Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre

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Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours
Dans tout le chapitre  désigne  ou , n et p deux entiers naturels non nuls.
1. L'ensemble Mn,p()
1.1 Définition et vocabulaire
Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de 
indexée par  = 1;n1;p. On note A = (ai,j)(i,j) et on représente A sous forme de tableau.
colonne j
a
   a1,p 
 1,1


ai,j
  ligne i


 an,1

an,p 


Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients.
Notation: L'ensemble des matrices nxp à coefficients dans  est noté Mn,p()
Vocabulaire:
 La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la note 0n,p.
 Si n = 1 A est une matrice ligne.
 Si p = 1, A est une matrice colonne
 Si n = p A est une matrice carrée d'ordre n.
a 
 1 ,j 
 On note Li(A) = (ai,1,...,ai,p) la ième ligne de A et Cj(A) =    la jème colonne de A.


 an ,j 


1.2 Combinaisons linéaires de matrices
Def: Soit A = (ai,j)(i,j) et B = (bi,j) (i,j), deux matrices de Mn,p() et .
 On définit une loi interne d'addition en posant A+B = (ai,j+bi,j) (i,j)
 On définit une loi de produit externe en posant A = (ai,j) (i,j)
Proposition 12.2: Soit A, BMn,p() et ,, on a les règles de calcul suivantes :
 Propriétés de l’addition
 (A+B)+C = A+(B+C)
 A+0n,p = 0n,p+A
 A+(-A) = (-A)+A = 0n,p où –A = (-ai,j) (i,j)
 A+B = B+A
 Propriétés de la multiplication par un
scalaire
 (A+B) = A + B et (+)A = A + B
 (A) = ()A
 1lK.A = A
 Remarque : On verra ultérieurement que l’ensemble Mn,p() muni des deux opérations
précédentes est un lK-espace vectoriel.
 Notation: Soit i et j deux entiers naturels. Le symbole de Kronecker ij est un entier qui vaut 1
si i = j et 0 sinon
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Def: On note Ei,j la matrice (k,i.l,j)(k,l).
C’est à dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la ligne i et à la
colonne j
Proposition 12.3 : Soit AMn,p(), A s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des
n
matrices (Ei,j)(i,j)  : A 
p

p
ai,jEi,j 
i 1 j 1
n
 a E
i,j i,j
j 1 i 1
 Remarques : On verra ultérieurement que ces matrices forment une base de Mn,p() appelée
base canonique.
1.3 Produit de deux matrices
Def : Soit n, p, m * et A = (aij)Mn,p() et B = (bij)Mp,m().
On définit la matrice ABMn,m(lK) par AB = (ci,j) avec
p
Pour tout (i,j)1;n1;m, c,i,j =
a
ik
bkj  a1 i b1 j  ai 2 b2 j  ...  aip bpj
k 1
 a1,1  a1,k  a1,p 



 



 ai,1  ai,k  ai,p 


 


 an,1  an,k  an,p 


 b1,1



 bk,1


b
 p,1
 c1,1



 ci,1


 cn,1

 b1,j

 bk,j

 bp,j
 c1,j

 cij

 cn,j
 b1,m 

 

 bk,m 
 
 bp,m 

 c1,m 

 

 ci,m 
 
 cn,m 

 Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels :
 Le produit AB n’est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A
soit égal au nombre de lignes de B
 Ce n'est pas une loi interne excepté dans le cas particulier des matrices carrées.
 Le produit n'est pas commutatif, même dans le cas de deux matrices carrées.
 Il existe A et B non nulles telles que AB = 0 donc la règle du produit nul est fausse.
 Si AB = AC on ne peut pas en déduire que B = C.
Proposition 12.4 : Soit A Mn,p(), B Mp,m(), X Mp,1() et Y M1,n()
 a1,1, a1,2  a1,p   x   a1,1 x1    a1,p xp

 1  
 a1,2, a2,2  a2,p   x2   a2,1 x1    a2,p xp
 AX = 
  = 
      

 

  x  
a
an,2  an,p  p 
a x    an,p xp
 n,1

 n,1 1
 YA = y1L1(A) + y2L2(A) + ... + ynLn(A)



 = x1C1(A) + x2C2(A) + ...+xpCp(A)



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 j1,m, Cj(AB) = A.Cj(B)
 i1,n, Li(AB) = Li(A).B
 i1,n, j1,m, cij = Li(A).Cj(B) avec C = AB
 Application: Ecriture matricielle d’un système linéaire:
Soit (S) un système de taille np et de matrice augmentée (A|B).
 x1 
 
x 
Si on note X =  2  , on a (S)  AX = B et le système homogène associé est (H)  AX = 0

 
 xp 
 
Proposition 12.5: Propriétés du produit matriciel.
 AMn,p(), BMp,q(), CMq,m(),
A(BC) = (AB)C
 AMn,p(), B,CMp,m(),
A(B+C) = AB + AC
 A,BMn,p(), CMp,m(),
(A+B)C = AC + BC
 lK, AMn,p(), BMp,m(),
(AB) = (A)B = A(B)
 1 0  0


