Feuille d`exercice – Suites et séries de fonctions

PC?2014–2015 – Lyc´ ee Louis Thuillier Feuille d’exercice – Suites et s´ eries de fonctions
Feuille d’exercice – Suites et s´ eries de fonctions
Convergences
Exercice 1 – Comvergence simple et uniforme
´
Etudier la convergence simple des suites de fonctions suivantes :
[1] un(x) = (ln x)2n−2
(ln x)2n+ 2 [2] un(x) = (1 −ln x)n[3] un(x)=4nxn(1 −xn) [4] un(x) = nxn(1 −x2)
Exercice 2 – Convergence uniforme
´
Etudier la convergence uniforme des suites de fonctions suivantes sur l’intervalle Ipr´ecis´e (´eventuellement selon la
valeur du param`etre)
[1] un(x) = xnln x;I=]0,1] [2] vn(x) = 1
(1 + x)1+1/n ;U=R+[3] wn(x) = nαx(1 −x)n;I= [0,1]
[4] fn(x) = x
n(1 + xn);I=R+[5] gn(x) = nx2e−nx;I=R+[6] hn(x) = x2sin 1 nx;I=R+
Pour les deux derniers cas, on pourra aussi s’int´eresser respectivement `a la convergence uniforme sur [a, +∞[ et [−a, a]
pour a > 0 fix´e.
Exercice 3 – Convergence uniforme
On pose
un(x)=e−nx sin(nx) avec x∈R+
1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (un) sur [0,+∞[.
2. Etudier la convergence uniforme sur [a, +∞[ avec a > 0.
3. Etudier la convergence uniforme sur [0,+∞[.
Exercice 4 – Recherche d’intervalle de convergence uniforme
Sur quels intervalles les suites de fonctions suivantes convergent–elles uniform´ement ? fn(x) = 4n(x2n−x2n+1 ) et
gn(x) = 2nx
1 + n2nx2.
Exercice 5 – Convergences de s´eries de fonctions
´
Etudier la convergence simple, normale ou uniforme sur l’intervalle demand´e des s´eries de fonctions suivantes
[1] X
n>1
1
n2+x2;I=R[2] X
n>1
(−1)n
n+x2;I=R[3] X
n>0
1
n+ 1χ[n,n+1[(x); I=R[4] X
n>0
nx2e−x√n;I=R+
o`u χΩd´esigne la fonction indicatrice de Ω.
Exercice 6 –Pxnf(x)
Soient f: [0,1] →Rcontinue et fn: [0,1] →Rd´efinie par fn(x) = xnf(x)
1. Former une condition n´ecessaire et suffisante sur fpour que la suite de fonction (fn) converge uniform´ement sur
[0,1].
2. Montrer que la s´erie de fonctions Pfnconverge uniform´ement sur [0,1] si, et seulement si, f(1) = 0 et fd´erivable
en 1 avec f0(1) = 0.
Exercice 7 – R´ecurrence
Soit la suite de fonctions polynˆomiales (Pn)n≥0d´efinie par P0= 0 et Pn+1(x) = Pn(x) + 1
2x−P2
n(x).
Montrer que (Pn)nconverge simplement sur [0,1] vers une fonction fque l’on pr´ecisera.
V´erifier que (Pn)nest une approximation uniforme sur [0,1] de f.
Dikanaina Harrivel – 5 octobre 2014 1

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Exercice 8
Soit α∈R, on consid`ere la s´erie X
n>1
unavec ∀x∈R;un(x) = nxαe−nx2.
1. ´ Etudier la convergence simple sur R∗
+de la s´erie Xun.
2. Sur quels intervalles de R∗
+la s´erie de fonction Xunconverge–t–elle normalement ?
Exercice 9 – R´ecurrence
Soit la suite de fonctions r´eelles (fn)n≥0telle que ∀x∈R+;f0(x)>0 et fn+1(x) = 1
2fn(x) + x fn(x).
´
Etudier la convergence simple sur R+de (fn)n.
Exercice 10 – R´ecurrence
Soit (fn)n≥1la suite de fonctions r´eelles d´efinies sur R+par ∀x∈Rf1(x)=2x(1 −x) et ∀n≥1fn+1 =f1◦fn.
´
Etudier la convergence simple de la suite (fn)nsur R.
Exercice 11 – R´ecurrence et convergence normale
On pose u0(x) = 1 et ∀n∈N;∀x∈[0,1]; un+1(x) = Zx
0
un(t−t2) dt.
1. Montrer que pour tout t∈[0,1] on a t−t2∈[0,1/2].
2. En d´eduire que pour tout n>1 on a ∀x∈[0,1]; |un(x)|61
2n−1.
