de K[X ] sur K × K[X ]. 2) En déduire une nouvelle preuve du fait que K[X ] n’est pas de dimension finie. Soient E un K-espace vectoriel et f , g ∈ L (E). On suppose que f et g commutent. Montrer qu’alors Ker g et Im g sont stables par f . ————————————– 13 Soient E un K-espace vectoriel et f , g ∈ L (E). Montrer que : E = Im f + Ker g si et seulement si : Im (g f ) = Im g. ————————————– Montrer que P 7−→ P(X ) + P(X + 1) est un automorphisme : 1) de Rn [X ] pour tout n ∈ N. 2) de R[X ]. 14 ————————————– 7 Soient E un K-espace vectoriel, f ∈ L (E) et k ∈ N∗ . Comparer Ker f et Ker f k , puis Im f et Im f k . ————————————– ————————————– 6 APPLICATIONS LINÉAIRES ABSTRAITES ————————————– 5 Montrer que les K-espaces vectoriels Mn,p (K) et L K p , Kn sont isomorphes. On note ∆ l’endomorphisme P 7−→ P(X + 1) − P(X ) de R[X ]. 1) Déterminer Ker ∆. 2) Déterminer Im ∆ pour tout n ∈ N∗ . Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels, f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). 1) a) Exprimer la proposition : g ◦ f = 0L (E,G) en termes de noyau et d’image. b) Quelle relation en déduit-on entre rg( f ) et rg(g) si E, F etG sont de dimension finie ? 2) Montrer que : f Ker (g ◦ f ) = Ker g ∩ Im f . ————————————– Rn [X ] 3) Montrer que ∆ est surjectif de R[X ] sur lui-même. 15 1 Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L (E). APPLICATIONS LINÉAIRES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1) Montrer que : 2) Ker f ∩ Im f = 0 E Ker f 2 = Ker f . ⇐⇒ ————————————– 2) Montrer que : Im f 2 = Im f . ⇐⇒ E = Ker f + Im f 21 3) On suppose à présent E de dimension finie. Montrer l’équivalence des assertions suivantes : (i) (ii) E = Ker f ⊕ Im f . Ker f 2 = Ker f . (iii) ————————————– 22 Soient E un K-espace vectoriel. À quelle condition nécessaire et suffisante l’anneau L (E) est-il commutatif ? 23 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f , g ∈ L (E, F ). Montrer l’inégalité : rg( f ) − rg(g) ¶ rg( f + g) ¶ rg( f ) + rg(g). 2) Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L (E). Montrer l’équivalence suivante : Ker u = Im u ⇐⇒ u2 = 0L (E) et 24 dim E = 2 rg(u). Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et f ∈ L (E). 1) On suppose f nilpotent, i.e. qu’une certaine puissance de f est nulle. On note alors p le plus petit entier naturel non nul pour lequel f p = 0L (E) , appelé l’indice de nilpotence de f . a) Écrire avec des quantificateurs les propositions : f p = 0L (E) et : f p−1 6= 0L (E) . b) Montrer que la famille : x, f (x), f 2 (x), . . . , f p−1 (x) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et u, v ∈ L (E, F ). Montrer que : dim Ker (u+v) ¶ dim Ker u∩Ker v +dim Im u∩Im v . ————————————– 25 Soient E un K-espace vectoriel et f , g ∈ L (E). On suppose que : f g − g f = Id E . 1) Montrer que pour tout n ∈ N∗ : f g n − g n f = ng n−1 . 2) Montrer que la famille g k k∈N est libre. ————————————– 26 est libre pour un certain x ∈ E. c) En déduire que f n = 0L (E) . 2) a) On suppose que pour tout x ∈ E : ∃ p ∈ N∗ / Montrer que si on suppose seulement Ker f et Ker g de dimension finie, alors Ker (g◦ f ) l’est aussi avec la même inégalité. ————————————– ————————————– 19 Soient E, F, G des K-espaces vectoriels, f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). 1) Montrer que si E et F sont de dimension finie, alors : dim Ker (g ◦ f ) ¶ dim Ker f + dim Ker g. ————————————– 18 Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L (E) de rang 1. Montrer que pour un certain λ ∈ K : f 2 = λ f . ————————————– ————————————– 17 Soient E un K-espace vectoriel et f , g, h ∈ L (E). On suppose que : f g = h, gh = f et h f = g. 1) Montrer que f , g et h ont même noyau K et même image I . 2) Montrer que : f 5 = f . 3) En déduire que : E = K ⊕ I . Im f 2 = Im f . ————————————– 16 f 3 = Id E , montrer que : E = Ker f − Id E ⊕ Ker f 2 + f + IdE . Si : Soient E un K-espace vectoriel et h ∈ L (E). On suppose que : ∀x ∈ E, ∃ λ ∈ K/ h(x) = λx. Montrer que : ∃ λ ∈ K/ ∀x ∈ E, h(x) = λx, i.e. que h est une homothétie. ————————————– f p (x) = 0 E . 