3 Fonctions polynômes

3 Fonctions polynômes
3.1 Fonction polynôme de degré n
Définition : Une fonction polynôme est une fonction de la forme :
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 =
i=n
X
ai xi
i=0
Si n est le plus grand exposant des puissances de x on dit que la fonction polynôme est de
degré n.
Exemples : • f (x) = 3x5 − 4x3 + x2 + 3 est une fonction polynôme de degré 5.
• f (x) = x2 − 6x + 9 est une fonction polynôme de degré 2 ; on parle aussi de trinôme.
Propriétés : • Soit f la fonction définie par f (x) = xn , avec n > 0, alors f est dérivable sur
R et sa fonction dérivée est f ′ (x) = nxn−1 .
• La dérivée d’une fonction constante f (x) = k, où k ∈ R, est f ′ (x) = 0.
Cas particulier : Si n = 1 la fonction f (x) = xn est la fonction f (x) = x et sa dérivée est,
d’après la propriété ci-dessus : f ′ (x) = 1 × x1−1 = x0 = 1.
3.2 Opérations sur les dérivée
Propriétés : • Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k ∈ R. Si la fonction u admet
une fonction dérivée u′ sur l’intervalle I, alors la fonction f définie par f (x) = ku(x) est
dérivable sur I et sa fonction dérivée est f ′ (x) = ku′ (x).
• Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle I. Si u et v admettent pour fonctions
dérivées respectives u′ et v ′ sur I, alors la fonction f définie par f (x) = u(x) + v(x) est
dérivable sur I et sa fonction dérivée est : f ′ (x) = u′ (x) + v ′ (x)
(la dérivée d’une somme est la somme des dérivées).
Exemples : • La fonction f (x) = 5x7 est définie et dérivable sur R. En effet f est le produit de
5 par la fonction u(x) = x7 , de dérivée u′ (x) = 7x6 , d’où f ′ (x) = 5 × 7x6 = 35x6 .
• La fonction f (x) = x4 + x est la somme des fonctions u(x) = x4 et v(x) = x, alors la dérivée
de la fonction f est f ′ (x) = u′ (x) + v ′ (x) = 4x3 + 1.
3.3 Étude des variations d’une fonction
Les propriétés précédentes permettent de calculer la fonction dérivée d’une fonction polynôme.
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3. Fonctions polynômes
prog 2011
Exemple : f (x) = 5x4 − 8x3 + 4x2 − 3x − 7. On calcule la dérivée f ′ de f en écrivant la somme
des dérivée de chaque fonction composant f : f ′ (x) = 5 × 4x3 − 8 × 3x2 + 4 × 2x − 3 + 0 =
20x3 − 24x2 + 8x − 3.
Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, alors f est dérivable sur I et
l’étude du signe de la dérivée permet d’affirmer que :
— si pour tout x ∈ I on a f ′ (x) > 0, alors f est croissante sur I ;
— si pour tout x ∈ I on a f ′ (x) 6 0, alors f est décroissante sur I.
Exemple : Soit f (x) = x4 + 4x3 − 7. La fonction f est définie et dérivable sur R et f ′ (x) =
4x3 + 12x2 , d’où, en factorisant l’expression de f ′ , on obtient : f ′ (x) = 4x2 (x + 3) ; ceci permet
d’étudier le signe de f ′ et par suite les variations de f :
x
x+3
4x2
f ′ (x)
f (x)
−∞
−
+
−
−3
0
36
0
+
+
+
−34
0
3
0
0
+∞
+
+
+
−7
3.4 Tangente à la courbe en un point
Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A(a ; f (a)) à la courbe Cf , la
droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f ′ (a).
Exemple : Soit la fonction polynôme f (x) = x3 − 3x2 + 2x − 1.
On veut déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 2.
f ′ (x) = 3x2 − 6x + 2, donc f ′ (2) = 3 × 4 − 6 × 2 + 2 = 2 et
f (2) = 8 − 3 × 4 + 2 × 2 − 1 = −1.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point
A(2; −1) est f ′ (2) = 2, donc son équation est de la forme :
y = 2x + b. Pour déterminer l’ordonnée à l’origine b, il suffit
d’écrire que le point A(2; −1) appartient à la tangente, soit :
−1 = 2 × 2 + b, d’où b = −5 et l’équation de la tangente est :
y = 2x − 5.
y
0
Cf
2
x
−1
A
y = 2x − 5
Théorème : Si f est dérivable en a, alors une équation de la tangente à Cf en A(a ; f (a)) est
y = f ′ (a) × (x − a) + f (a).
Exemple : Pour la fonction polynôme précédente : f ′ (2) = 2 et f (2) = −1, donc l’équation de
la tangente est : y = 2(x − 2) − 1, soit y = 2x − 5.
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