0 1


 AMn,p(), In.A = A.Ip = A où In =
= (i,j)1 ≤ i,j ≤ n

 0


0  0 1 
Cas particulier important: Multiplication à droite et à gauche par Ei,j.
 AMn,p(), Ei,jMp,m() , A.Ei,j est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf la
jème colonne qui contient la ième colonne de A.
 AMp,m(), Ei,jMn,p , Ei,j.A est la matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf la ième
ligne qui contient la jème ligne de A.
 Lorsque le produit est bien défini, Ei,j.Ek,l = j,kEi,l
1.4 Transposition
Def: Soit AMn,p() avec A = (ai,j).
La transposée de A est la matrice de Mp,n() définie par tA = (aj,i)
 Dans la pratique: les lignes de A sont les colonnes de tA et inversement.
Proposition 12.6: Propriétés de la transposition
 La transposition est linéaire c'est à dire, A,BMn,p(), ,, t(A+B) = tA + tB
 AMn,p(), t(tA) = A
 AMnp(), BMp,m(), t(AB) = tB tA
2. Les matrices carrées
2.1 Calculs dans Mn()
Def: Une matrice nxn est appelée matrice carrée d'ordre n.
L'ensemble de ces matrices est noté Mn().
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D’après le paragraphe précédent :
 Toute matrice carrée s’écrit comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)1≤i,j≤n
 Soit A et B deux matrices carrées d’ordre n, le produits matriciels AB existe et donne une
matrice carrée d’ordre n. Le produit est donc une opération interne dans Mn(lK)
 En général on a AB  BA. Lorsque AB = BA, on dit que A et B commutent
 Pour toute matrice carrée A, AIn = InA = A
Def : On peut définir des puissances entières dans Mn() de la façon suivante :
AMn(), A0 = In et k, Ak+1 = Ak.A = A.Ak
Proposition 12.7 : Si A et B commutent dans Mn() alors on peut appliquer les formules du
binôme et de Bernoulli.
m
m, (A+B)m =
m
m 1
 m  k mk
 m  k mk
m
m
A
B

B
A
et
A
–
B
=
(A-B)
Ak Bm1k
 
 
k
k
k 0  
k0  
k 0



2.2 Matrices carrées particulières
a) Matrices diagonales
Def: Soit AMn().
 A = (ai,j) est diagonale ssi (ij  ai,j = 0)
 Si A est diagonale et si i1;n, aii = , A =  In est dite scalaire.
Exemple: D = diag(d1,...dn)
 Notation: Dn() est l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n.
Proposition 12.8 :
 Toute combinaison de matrice diagonales est une matrice diagonales
 diag(d1,...dn)diag(d'1,...,d'n) = diag(d1d'1,...,dnd'n)
 p, (diag(d1,...,dn))p = diag(d1p,...,dnp)
b) Matrices triangulaires
Def: Soit AMn().
 A = (ai,j) est triangulaire supérieure lorsque tous ses coefficients situés sous sa diagonale sont
nuls c’est à dire que (i > j  ai,j = 0).
 A = (ai,j) est triangulaire inférieure lorsque tous ses coefficients situés au-dessus de sa
diagonale sont nuls c’est à dire que (i < j  ai,j = 0).
 Exemple: T triangulaire supérieure.
Notations: On note Tn+() (resp Tn-()) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp.
inférieures) de Mn().
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Proposition 12.9 :
 Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure.
 Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure.
 Dans les deux cas la diagonale du produit est (t11t'11,...,tnnt'nn).
c) Matrices symétriques et antisymétriques
Def: Soit AMn()
A est symétrique lorsque tA = A c’est à dire que i,j1;n, aj,i = ai,j
A est antisymétrique lorsque tA = -A c’est à dire que i,j1;n, aj,i = - ai,j
 Remarque: Une matrice antisymétrique est nécessairement de diagonale nulle.
 Notation: On note Sn() l'ensembles des matrices symétriques et An() celui des matrices
antisymétriques.
3. Matrices carrées inversibles
3.1 Le groupe linéaire GLn()
Def: Soit AMn(). A est inversible lorsque il existe BMn() tel que AB = BA = In.
Dans ce cas, B est unique, est appelé inverse de A et noté A-1.
 Attention : 0n n’est pas inversible mais il existe des matrices non nulles non inversibles.
 Exemples à connaître:
 Une matrice diagonale est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
Si D = diag(d1,...dn) avec i1;n di0 alors D-1 = diag(d1-1,...,dn-1).
 In est inversible et In-1 = In.
 Notation/vocabulaire: L'ensemble des matrices inversibles est noté GLn() et appelé groupe
linéaire d’ordre n.
 Remarque : Si une matrice A est inversible alors
AB = AC  A-1(AB) = A-1(AC)  (A-1A)B = (A-1A)C  B=C
On peut donc "simplifier par A" l'égalité AB = AC.
Proposition 12.10: Compatibilité avec les opérations matricielles: Soit A, BGLn() et *.
 A est inversible et (A)-1 =
1
A1

