Feuille d`exercice – Suites et séries de fonctions

PC? 2014–2015 – Lycée Louis Thuillier
Feuille d’exercice – Suites et séries de fonctions
Feuille d’exercice – Suites et séries de fonctions
Convergences
Exercice 1 – Comvergence simple et uniforme
Étudier la convergence simple des suites de fonctions suivantes :
[1] un (x) =
(ln x)2n − 2
(ln x)2n + 2
[2] un (x) = (1 − ln x)n
[3] un (x) = 4n xn (1 − xn )
[4] un (x) = nxn (1 − x2 )
Exercice 2 – Convergence uniforme
Étudier la convergence uniforme des suites de fonctions suivantes sur l’intervalle I précisé (éventuellement selon la
valeur du paramètre)
[1] un (x) = xn ln x;
[4] fn (x) =
I =]0, 1]
x
;
n(1 + xn )
I = R+
[2] vn (x) =
1
;
(1 + x)1+1/n
[5] gn (x) = nx2 e−nx ;
U = R+
I = R+
[3] wn (x) = nα x(1 − x)n ;
1
2
;
[6] hn (x) = x sin
nx
I = [0, 1]
I = R+
Pour les deux derniers cas, on pourra aussi s’intéresser respectivement à la convergence uniforme sur [a, +∞[ et [−a, a]
pour a > 0 fixé.
Exercice 3 – Convergence uniforme
On pose
un (x) = e−nx sin(nx) avec x ∈ R+
1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (un ) sur [0, +∞[.
2. Etudier la convergence uniforme sur [a, +∞[ avec a > 0.
3. Etudier la convergence uniforme sur [0, +∞[.
Exercice 4 – Recherche d’intervalle de convergence uniforme
n
n+1
Sur quels intervalles les suites de fonctions suivantes convergent–elles uniformément ? fn (x) = 4n (x2 − x2
2n x
gn (x) =
.
1 + n2n x2
) et
Exercice 5 – Convergences de séries de fonctions
Étudier la convergence simple, normale ou uniforme sur l’intervalle demandé des séries de fonctions suivantes
[1]
X
n>1
1
;
2
n + x2
I=R
[2]
X (−1)n
;
n + x2
n>1
I=R
[3]
X
n>0
1
χ[n,n+1[ (x);
n+1
I=R
[4]
X
nx2 e−x
√
n
;
I = R+
n>0
où χΩ désigne la fonction indicatrice de Ω.
Exercice 6 –
P
xn f (x)
Soient f : [0, 1] → R continue et fn : [0, 1] → R définie par fn (x) = xn f (x)
1. Former une condition nécessaire et suffisante sur f pour que la suite de fonction (fn ) converge uniformément sur
[0, 1].
P
2. Montrer que la série de fonctions fn converge uniformément sur [0, 1] si, et seulement si, f (1) = 0 et f dérivable
en 1 avec f 0 (1) = 0.
Exercice 7 – Récurrence
Soit la suite de fonctions polynômiales (Pn )n≥0 définie par P0 = 0 et Pn+1 (x) = Pn (x) +
Montrer que (Pn )n converge simplement sur [0, 1] vers une fonction f que l’on précisera.
Vérifier que (Pn )n est une approximation uniforme sur [0, 1] de f .
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1
1
x − Pn2 (x) .
2
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Exercice 8
Soit α ∈ R, on considère la série
X
2
un avec ∀x ∈ R; un (x) = nxα e−nx .
n>1
X
1. Étudier la convergence simple sur R∗+ de la série
un .
X
2. Sur quels intervalles de R∗+ la série de fonction
un converge–t–elle normalement ?
Exercice 9 – Récurrence
Soit la suite de fonctions réelles (fn )n≥0 telle que ∀x ∈ R+ ; f0 (x) > 0 et fn+1 (x) =
1
2
fn (x) +
x
.
fn (x)
Étudier la convergence simple sur R+ de (fn )n .
Exercice 10 – Récurrence
Soit (fn )n≥1 la suite de fonctions réelles définies sur R+ par ∀x ∈ R f1 (x) = 2x(1 − x) et ∀n ≥ 1 fn+1 = f1 ◦ fn .