3. En conclure que la s´erie Pnunconverge normalement sur [0,1] vers une fonction fv´erifiant ∀x∈[0,1]; f0(x) =
f(x−x2).
Exercice 12 [Centrale 2001]
Soit gune fonction lipschitzienne sur Rtelle que g(0) = 0.
1. Etudier l’existence de fonctions fcontinues sur Rtelles que ∀x∈Rf(x)−f(2x) = g(x).
2. Soit gune fonction monotone sur R. Etudier l’existence de fonctions fcontinues sur Rtelles que
∀x∈Rf(x) + f(2x) = g(x).[On pourra traiter le cas o`u g(0) = 0]
Exercice 13 – Th´eor`eme de Dini
Soient des fonctions fn: [a, b]→Rcontinues telles que la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction
nulle.
On suppose que pour tout x∈[a, b], la suite r´eelle (fn(x)) est d´ecroissante. On d´esire montrer que la convergence de
la suite (fn) est uniforme.
1. Justifier l’existence de lim
n→+∞kfnk∞
2. Justifier que pour tout n∈N, il existe xn∈[a, b] tel que kfnk∞=fn(xn).
3. En observant que pour tout p6n,fn(xn)6fp(xn) montrer que kfnk∞→0 et conclure.
Exercice 14 – CVS d’une fonction d´ecroissante vers 0
Soit fn: [0,1] →Rd´ecroissante et continue telle que (fn) converge simplement vers la fonction nulle.
Montrer que cette convergence est uniforme.
Exercice 15 – CVU et inf
Soit (fn) une suite de fonctions r´eelles continues et d´efinies sur [a, b]. On suppose que fnconverge uniform´ement vers
une fonction f.
Montrer inf
[a,b]fn→inf [a,b]f
Exercice 16
On suppose qu’une suite de fonctions (fn) de [a, b] vers Rconverge uniform´ement vers f: [a, b]→Ret on consid`ere
une suite (xn) d’´el´ements de [a, b] convergeant vers x. Montrer lim
n→∞ fn(xn) = f(x)
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Continuit´e et d´erivabilit´e
Exercice 17
Pour chacune des s´eries de fonctions suivantes, d´eterminer le domaine de d´efinition, la continuit´e et la d´erivabilit´e de
la somme
[1] X
n>1
(−1)n
n+x2[2] X
n>1
1
n2+x2[3] X
n>0
1
1 + n2x2[4] X
n>1
1
n2arctan 1 nx[5] X
n>0
x
(x2+ 1)n
[6] X
n>0
xn(1 −x)n[7] X
k>0
(−1)ke−kx
k2+ 1 [8] X
n>0
xk
1 + xk[9] X
n>1
(−1)n
ne−nx [10] X
n>0
xk
ksin(kx)
Exercice 18
D´eterminer les limites en +∞des sommes des s´eries [1,2,3,4] de l’exercice pr´ec´edent.
Exercice 19
Soient (an)n≥1une suite r´eelle positive d´ecroissante et fnla fonction d´efinie sur [0,1] par
fn(x) = anxn(1 −x)
1. ´ Etudier la convergence simple de la s´erie de fonctions Σfn.
2. Montrer qu’il y a convergence normale sur [0,1] si et seulement si la s´erie Xan
nconverge.
Exercice 20
On pose S(t) =
+∞
X
n=0
(−1)n
1 + nt pour t > 0.
1. Justifier que Sest d´efinie et continue sur ]0,+∞[.
2. ´ Etudier la limite de Sen +∞.
3. ´ Etablir que Sest de classe C1sur ]0,+∞[.
Exercice 21
Soit S(x) = X
n>1
xn
1 + x2navec x>0.
1. Pour quelles valeurs de xdans R+,S(x) est d´efinie ?
2. Former une relation entre S(x) et S(1/x) pour x6= 0.
3. ´ Etudier la continuit´e de Ssur [0,1[ puis sur ]1,+∞[.
4. Dresser le tableau de variation de S.
Exercice 22 [X/ESPCI]
D´eterminer les f∈ C0([0,1],R) telles que ∀x∈[0,1]; f(x) = ∞
X
n=1
f(xn)
2n
Calculs d’´equivalents
Exercice 23
Pour x > 0, on pose S(x) =
+∞
X
n=1
1
n+n2x
1. ´ Etudier le domaine de d´efinition de Sainsi que sa continuit´e et sa monotonie.
2. D´eterminer la limite en +∞de Spuis un ´equivalent de Sen +∞.
3. D´eterminer un ´equivalent `a Sen 0.
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Exercice 24
Soit S(x) = ∞
X
n=1
1
narctan 1 nx. Montrer que Sest bien d´efinie sur R∗. Donner un ´equivalent de Sen +∞.
