TROISIEME PARTIE CALCUL ACTUARIEL « VIE »

TROISIEME PARTIE
CALCUL ACTUARIEL
« VIE »
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères
1
CHAPITRE 3
PROBABILITES VIAGERES
Sommaire
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
6. Capital différé
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
- Phénomène fortuit et événement
- Probabilité
- Probabilité conditionnelle
- Indépendance
- Variable aléatoire
- Loi de probabilité et fonction de répartition
- v.a. aléatoires discrètes et à densité
- Moyenne d’une v.a.
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
6. Capital différé
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Phénomène fortuit et événement
Phénomène fortuit = dû au hasard :
- conditions initiales identiques
- variabilité des résultats (ensemble Ω)
i. anarchie d’une réalisation à l’autre
ii. régularité moyenne à long terme
Evénement : fait susceptible de se produire ou non
= partie de Ω
Si résultat ω, A se produit ⇔ ω ∈ A
Evénement certain = Ω
Evénement impossible = ∅
Interprétations ensemblistes
Opération logique
Contraire de A
A implique B
A et B
A ou B
A, mais pas B
A et B incompatible
Opération ensembliste
A
A⊂B
A∩B
A∪B
A\B
A∩B=∅
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Probabilité
Définition : mesure, pour les événements, de la tendance à se
produire
Axiomes de Kolmogorov
∀A ⊂ Ω, Pr( A) ≥ 0
A ∩ B = ∅ ⇒ Pr( A ∪ B ) = Pr( A) + Pr( B )
Pr(Ω) = 1
∀A, B ⊂ Ω,
Propriétés
Pr(∅) = 0
∀A ⊂ Ω
0 ≤ Pr( A) ≤ 1
Pr( A ) = 1 − Pr( A)
∀A, B ⊂ Ω,
∀A, B ⊂ Ω,
A ⊂ B ⇒ Pr( A) ≤ Pr( B )
Pr( A ∪ B ) = Pr( A) + Pr( B) − Pr( A ∩ B )
(formule de Boole)
Modèle fini équiprobable
Ω = {ω1 ,K, ωn }
Pr ({ωi }) = 1 n
Dans ce cas,
Pr( A) =
(i = 1,K, n)
# ( A)
# (Ω)
= « nb cas favorables / nb cas possibles »
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Probabilité conditionnelle
Probabilité de A si B (sachant que B se produit)
Pr( A | B) =
Pr( A ∩ B)
Pr( B)
car - événement A Æ A ∩ B
- unité : Pr(B | B) = 1
Formule des probabilités totales
Si {A1 ,K, An } est une partition de Ω,
n
Pr( B) = ∑ Pr( Ai ) Pr( B | Ai )
i =1
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Indépendance
A est indépendant de B si
Pr( A | B ) = Pr( A | B )
Caractérisation
Pr( A I B) = Pr( A) ⋅ Pr( B)
N.B. : En général (si non indépendance)
Pr( A I B ) = Pr( A) ⋅ Pr( B | A)
Généralisation : deux phénomènes fortuits . et / (aspects
particuliers du ph. fort. -) sont indépendants si tout
événement de . est indépendant de tout événement de / :
Pr(G I H ) = Pr(G ) ⋅ Pr( H )
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Variable aléatoire (v.a.)
Définition : grandeur numérique dépendant du résultat d’un
phénomène fortuit
Mathématiquement,
X:
Ω→R
ω a X (ω )
Parfois, utilisation des v.a. sans définir Ω
(ex. : durée de vie d’une personne)
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Loi de probabilité et
fonction de répartition (f.r.)
Loi de probabilité : probabilité de n’importe quel événement
défini à partir de la v.a. :
Pr[ X ∈ E ]
∀E ⊂ R
Fonction de répartition
FX :
Propriétés
R → [0 ;1]
t a FX (t ) = Pr[ X ≤ t ]
0 ≤ F (t ) ≤ 1
F croissant
lim F (t ) = 0
lim F (t ) = 1
t → −∞
t → +∞
1 F(t)
0
t
Pr[ X > t ] = 1 − F (t )
Pr[ s < X ≤ t ] = F (t ) − F ( s )
Pr[ X = t ] = F (t ) − F (t −) = hauteur du saut
N.B. : si X > 0, F(t) = 0 pour t ≤ 0
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v.a. discrètes et à densité
Différentes manières de répartir la probabilité sur les valeurs
possibles :
- masses sur des valeurs isolées
- densité sur des plages continues
- mixte
v.a. discrète : valeurs possibles dénombrables
x
X ∝  1
 p1
x2 K xn K

