Chapitre 9: Vecteurs Activité 2 p 314 : Découvrir la translation à l

Chapitre 9: Vecteurs
Activité 2 p 314 : Découvrir la translation à l'aide de Géogebra
I) Translation et vecteur s
1) Translation
Propriété 1 (admise) : Soient A et B deux points du plan. Pour tout point C du plan, il existe un
unique point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
Définition 1 : Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B est la
transformation du plan qui associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments [AD]
et [CB] aient le même milieu.
Exercices 17,20 p 329 (Image d'un polygone par une translation donnée, repérage du plan et
translation )
2) Vecteurs
Définition 2 : Soit A et B deux points du plan. A la translation qui transforme A en B, on associe un
segment orienté de A à B, appelé vecteur
⃗
AB
. Il est représenté par une flèche allant de A vers B.
I llustration :
D éfinition 3: Le point A est appelé origine du vecteur
⃗
AB
, le point B est appelé extrémité du
vecteur
⃗
AB.

Remarques : 1) Un vecteur
⃗
AB
( non nul ) est caractérisé par:
- Une longueur ( ou norme ): (celle du segment [AB],notée
∥⃗ AB∥
)
- Une direction ( celle de la droite (AB) )
- Un sens ( celui de A vers B )
2) La translation qui à A associe B s'appelle aussi la translation de vecteur
⃗
AB
3) Il existe une infinité de vecteurs
⃗
AB .
4) Un même vecteur possède plusieurs représentants.
Les vecteurs
⃗
AB , ⃗ CD , ⃗ EF
sont des représentants du vecteur
⃗
u.
Définition 4 : Soit A un point du plan. La translation qui à A associe A est appelée translation de
vecteur nul; on dit que
⃗
AA
est le vecteur nul, noté
⃗
0.
Remarque : Le vecteur
⃗
0
n'a pas de direction, ni de sens, et a pour norme 0.
II Opérations sur les vecteurs
1) Vecteurs égaux
Définition 5: Deux vecteurs
⃗
AB
et
⃗
CD
sont égaux ( et on écrit
⃗
AB=⃗ CD
) si et seulement
si:
- Ils ont la même longueur:
AB=CD
- Ils ont la même direction: les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues.
- Ils ont le même sens: le sens des vecteurs
⃗
AB
et
⃗
CD
est identique.
Propriété 2 (admise) : Soit A,B,C,D quatre points du plan.
⃗
AB=⃗ CD si et seulement ABDC est un parallèlogramme
si et seulement si les segments [AD] et
[BC] ont le même milieu.

Propriété 3 (admise) : Soit A,B,I 3 points du plan. Le point I est le milieu du segment [AB]
si et seulement si ⃗ AI =⃗ IB
Exemple 1 : Les quadrilatères ABGH,HGIC,DCEF,FEKJ étant des parallélogramme, donner les
vecteurs égaux aux vecteurs
⃗
AB et ⃗ CD.
Exercices 21,22,24,25,26 p 330 : Égalités de vecteurs, parallélogramme, th des milieux.
Exercice 27 p 330 : Représentant d'un vecteur
Activité 3 p 315 : Coordonnées d'un vecteur ( à la main )
2) Coordonnées d'un vecteur dans un repère quelconque.
Définition 6 : Soit (O,I,J) un repère du plan.Les coordonnées du vecteur
⃗
u
sont celles du point M
tel que
⃗
OM = ⃗u.
Si M(x;y), on note
(
x
y
)
ou (x;y) les coordonnées du vecteur
⃗
u