Étudier la convergence simple de la suite (fn )n sur R.
Exercice 11 – Récurrence et convergence normale
Z
On pose u0 (x) = 1 et ∀n ∈ N; ∀x ∈ [0, 1];
x
un+1 (x) =
un (t − t2 ) dt.
0
1. Montrer que pour tout t ∈ [0, 1] on a t − t2 ∈ [0, 1/2].
1
2. En déduire que pour tout n > 1 on a ∀x ∈ [0, 1]; |un (x)| 6 n−1 .
2
P
3. En conclure que la série n un converge normalement sur [0, 1] vers une fonction f vérifiant ∀x ∈ [0, 1]; f 0 (x) =
f (x − x2 ).
Exercice 12 [Centrale 2001]
Soit g une fonction lipschitzienne sur R telle que g(0) = 0.
1. Etudier l’existence de fonctions f continues sur R telles que ∀x ∈ R f (x) − f (2x) = g(x).
2. Soit g une fonction monotone sur R. Etudier l’existence de fonctions f continues sur R telles que
∀x ∈ R f (x) + f (2x) = g(x). [On pourra traiter le cas où g(0) = 0]
Exercice 13 – Théorème de Dini
Soient des fonctions fn : [a, b] → R continues telles que la suite de fonctions (fn ) converge simplement vers la fonction
nulle.
On suppose que pour tout x ∈ [a, b], la suite réelle (fn (x)) est décroissante. On désire montrer que la convergence de
la suite (fn ) est uniforme.
1. Justifier l’existence de
lim kfn k∞
n→+∞
2. Justifier que pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ [a, b] tel que kfn k∞ = fn (xn ).
3. En observant que pour tout p 6 n, fn (xn ) 6 fp (xn ) montrer que kfn k∞ → 0 et conclure.
Exercice 14 – CVS d’une fonction décroissante vers 0
Soit fn : [0, 1] → R décroissante et continue telle que (fn ) converge simplement vers la fonction nulle.
Montrer que cette convergence est uniforme.
Exercice 15 – CVU et inf
Soit (fn ) une suite de fonctions réelles continues et définies sur [a, b]. On suppose que fn converge uniformément vers
une fonction f .
Montrer inf fn → inf f
[a,b]
[a,b]
Exercice 16
On suppose qu’une suite de fonctions (fn ) de [a, b] vers R converge uniformément vers f : [a, b] → R et on considère
une suite (xn ) d’éléments de [a, b] convergeant vers x. Montrer lim fn (xn ) = f (x)
n→∞
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2
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Continuité et dérivabilité
Exercice 17
Pour chacune des séries de fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, la continuité et la dérivabilité de
la somme
X
X
X 1
X (−1)n
X
1
1
1
x
[2]
[3]
[4]
arctan
[1]
[5]
2
2
2
2
2
2
n+x
n +x
1+n x
n
nx
(x2 + 1)n
[6]
n>1
n>1
n>0
X
X (−1)k e−kx
X
xn (1 − x)n
[7]
n>0
k>0
k2 + 1
[8]
n>0
n>1
n>0
X (−1)n
[9]
e−nx
n
k
x
1 + xk
[10]
n>1
X xk
sin(kx)
k
n>0
Exercice 18
Déterminer les limites en +∞ des sommes des séries [1,2,3,4] de l’exercice précédent.
Exercice 19
Soient (an )n≥1 une suite réelle positive décroissante et fn la fonction définie sur [0, 1] par
fn (x) = an xn (1 − x)
1. Étudier la convergence simple de la série de fonctions Σfn .
2. Montrer qu’il y a convergence normale sur [0, 1] si et seulement si la série
X an
Exercice 20
+∞
X
(−1)n
pour t > 0.
On pose S(t) =
1 + nt
n=0
1. Justifier que S est définie et continue sur ]0, +∞[.
2. Étudier la limite de S en +∞.
3. Établir que S est de classe C 1 sur ]0, +∞[.