p 2 K pn K 
∑p
pi = Pr[ X = xi ]
i
=1
i
Propriété : f.r. en escaliers
v.a. à densité : fonction f positive telle que
Pr[ X ∈ E ] = ∫ f ( x)dx
E
Propriétés
∫
+∞
−∞
f ( x) dx = 1
Pr[ X = t ] = 0 ∀t
Pr[t < X ≤ t + h] ≈ f (t ) ⋅ h
F (t ) = ∫
t
−∞
f ( x) dx
f (t ) = F ′(t )
f.r. continue
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Moyenne d’une variable aléatoire
Indicateur de localisation (notation : µ)
v.a. discrète : µ = ∑ xi pi
i
v.a. à densité : µ = ∫
En général, µ = ∫
+∞
0
+∞
−∞
xf ( x)dx
[1 − F (t )]dt − ∫
0
−∞
F (t )dt
Espérance (mathématique)
E(X) = µ
Propriété
E (aX + bY + c) = aE ( X ) + bE (Y ) + c
Généralisation
+∞
E ( g ( X ) ) = ∑ g ( xi ) pi = ∫ g ( x) f ( x)dx
i
−∞
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
- Durée de vie
- Probabilité de survie et de décès
- Probabilité de décès différé
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
6. Capital différé
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Durée de vie
On ne précise pas l’ensemble Ω.
Variable aléatoire : V, durée de vie d’une personne (> 0)
Probabilités d’événements définis à partir de V :
probabilités viagères (survie et décès)
Calcul pratique de ces probabilités :
table de mortalité (chap. 4)
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Probabilité de survie et de décès
Définitions
t
0
x
Probabilité qu’une tête d’age x survive au moins t
années (notation t px )
t
px = Pr([V > x + t ]|[V > x])
Pr([V > x + t ] ∩ [V > x])
Pr[V > x]
Pr[V > x + t ]
=
Pr[V > x]
=
Probabilité qu’une tête d’âge x décède dans un délai de
t années (notation t qx )
t
q x = Pr([V ≤ x + t ]|[V > x])
Pr([V ≤ x + t ] ∩ [V > x])
Pr[V > x]
Pr[ x < V ≤ x + t ]
=
Pr[V > x]
=
Cas particulier : t = 1
Taux annuel de survie : 1 px = px
Taux annuel de décès : 1 q x = q x
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Propriétés
t
px + t qx = 1
0<u<t ⇒
t
px =u px ⋅ t − u px + u
t
u
0
u
x
Pr[V > x + u ] Pr[V > x + t ]
⋅
Pr[V > x] Pr[V > x + u ]
Pr[V > x + t ]
=
Pr[V > x]
=t px
px ⋅ t − u px + u =
Cas particulier
t
px = 1px ⋅ t −1px +1 = 1px ⋅ 1px +1 ⋅ t − 2 px + 2 = K
Si t est entier,
t
px = p x ⋅ px +1 ⋅ p x + 2 ⋅ K ⋅ px + t −1
Intérêt : probabilités viagères exprimées à partir d’une
fonction d’une seule variable
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Probabilité de décès différé
k
0
t
x
Définition
Probabilité qu’une tête d’âge x décède dans un délai de
t années, différé de k (notation k t qx )
kt
qx = Pr([ x + k < V ≤ x + k + t ]|[V > x])
=
Pr[ x + k < V ≤ x + k + t ]
Pr[V > x]
Propriété
k t
qx = k px ⋅ tqx+k = k px −
k +t
px
Dém.
q =
kt x
Pr[ x + k < V ≤ x + k + t ]  Pr[V > x + k ] 
×

