Feuille d`exercices 21 - Matrices

Feuille d’exercices 21 - Matrices - MPSI 1
2. Montrer que ∀A, B ∈ Mn (K), Tr (AB) = Tr (BA) et

1 2 3
Tr (t A) = Tr (A).
Soit A =  2 3 4 . Montrer que l’équation AX = B avec
3. Montrer qu’il n’existe pas de matrices A et B dans Mn (K)
3 4 5
telles que In = AB − BA.
X, B ∈ M3,n (R) admet des solutions si et seulement si les colonnes
4. Pour 1 ≤ i, j ≤ n, A ∈ Mn (K), déterminer Tr (AEi,j ).
de B sont en progression
arithmétique.


3 3
5. Soit ϕ une forme linéaire de Mn (K). Montrer qu’il existe une
Résoudre AX =  4 5 .
unique matrice A telle que ∀M ∈ Mn (K), ϕ(M ) = Tr (AM ).
5 7
Exercice 7


Exercice
2

1
0
1
1 ... 1
Calculer l’inverse des matrices suivantes :  2 −1 1  et

..  ∈ M (R), A = {aI +bU, (a, b) ∈ R2 }.
Soit U =  ...

n
n
−1 1 −1
.


1 1 −1
1 ... 1
 2 0 1 
1. Montrer que A est un sev et un sous anneau de Mn (R).
2 1 −1
2. Montrer que M = aIn + bU ∈ A est inversible dans A si et
Exercice
8
seulement si b(b + na) 6= 0 et déterminer M −1 .
Pour n ∈ N∗ , on définit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) par ai,j = j−1
i−1 pour
3. Montrer que si b(b + nb) = 0, alors M n’est pas inversible dans i ≤ j et 0 sinon.
Mn (R).
1. Déteminer l’endomorphisme de Rn−1 [X] dont la matrice dans
Exercice1
4. Déterminer les matrices M ∈ A telles que M n = In .
Exercice 3
On considère la matrice A =
−1 −2
3
4
la base canonique (1, X, ..., X n−1 ) est A.
2. Montrer que A est inversible et déterminer l’inverse de A.
Exercice 9
Soit f ∈ L(E) un K-ev de dimension n tel que f n−1 6= 0 et f n = 0.
.
1. Calculer A2 − 3A + 2I2 .
1. Soit a ∈ E tel que f n−1 (a) 6= 0. Montrer que la famille
(a, f (a), ..., f n−1 (a)) forme une base de E.
2. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.
3. Pour ≥ 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n
par X 2 − 3X + 2.
2. Déterminer les matrices de f, f 2 , f 3 , ..., f n−1 dans cette base.
3. Montrer que
4. Calculer An pour n ∈ Z.
{g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f } = Vect {Id, f, .., f n−1 }.
Exercice 4
Soit f l’application linéaire de R4 dans R3 dont la maExercice 10

 

trice
1 1 0
2 1 1
 dans les bases canoniques (e1 , e2 , e3 , e4 ) et (f1 , f2 , f3 ) est
4 5 −7 7
Déterminer le rang des matrices  1 0 1  et  1 2 1 .
 2 1 −1 3 .
0 1 1
1 1 2
1 −1 2 1
Exercice 11
Déterminer
en fonction des paramètres le rang de la matrice
1. Calculer f ((x, y, z, t)) pour (x, y, z, t) ∈ R4 .

1
1
1
2. On définit deux bases B = (e1 , e2 , 4e1 + e2 − 3e4 , −7e1 + e3 + 
b + c c + a a + b .
0
5e4 ) et B = (4f1 + 2f2 + f3 , 5f1 + f2 − f3 , f3 ). Déterminer
bc
ca
ab
la matrice de f par rapport aux bases B et B 0 .
Exercice 12 - Produit par blocs.
Exercice 5
Soit M ∈ Mm,n (K), M 0 ∈ Mn,p (K) telles que
On rappelle que la famille des matrices élémentaires Ei,j forme la
0
A B
A C0
base canonique de Mn (K).
0
M=
et M =
C D
B 0 D0
1. Calculer Ei,j .Ek,l pour 1 ≤ i, j, k, l ≤ n.
2. Déterminer l’ensemble
∀bMn (R), AB = BA.
des
matrices
A
telles
que
3. Montrer que In + Ei,j est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 6 - Trace d’une matrice carrée
Pour A = (ai,j ) ∈ Mn (K), on note Tr (A) =
n
X
ai,i la trace de A.
i=1
1. Montrer que Tr est une forme linéaire de Mn (K).
avec A ∈ Ms,t (K), B ∈ Ms,n−t (K), C ∈ Mm−s,t , D ∈
Mm−s,n−t (K) et A0 ∈ Mt,r (K), B 0 ∈ Mt,p−r (K), C 0 ∈
Mn−t,r (K), D0 ∈ Mn−t,p−r
(K).
A.A0 + B.C 0 A.B 0 + B.D0
0
Montrer que M.M =
.
C.A0 + D.C 0 C.B 0 + D.D0
Ce résultat se généralise à des matrices par un nombre quelconque de
blocs. Retenir qu’on peut effectuer un produit par blocs entre deux
matrices lorsque les dimensions le permettent.
Exercice 13
Résoudre
 en fonction 2 du
 x − my + m z
vant : mx − m2 y + mz

mx + y − m2 z
Exercice 14
paramètre m ∈ R le système sui=
2m
=
2m
= 1−m
1. Soit B ∈ Mn (K). Montrer que rg B = 1 si et seulement si
∃L ∈ M1,n (K), C ∈ Mn,1 (K), B = C × L.
2. Soient C ∈ Mn,1 (K) et L ∈ M1,n (K). Montrer que
(CL)2 = (LC)CL = Tr (CL)CL.
3. Soit A = In + CL ∈ Mn (K). Montrer que si 1 + Tr (CL) 6= 0,
alors A admet un inverse de la forme In + αCL avec α ∈ K à
déterminer.
4. Montrer que si 1 + Tr (CL) = 0, alors In + CL n’est pas inversible. On pourra utiliser une relation entre (CL)2 et CL.
5. Soient U inversible et V de rang 1 deux matrices de Mn (K).
Montrer que U +V est inversible si et seulement si Tr (U −1 V )+
1 6= 0 et le cas échéant, déterminer l’inverse de U + V .