Exercice 21
X
Soit S(x) =
n>1
xn
avec x > 0.
1 + x2n
1. Pour quelles valeurs de x dans R+ , S(x) est définie ?
2. Former une relation entre S(x) et S(1/x) pour x 6= 0.
3. Étudier la continuité de S sur [0, 1[ puis sur ]1, +∞[.
4. Dresser le tableau de variation de S.
Exercice 22 [X/ESPCI]
Déterminer les f ∈ C 0 ([0, 1], R) telles que ∀x ∈ [0, 1]; f (x) =
∞
X
f (xn )
2n
n=1
Calculs d’équivalents
Exercice 23
Pour x > 0, on pose S(x) =
+∞
X
1
n
+
n2 x
n=1
1. Étudier le domaine de définition de S ainsi que sa continuité et sa monotonie.
2. Déterminer la limite en +∞ de S puis un équivalent de S en +∞.
3. Déterminer un équivalent à S en 0.
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3
n
converge.
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Exercice 24
∞
X
1
1
Soit S(x) =
arctan
. Montrer que S est bien définie sur R∗ . Donner un équivalent de S en +∞.
n
nx
n=1
Exercice 25 [Mines 2003]
Existence, continuité et équivalent en 0 et en +∞ de
∞
X
√
n=1
1
.
n(1 + nx2 )
Exercice 26
On considère f (x) =
+∞
X
un (x) avec un (x) = ln (1 + xn ).
n=1
1. Déterminer le domaine de définition de f et sa continuité sur ce domaine de définition.
Z X
K
−
2. Montrer que quand x tend vers 1 on a f (x) ∼
avec K = lim
ln 1 + e−u du
X→+∞ 0
1−x
Exercice 27 [Centrale 2004]
+∞
X
arctan(nx)
Étudier f (x) =
. En particulier déterminer sa limite en +∞ ainsi qu’un équivalent en 0.
n2
n=1
Exercice 28
Sur I = ]−1, +∞[, on pose S(x) =
+∞
X
1
1
−
n
n
+
x
n=1
1. Montrer que S est définie et continue sur I et étudier la monotonie de S.
2. Calculer S(x + 1) − S(x). Déterminer un équivalent de S(x) en −1+ .
n
X
1
. Déterminer un équivalent de S(x) en −1+ .
3. Établir ∀n ∈ N, S(n) =
k
k=1
Exercice 29
+∞
X
x
Soit f (x) =
(−1)n−1 ln 1 +
. Tracer le graphe de f .
n
n=1
Calculer f (x) + f (x + 1). Donner un équivalent de f (x) aux bornes.
Exercice 30
+∞
P −x√n
Soit f (x) =
e
.
n=1
1. Quel est le domaine de définition de f ? Étudier la continuité de f sur celui-ci. Montrer que f est strictement
décroissante.
2. Étudier la limite de f en +∞.
3. Déterminer un équivalent simple de f (x) quand x → 0+
Exercice 31 [CCP 2003]
Montrer que S(x) =
+∞
X
(−1)n
est définie et continue sur ]0, +∞[.
n!(x + n)
n=0
Calculer xS(x) − S(x + 1) puis déterminer a, b et c tels que S(x)
=
x→+∞
a+
b
c
+ 2 +o
x x
Exercice 32
+∞
X
Domaine de définition de f (x) =
x
; équivalents de f (x) en 0+ et +∞.
n(1 + n2 x2 )
n=1
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4
1
.
x
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Exercice 33
Soit la fonction réelle f (x) =
+∞
X
nxn
.
1 − xn
n=1
1. Domaine de convergence.
2. Donner un équivalent de f (x) quand x → 0 et quand x → 1-.
Exercice 34
Soit la fonction réelle f définie par f (x) =
+∞
X
ln 1 +
n=1
a où a > 0.
x2 n2
1. Définition et continuité de f .
2. Donner un équivalent de f (x) au voisinage de 0 et au voisinage de +∞.
Exercice 35 [Centrale 2003]
+∞
X
1
(existence, continuité et variations, équivalent en 1, limite en +∞).