Pr[V > x]
Pr[
V
>
x
+
k
]


= k px ⋅ t qx + k
= k px − k px ⋅ t px + k
= k px − k + t px
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
6. Capital différé
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Probabilités viagères sur 2 têtes
Deux personnes (ayant éventuellement une distribution de V
différente), mais indépendantes
Probabilités de survie
Probabilité que les 2 têtes, d’âge x et y, survivent au
moins t années :
t
pxy = t px ⋅ t ~
py
Probabilité qu’au moins une des 2 têtes, d’âge x et y,
survive au moins t années :
t
pxy = t px ⋅ (1 − t ~
p y ) + (1 − t px ) ⋅ t ~
p y + t px ⋅ t ~
py
= p + ~
p − p ⋅ ~
p
t
x
t
y
t
x
t
y
Autre approche : formule de Boole
Probabilité qu’exactement une des 2 têtes, d’âge x et y,
survive au moins t années :
t
p[xy1] = t p x ⋅ (1 − t ~
p y ) + (1 − t p x ) ⋅ t ~
py
= p + ~
p −2 p ⋅ ~
p
t
x
t
y
t
x
t
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y
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Probabilités de décès : complémentaires
t
q xy = 1 − t pxy
= probabilité qu’au moins une des 2 têtes, d’âge x et y,
décède dans un délai de t années
t
q xy = 1 − t pxy
= probabilité que les 2 têtes, d’âge x et y, décèdent dans
un délai de t années
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
- Définition
- Lien avec les probabilités viagères
- Tables de mortalité
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
6. Capital différé
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Définition
Fonction lx représentant l’évolution d’une population fictive
d’individus
- nés à la même date
- ayant la même distribution de durée de vie
- indépendants
l0 = effectif au départ (= 1 000 000)
lx = nombre de survivants à l’âge x
dx = lx – lx +1 = nombre de décès durant ]x ; x +1]
Propriété
Pr[V > x] =
lx
l0
(= nb cas favorables / nb cas possibles)
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Lien avec les probabilités viagères
t px =
Pr[V > x + t ] l x + t l0 l x + t
=
=
Pr[V > x]
lx l0
lx
t qx = 1 −
lx + t lx − lx + t
=
lx
lx
px =
qx =
q =
kt x
l x +1
lx
l x − l x +1 d x
=
lx
lx
Pr[ x + k < V ≤ x + k + t ] lx + k − l x + k + t
=
lx
Pr[V > x]
Avantage sur « t px = p x ⋅ px +1 ⋅ p x + 2 ⋅ K ⋅ px + t −1 »
- fonction d’une seule variable
- exprime les probabilités viagères à l’aide d’un petit
nombre de facteurs
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Tables de mortalité
Les tables de mortalité donnent la fonction de survie lx pour
des x entiers seulement (= table de survie)
Æ définition des différentes notions
- de manière générale (x continu)
- utilisées à partir de la table de survie
Les tables de mortalité diffèrent
- suivant le sexe (M – F)
- suivant le type d’opération d’assurance (R – K)
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
- Définition
- Lien avec les probabilités viagères
- Cas discret
5. Espérance de survie
6. Capital différé
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Définition
Taux instantané de mortalité à l’âge x (notation : µx)
= taux de décès par unité de temps à l’âge x
µ x = lim
h→0
h
qx
h
Expression en fonction de lx
1 lx − lx + h
h
lx
µ x = lim ⋅
h→0
l −l
1
lim x + h x
lx h →0
h
l′
=− x
lx
= −(ln lx )′
=−
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Lien avec les probabilités viagères
t
t q x = ∫ s p x µ x + s ds
0
Dém.
∫
t
0
s p x µ x + s ds = ∫
l x + s  lx′+ s 
 −
 ds
lx  lx+ s 
t
0
=−
1 t
(l x + s )′s ds
∫
0
lx
=−
1
(lx+t − lx )
lx
=t qx
t
Dém.
∫
x+t
x
px = e
−
∫
µ s ds = − ∫
x +t
x
x+t
x
µ s ds
(ln ls )′ ds
= −(ln lx + t − ln l x )
= − ln
lx + t
lx
= − ln t px
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Cas discret
Si les grandeurs sont définies pour x entier seulement, la
dérivée n’a plus de sens
l
x–1
x
x+1
Approximation de la dérivée (pente de la tangente) par la
pente de la corde :
l x′ ≈
l x +1 − l x −1
2
Æ Taux instantané de mortalité approché :
µx = −
l x′ l x −1 − l x +1
≈
lx
2l x
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
- Définition
- Cas discret
6. Capital différé
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Définition
Espérance de survie à l’âge x (notation : ex )
= moyenne de la v.a. Wx, durée résiduelle de vie à l’âge x
1 − FW (t ) = Pr[Wx > t ]
x
= Pr([V > x + t ]|[V > x])
= t px
=
lx + t
lx
ex = E (Wx )
=∫
=
+∞
0
[1 − FW (t )]dt
x
1 +∞
l x + t dt
∫
0
lx
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Cas discret
On suppose, par symétrie, que tous les décès d’une année ont
lieu au milieu de l’année
1 3 5 
Les valeurs de la v.a. Wx sont :  , , ,K
2 2 2 
avec
1