 AB est inversible et (AB)-1 = B-1A-1
 tA est inversible et (tA)-1 = t(A-1)
3.2 OEL, matrices élémentaires :
Rappels du chapitre 11 :
 Il y a trois type d’OEL pour les matrices : Les permutations ( Li  Lj ), les dilatations ( Li  Li ) et les
transvections (Li  Li + Lj )
 Deux matrices A et A’ sont équivalentes en ligne lorsqu’on peut passer de l’une à l’autre par une succession
d’OEL. On note A  A'
L
 Un matrice échelonnée réduite est une matrice échelonnée dont tous les pivots valent 1 et qui sont les
seuls éléments non nuls de leur colonne respectives
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L’algorithme de Gauss Jordan montre que toute matrice est équivalente en ligne à une matrice échelonnée
réduite dont on admet l’unicité. Cf TD.
Def : Soit  un scalaire non nul, on appelle matrices élémentaires les matrices carrées suivantes :
 Les matrices de permutation : Pi,j obtenue en appliquant Li  Lj à In.
Pi,j = In - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i
 les matrices de dilatations : Di obtenue en appliquant Li  Li à In.
Di = In + (-1)Ei,i
 Les matrices de transvections Tij obtenue en appliquant Li  Li + Lj à In.
Tij = In + Eij
Proposition 12.11 : Soit A une matrice de Mn,p()
 L'opération Li  Lj correspond à multiplier à gauche par Pi,j
 L'opération Li  Li correspond à multiplier à gauche par D,i
 L'opération Li  Li + Lj correspond à multiplier à gauche par Ti,j,
Corollaire : Soit A et A’ deux matrices de Mn,p()
 Les matrices élémentaires sont inversibles et (Pij) = Pji, (Di)-1 = D 1 , Tij = Tij(-)
i

 A et A’ sont équivalentes en ligne ssi il existe une matrice inversible E produit de matrices
élémentaires telle que A’ = EA
 Pour toute matrice A, il existe une unique matrice échelonnée réduite R et une matrice
inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = ER
Théorème 12.1: Caractérisations des matrices inversibles.
Soit AMn(), les propositions suivantes sont équivalentes :
 A est inversible
 Le système AX = 0 a une unique solution
 A  In
L
 Pour tout BMn,1(), le système AX = B a une unique solution.
 Pour tout BMn,1(), le système AX = B a au moins une solution.
Plan de la démonstration :        puis      
 Conséquence pratique : Soit A,BMn() vérifiant BA = In, on a AX = 0  B(AX) = 0  X = 0
donc le système AX = 0 admet une unique solution et par suite A est inversible.
On a de plus AB = In  A-1(AB) = A-1  B = A-1.
Ainsi l’égalité BA = In suffit pour affirmer que A et B sont inversibles et inverses l’une de l’autre.
3.3 Calcul pratique de l’inverse :
Méthode 1 : Résolution d’un système linéaire
On considère le système (S)  AX = B où B est quelconque dans Mn,1().
On résout ce système. Si il a une unique solution alors A est inversible et on a :
(S)  X = A-1Y, ce qui permet de récupérer A-1
Méthode 2 : Utilisation de l’algorithme de Gauss-Jordan
Par une succession d'OEL on transforme M en l’unique matrice échelonnée réduite R qui lui est
équivalente en ligne. Parallèlement, on applique les mêmes OEL sur In : on obtient une matrice B.
Si R = In alors A est inversible et on a donc A = EIn et In = EB soit AB = In et par suite B = A-1.
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4. Complément : O.E.C
Def et Proposition 12.12: Opérations élémentaires sur les colonnes (O.E.C) d’une matrice.
Soit AMn,p(), les opérations élémentaires sur les colonnes de A sont :
 L’échange de deux colonnes (permutation)
l'opération Ci  Cj correspond à multiplier à droite par Pi,jGLp()
 La multiplication d'une colonne par un scalaire (dilatation)
l'opération Ci  Ci correspond à multiplier à droite par D,i GLp()
 L’ajout à une colonne d'un multiple d'une autre colonne (transvection)
l'opération Ci  Ci + Cj correspond à multiplier à droite par Ti,j, GLp()
Vocabulaire : Deux matrices A et A’ sont dites équivalentes en colonne lorsqu’on peut passer de
l’une à l’autre par une succession d’OEC ou encore lorsqu’il existe une matrice inversible E produit
de matrices élémentaires telle que A = A’E. On note A  A'
C
Def : A est échelonnée (réduite) en colonne lorsque sa transposée est échelonnée (réduite) en
ligne.
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