27 Montrer qu’alors f est nilpotent. b) Trouver un contre-exemple au résultat a) dans le cas où E est de dimension infinie. ————————————– Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, K un sous-espace vectoriel de E et I un sous-espace vectoriel de F . À quelle condition nécessaire et suffisante simple K et I sont-ils respectivement le noyau et l’image d’une même application linéaire de E dans F ? ————————————– Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L (E). 20 1) Si : f 2 = 3 f − 2Id E , montrer que : E = Ker f − Id E ⊕ Ker f − 2Id E . 28 2 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L (E, F ) de rang r. Montrer que f est la somme de r applications linéaires de rang 1 de E dans F . APPLICATIONS LINÉAIRES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ————————————– 29 3) ————————————– Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E). On veut montrer l’équivalence suivante : (i) Ker f = Im f . (ii) f 2 = 0L (E) et ∃ g ∈ L (E)/ f g + g f = Id E . 35 1) Montrer l’implication (ii) =⇒ (i). 2) On suppose à présent que : Ker f = Im f . a) Montrer que : f 2 = 0L (E) . b) Pourquoi peut-on se donner un supplémentaire I de Ker f dans E ? c) On note p la projection sur Ker f parallèlement à I et on pose : g = f−1 ◦p. Conclure. I ————————————– 36 Soient E un K-espace vectoriel de dimension 2 et u ∈ L (E). Montrer que : u2 = 0L (E) si et seulement s’il existe un vecteur a ∈ Ker u et une forme linéaire λ de E tels que pour tout x ∈ E : u(x) = λ(x)a. ————————————– 3 31 CALCUL On travaille dans cet exercice avec le corps de base C. Pour tout X = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn , on appelle conjugué de X le vecteur : X = z1 , . . . , zn . 1) Soit F un sous-espace vectoriel de Cn . On note F l’ensemble des conjugués des éléments de F . Montrer que F est un sous-espace vectoriel de Cn et que : dim F = dim F . 2) Montrer que pour tout M ∈ Mn (C) : rg M = rg(M ). 3) Soit A ∈ M3 (R) — mais donc : A ∈ M3 (C). On suppose que : A3 = −A. Afin de montrer que A n’est pas inversible, on suppose par l’absurde qu’elle l’est. a) Montrer l’égalité : MATRICIEL ∈ R. Calculer le rang des matrices 3 −3 1 1 1 1 4 . b c . 2) a 2 −1 a 2 b2 c 2 1 0 −2 −5 a 1 1 4 3 . 4) 1 a 1. 0 1 1 1 a 5 −3 Soient a, b, c suivantes : 2 1 −1 2 1) 1 1 −1 0 2 5 3) 6 5 9 5 7 0 C3 = Ker (A − iI3 ) ⊕ Ker (A + iI3 ). b) Conclure. ————————————– 37 ————————————– 32 Soient A ∈ Mn (K), B ∈ M p,n (K), C ∈ Mn,q (K) et D ∈ M p,q (K). On suppose A inversible. 1) Compléter le calcul par blocs suivant : I 0n,p ··· 0n,q In · · · A C = n . B D · · · Ip 0 p,n D − BA−1 C 0q,n Iq 2) En déduire une égalité intéressante de rangs. ————————————– 30 Soient A ∈ M p (K), B ∈ Mq (K) et X ∈ M p,q (K). A X Montrer que la matrice par blocs est inver0q,p B sible si et seulement si A et B le sont. Que vaut son inverse dans ce cas ? ————————————– Soit λ ∈ R. À quelle condition nécessaire et suffisante sur λ les sous-espaces vectoriels : Vect (λ, λ, 1) et Vect (1, λ, 1), (2, 1, 1) Soient A, B ∈ Mn (K) telles que : A + B = AB. 1) Montrer que I n − A et I n − B sont inversibles. 2) Montrer que A et B commutent. 38 ————————————– sont-ils supplémentaires dans R3 ? ————————————– 1 2 1 0 2 2 2 0 . Les sousOn pose : A = 0 −1 1 1 33 0 1 2 2 espaces vectoriels Ker A et Im A sont-ils supplémentaires dans R4 ? 39 1) 4 2) 40 Montrer que pour tout X ∈ Rn : t XX = 0 =⇒ Soient A, B ∈ Mn (K). 1) Montrer que si AB est inversible, alors A et B le sont aussi. Montrer que pour tout λ ∈ K, AB−λI n 2) est inversible si et seulement si BA − λI n l’est. ————————————– ————————————– 34 Généraliser au cas où M ∈ Mn,p (C). FORMES LINÉAIRES ET HYPERPLANS Soit α ∈ C. Montrer que P ∈ C[X ]/ P(α) = 0 est un hyperplan de C[X ] et en déterminer une base. ————————————– X = 0. 41 En déduire que pour tout M ∈ Mn,p (R) : rg(M ) = rg t M M . Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle et H1 et H2 deux hyperplans distincts de E. Calculer dim(H1 ∩ H2 ). ————————————– 3 APPLICATIONS LINÉAIRES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 5 PROJECTEURS ET SYMÉTRIES 49 On note Sn (K) (resp. An (K)) l’ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) de Mn (K). Redémontrer l’égalité : Mn (K) = Sn (K)⊕An (K) en exhibant une certaine symétrie. 42 Soient E un K-espace vectoriel et p et q deux projecteurs de E. 1) Montrer que p + q est un projecteur de E si et seulement si : pq = qp = 0L (E) . 2) Montrer que, dans ce cas, Im p et Im q sont en somme directe et que p + q est le projecteur de E sur Im p + Im q de direction Ker p ∩ Ker q. ————————————– 43 ————————————– On note ϕ l’application : (x, y, z) 7−→ −3x+4 y−6z, −12x+16 y−24z, −6x+8 y−12z . 50 1) De quelle matrice ϕ est-elle l’application linéaire canoniquement associée ? En déduire que ϕ est un projecteur de R3 . 2) Caractériser ϕ géométriquement. ————————————– 2 2 −1 −1 2 2 −1 −1 On pose : A = . 1 1 1 −2 44 1 1 −2 1 A2 , puis montrer que : R4 = Ker A ⊕ Im A. Soient E un K-espace vectoriel et p et q deux projecteurs de E. Montrer que : Ker p = Ker q si et seulement si : p = pq et q = qp. ————————————– 51 Soit E un K-espace vectoriel. On note P (E) l’ensemble des projecteurs de E. 1) Montrer que la relation ´ sur P (E) définie pour tous p, q ∈ P (E) par : p´q ————————————– 6 1) Montrer que : R2 [X ] = R1 [X ] ⊕ Vect X 2 + X + 1 , puis déterminer une expression de la projection sur R1 [X ] parallèlement à Vect X 2 + X + 1 . ¦ © 2) On pose : G = (x, y, z) ∈ R3 / x + y +2z = 0 et ¦ F = (x, y, z) ∈ R3 / 52 © x+2 y+z = 0 et 2x+ y−z = 0 . SOMMES D’UN NOMBRE FINI DE SOUS -ESPACES VECTORIELS Soient E un K-espace vectoriel et f1 , . . . , f n ∈ L (E). On suppose que : f i f j = 0 pour tous i, j ∈ ¹1, nº distincts et que : f1 + . . . + f n = Id E . 1) Montrer que f1 , . . . , f n sont des projecteurs. n M 2) Montrer que : E = Im f i . i=1 Montrer que : R3 = F ⊕ G, puis déterminer une expression de la symétrie par rapport à F parallèlement à G. ————————————– 53 ————————————– 46 Soit A ∈ R[X ] non nul. Montrer que l’application qui à tout P ∈ R[X ] associe le reste de la division euclidienne de P par A est un projecteur de R[X ] — que l’on caractérisera géométriquement. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F1 , . . . , F p des sous-espaces vectoriels de E pour p X Fi . Montrer qu’il existe des souslesquels : E = i=1 espaces vectoriels G1 , . . . , G p de E pour lesquels : G1 ⊂ F 1 , ..., Gp ⊂ Fp et E= p M Gi . i=1 ————————————– ————————————– Soient E un K-espace vectoriel et p et q deux 47 projecteurs de E. On suppose que : pq = 0L (E) et on pose : r = p+q−qp. Montrer que r est la projection sur Im p ⊕ Im q de direction Ker p ∩ Ker q. 54 Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L (E). Montrer que pour tous x ∈ E, λ ∈ K et 1) P ∈ K[X ], si : f (x) = λx, alors : P( f )(x) = P(λ)x. ————————————– 48 pq = qp = p est une relation d’ordre. 2) Montrer que pour tousp, q ∈ P (E), si p et q commutent : inf p, q = pq. ————————————– 45 ⇐⇒ Calculer 2) Soient E un K-espace vectoriel et p et q deux projecteurs de E. On suppose que p et q commutent. Montrer que pq est le projecteur de E sur Im p ∩ Im q de direction Ker p + Ker q. Montrer que pour tous λ1 , . . . , λ p ∈ K distincts, les sous-espaces vectoriels : Ker f − λ1 Id E , . . . , Ker f − λ p Id E sont en somme directe. On pourra convoquer certains polynômes de Lagrange. ————————————– 4 APPLICATIONS LINÉAIRES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI ————————————– 55 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie. On note S l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E. Soit d : S −→ N une application. On suppose que : d(E) = dim E et que pour tous F, F ′ ∈ S : =⇒ d F + F ′ = d(F ) + d(F ′ ). F ∩ F ′ = 0E Montrer que pour tout F ∈ S : d(F ) = dim F . ————————————– 5