Pr Wx = t +  = Pr([ x + t < V ≤ x + t + 1]|[V > x])
2

l −l
= x + t x + t +1
lx
 1 l −l
ex = ∑  t +  x + t x + t +1
2
lx
t =0 
∞
1 ∞
1 ∞

= ∑ t (l x + t − lx + t +1 ) + ∑ (l x + t − l x + t +1 )
lx  t = 0
2 t =0

∞
∑ t (l
t =0
x +t
− l x + t +1 ) = (l x +1 − l x + 2 ) + 2(l x + 2 − l x + 3 ) + 3(l x + 3 − l x + 4 ) + K
= l x +1 + l x + 2 + l x + 3 + K
∞
∑ (l
t =0
x+t
− l x + t +1 ) = (lx − lx +1 ) + (l x +1 − lx + 2 ) + (l x + 2 − l x + 3 ) + K = l x
1
1  1 ∞
1
ex = (lx +1 + lx + 2 + l x + 3 + K) + lx  = ∑ l x + t +
2  lx t =1
2
lx 
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3. Probabilités viagères
0. Rappels
1. Probabilités viagères sur 1 tête
2. Probabilités viagères sur 2 têtes
3. Fonction de survie
4. Taux instantané de mortalité
5. Espérance de survie
6. Capital différé
- Définition
- Symboles de commutation
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Définition
Capital différé de t années pour une personne d’âge x
(notation : t Ex )
= valeur actuelle d’un versement de 1 UM dans t
années, à une personne d’âge actuel x, si elle est
toujours en vie (en x + t)
Première approche (probabiliste)
Cette valeur actuelle est la moyenne d’une v.a. :
 0

 t qx
On a donc t Ex = t px ⋅ v t =
vt 

t px 
lx + t t
v
lx
Deuxième approche (statistique)
Les individus de la population fictive versent t Ex à
l’âge x pour que les survivants reçoivent 1 UM t
années plus tard. Equivalence :
lx ⋅ t Ex = lx + t ⋅ vt
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Symboles de commutation
= expressions dépendant
- des probabilités viagères
- de facteurs d’actualisation
Æ double entrée : âge – taux d’intérêt
Notation : Dx = lx ⋅ v x
Capital différé
l x + t t l x + t ⋅ v x + t Dx + t
v =
=
t Ex =
x
lx
lx ⋅ v
Dx
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