Exercice 25 [Mines 2003]
Existence, continuit´e et ´equivalent en 0 et en +∞de ∞
X
n=1
1
√n(1 + nx2).
Exercice 26
On consid`ere f(x) =
+∞
X
n=1
un(x) avec un(x) = ln (1 + xn).
1. D´eterminer le domaine de d´efinition de fet sa continuit´e sur ce domaine de d´efinition.
2. Montrer que quand xtend vers 1−on a f(x)∼K
1−xavec K= lim
X→+∞ZX
0
ln 1 + e−udu
Exercice 27 [Centrale 2004]
´
Etudier f(x) =
+∞
X
n=1
arctan(nx)
n2. En particulier d´eterminer sa limite en +∞ainsi qu’un ´equivalent en 0.
Exercice 28
Sur I= ]−1,+∞[, on pose S(x) =
+∞
X
n=1
1
n−1 n+x
1. Montrer que Sest d´efinie et continue sur Iet ´etudier la monotonie de S.
2. Calculer S(x+ 1) −S(x). D´eterminer un ´equivalent de S(x) en −1+.
3. ´ Etablir ∀n∈N, S(n) =
n
X
k=1
1
k. D´eterminer un ´equivalent de S(x) en −1+.
Exercice 29
Soit f(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n−1ln 1 + x
n. Tracer le graphe de f.
Calculer f(x) + f(x+ 1). Donner un ´equivalent de f(x) aux bornes.
Exercice 30
Soit f(x) =
+∞
P
n=1
e−x√n.
1. Quel est le domaine de d´efinition de f?´ Etudier la continuit´e de fsur celui-ci. Montrer que fest strictement
d´ecroissante.
2. ´ Etudier la limite de fen +∞.
3. D´eterminer un ´equivalent simple de f(x) quand x→0+
Exercice 31 [CCP 2003]
Montrer que S(x) =
+∞
X
n=0
(−1)n
n!(x+n)est d´efinie et continue sur ]0,+∞[.
Calculer xS(x)−S(x+ 1) puis d´eterminer a,bet ctels que S(x) =
x→+∞a+b
x+c x2+o1 x.
Exercice 32
Domaine de d´efinition de f(x) =
+∞
X
n=1
x
n(1 + n2x2); ´equivalents de f(x) en 0+ et +∞.
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Exercice 33
Soit la fonction r´eelle f(x) =
+∞
X
n=1
nxn
1−xn.
1. Domaine de convergence.
2. Donner un ´equivalent de f(x) quand x→0 et quand x→1-.
Exercice 34
Soit la fonction r´eelle fd´efinie par f(x) =
+∞
X
n=1
ln 1 + a
x2n2o`u a > 0.
1. D´efinition et continuit´e de f.
2. Donner un ´equivalent de f(x) au voisinage de 0 et au voisinage de +∞.
Exercice 35 [Centrale 2003]
´
Etudier f(x) =
+∞
X
n=1
1
nx(existence, continuit´e et variations, ´equivalent en 1, limite en +∞).
Montrer que pour p>1 on a
+∞
X
n=p
1
nx∼
x→+∞
1
px.
Exercice 36 [Centrale]
Soit f:x∈R+7−→ ∞
X
n=1
(−1)n−1ln 1 + x
n.
1. Montrer que fest de classe C1et que ∀x > 0; f0(x) = Z1
0
tx
1 + tdt.
2. Donner un ´equivalent de fen 0 et +∞.
Exercice 37
Pour n∈Net x∈R+, on pose un(x) = arctan √n+x−arctan √n
1. Etudier l’existence et la continuit´e de la fonction Sd´efinie sur R+par la relation S(x) =
+∞
X
n=0
un(x)
2. D´eterminer la limite de Sen +∞.
Exercice 38
Pour x > 0, on pose F(x) =
+∞
X
n=0
(−1)n
n+x
1. Montrer que Fest bien d´efinie et de classe C1, de classe C∞.
2. Simplifier F(x) + F(x+ 1)
3. Montrer que pour x > 0, on a F(x) = Z1
0
tx−1
1 + tdt
4. Donner un ´equivalent de Fen 0 et en +∞.
Exercice 39 – Penser CSSA
On pose pour x > 0, S(x) =
+∞
X
n=0
(−1)n
n!(x+n)
1. Justifier que Sest d´efinie et de classe C1sur R+?.
2. Pr´eciser le sens de variation de S.
3. Etablir que xS(x)−S(x+ 1) = 1
e
4. Donner un ´equivalent de Sen +∞.
5. Donner un ´equivalent de Sen 0.
Dikanaina Harrivel – 5 octobre 2014 5