Remarques : 1 ) Le vecteur nul
⃗
0
a pour coordonnées (0;0)
2) Il arrive de noter le repère (O,I,J) de la manière suivante :
(0;⃗ i ;⃗ j),
où
⃗
OI =⃗ i et ⃗ OJ =⃗ j.
3) Les coordonnées du vecteur
⃗
u
sont les coordonnées du point M, image de dans la translation
de vecteur
⃗
u
Propriété 4 : Soit (O,I,J) un repère du plan,
A(xA; y A),
B(xB; y B)
deux points du plan. Alors
⃗
AB
(
xB−xA
yB−yA
)
.
Preuve : Par définition, les coordonnées du vecteur
⃗
AB
sont celles du point
M(xM; y M)
tel
que
⃗
OM =⃗ AB .
Comme
⃗
OM =⃗ AB ,
on en déduit d'après la propriété 2 que le quadrilatère
OMBA est un parallélogramme. Ainsi, [AM] et [OB] ont le même milieu, noté
K(xK; y K).
D'où
2×xK=xA+xM
et
2×xK=xB.
On en déduit donc que
xM=xB−xA.
De même
2×yK=yA+yM
et
2×yK=yB.
On en déduit donc que
yM=yB−yA.
Exemple 2 : Soit (O,I,J) un repère du plan,
A(2;−5),
B(1;4)
et
C(−2;−3)
trois points
du plan. Déterminer graphiquement les coordonnées des vecteur
⃗
AB ,
⃗
BC
et
⃗
AC.
Vérifier
ensuite algébriquement.
Propriété 5 (admise) : Soit
⃗u
(
x
y
)
,
⃗v
(
x '
y '
)
deux vecteurs du plan dans un repère
quelconque.Alors
(⃗ u=⃗ v)⇔(x=x ' et y=y ' ).
Exercices 28,31,36 p 330 : Déterminer les coordonnées d'un vecteur graphiquement et
algébriquement + Parallélogramme
Activité 4 p 315 : Somme de vecteur ( Geogebra )
3) Addition vectorielle
Définition 7 : La somme des deux vecteurs
⃗
u
et
⃗
v
est le vecteur associé à la translation
résultant de l’enchaînement de la translation de vecteur
⃗
u
puis de la translation de vecteur
⃗
v.
Propriété 6 : Relation de Chasles: Soient A,B,C 3points du plan.
Alors
⃗
AC =⃗ AB+⃗ BC.

Exemple 3 : Soit A,B,C trois points du plan distincts. Exprimer
⃗
AB+⃗ AC−⃗ BC
en fonction de :
1)
⃗
AB et ⃗ AC
2)
⃗
AC
Propriété 7 : Règle du parallélogramme : Soient A,B,C,D quatre points du plan.
ABDC est un parallélogramme si et seulement si
⃗
AD=⃗ AB+⃗ AC.
Preuve : Supposons que ABDC soit un parallélogramme. Alors
⃗
BD=⃗ AC.
Or, d'après la relation
de Chasles,
⃗
AD=⃗ AB+⃗ BD ,
d'où
⃗
AD=⃗ AB+⃗ AC.
Réciproquement, supposons que
⃗
AD=⃗ AB+⃗ AC.
Alors
⃗
AB+⃗ AD=⃗ AB+⃗ AC ,
d'où conclusion.
Propriété 8 ( admise) : Soient
⃗
u ,
⃗
v
et
⃗
w
trois vecteurs du plan. Alors :
1)
⃗
u+⃗ v=⃗ v+
⃗
u
2)
⃗
u+⃗ 0=⃗ 0+
⃗
u=⃗ u
3)
⃗
u+(⃗ v+⃗ w)=(⃗ u+
⃗
v)+⃗ w
Propriété 9 (admise) : Soit
⃗u
(
x
y
)
,
⃗v
(
x '
y '
)
deux vecteurs du plan dans un repère.
Alors
⃗u+⃗v
(
x+x '
y+y '
)
.
Exemple 4 : Soit
⃗u
(
−1
3
)
,
⃗v
(
5
8
)
deux vecteurs du plan dans un repère. Déterminer les
coordonnées du vecteur
⃗
u+⃗ v.
D éfinition 8 : Soit u un vecteur du plan. On appelle vecteur opposé au vecteur
⃗
u
un vecteur
⃗
v
tel que
⃗
u+⃗ v=⃗ v+
⃗
u=⃗ 0.
On note alors
⃗
v=−⃗ u.
Remarque : Soit A et B deux points du plan. D'après la relation de Chasles, on a
⃗
AB+⃗ BA=⃗ AA=⃗ 0
et
⃗
BA+⃗ AB=⃗ BB=⃗ 0 .
On définit alors le vecteur
⃗
BA
comme étant l'opposé
du vecteur
⃗
AB ,
soit
⃗
BA=− ⃗ AB .
Il s'agit donc du vecteur associé à la translation qui transforme
B en A
Exercices 37,40( oral ), exercice 43 p 331 : Translation,relation de Chasles, application
propriété 6
Exercice 67 p 334: Théorème des milieux et relation de Chasles
4) Différence de deux vecteurs
Définition 9 : Soit
⃗
u
et
⃗
v
deux vecteurs du plan.
-Le vecteur
⃗
u−⃗ v
est le vecteur défini par
⃗
u−⃗ v=⃗ u+(−⃗ v).