Étudier f (x) =
nx
n=1
Montrer que pour p > 1 on a
+∞
X
1
nx
n=p
∼
x→+∞
1
.
px
Exercice 36 [Centrale]
Soit f : x ∈ R+ 7−→
∞
X
x
.
(−1)n−1 ln 1 +
n
n=1
1. Montrer que f est de classe C 1 et que ∀x > 0; f 0 (x) =
Z
0
1
tx
dt.
1+t
2. Donner un équivalent de f en 0 et +∞.
Exercice 37
√
√
Pour n ∈ N et x ∈ R+ , on pose un (x) = arctan n + x − arctan n
1. Etudier l’existence et la continuité de la fonction S définie sur R+ par la relation S(x) =
+∞
X
n=0
2. Déterminer la limite de S en +∞.
Exercice 38
Pour x > 0, on pose F (x) =
+∞
X
(−1)n
n+x
n=0
1. Montrer que F est bien définie et de classe C 1 , de classe C ∞ .
2. Simplifier F (x) + F (x + 1)
1
tx−1
dt
0 1+t
4. Donner un équivalent de F en 0 et en +∞.
Z
3. Montrer que pour x > 0, on a F (x) =
Exercice 39 – Penser CSSA
On pose pour x > 0, S(x) =
+∞
X
(−1)n
n!(x + n)
n=0
1. Justifier que S est définie et de classe C 1 sur R+? .
2. Préciser le sens de variation de S.
1
3. Etablir que xS(x) − S(x + 1) =
e
4. Donner un équivalent de S en +∞.
5. Donner un équivalent de S en 0.
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5
un (x)
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Exercice 40
Montrer qu’il existe une unique fonction f : ]0, +∞[ → R de limite nulle en +∞ et vérifiant ∀x > 0, f (x)+f (x+1) =
1
.
x2
Intégration
Exercice 41 – Il faut être sur un segment
Pour x ∈ [0, π/2], on pose fn (x) = n sin x cosn x.
1. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn ).
Z π/2
fn (x)dx.
2. Calculer In =
0
La suite (fn ) converge-t-elle uniformément ?
3. Justifier qu’il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans ]0, π/2].
Exercice 42
1. Montrer que la suite de fonctions fn (x) = x(1 + nα e−nx ) définies sur R+ pour α ∈ R et n ∈ N? converge
simplement vers une fonction f à déterminer.
2. Déterminer les valeurs de α pour lesquelles il y a convergence uniforme.
Z 1
√
x(1 + ne−nx )dx
3. Calculer lim
n→+∞
0
Exercice 43
+∞
X
ln(1 − t)
1
dt = −
.
2
t
n
0
n=1
Z 1
+∞ Z 1
X
sin(t)
2. Montrer que
tn sin(πt) dt =
dt.
t
0
n=0 0
Z 1
+∞
X
1
π2
3. Sachant que
=
, calculer l’intégrale
ln(t) ln(1 − t) dt.
n2
6
0
n=1
Z
1
1. Montrer que
Exercice 44
Montrer que t ∈]0, 1] 7−→ tt se prolonge par continuité en 0 et que l’on a
Z
1
0
Exercice 45
tt dt =
+∞
X
(−1)n
.
nn
n=1
n
. Montrer que fn
Soit f ∈ C 0 ([−1, 1], R) et (fn )n≥0 la suite de fonctions réelles définies par fn (x) =
π(1 + n2 x2 )
Z 1
Z +1
converge simplement puis calculer
f (t)dt et montrer alors que lim
f (x)fn (x) dx = f (0).
n→+∞
−1
Exercice 46
On pose un (x) = (−1)n+1 x2n+2 ln x pour x ∈ ]0, 1] et un (0) = 0
1. Calculer
+∞
X
un (x)
n=0
2. Montrer que la série des un converge uniformément sur [0, 1].
Z 1
∞
X
ln x
(−1)n+1
dx
=
3. En déduire l’égalité
2
(2n + 1)2
0 1+x
n=0
Dikanaina Harrivel – 5 octobre 2014
6
−1