exercices nombres complexes

Exercices nombres complexes
1) z =−5( √ 2+√ 2−i √ 2−√ 2) Forme exponentielle de z² et z
z² =25(2+ √ 2−2+√ 2−2i √ 4−2)
√2 √2 )
z²=100( −i
2
2
z² =100 e
z =−√ z² =−10e
z =10 e
i
−i
π
4
−i π
8
7π
8
2) Linéariser :
f ( x )=cos²x sin3 x
sin²2x
sinx
4
1−cos4x
f ( x )=
sinx
8
1
1
f ( x )= ( sinx− ( sin5x+sin (−3x)))
8
2
−1
f ( x)=
( sin5x− sin3x−2sinx)
16
f ( x)=
n
n
3)Déterminer les entiers naturels n tels que A= (1+i √ 3 ) −(1−i √ 3 ) =0
3
n
n
3
3
A=0⇔(1+i √ ) =(1−i √ )
3
n
3
n
2 √3 i
2 √3 i
⇔( ( + )) =( ( − ))
√3 2 2
√3 2 2
n
n
π
π
√ 3 ni
√ 3 −ni
⇔( 2 ) e 6 =(2 ) e 6
3
3
niπ
−ni π
⇔e 6 =e 6
⇔ n π +2k π=−n π +2k ' π
( k ; k ' )∈ℤ ²
6
6
⇔ n=6( k +k ' )
(k ; k ' )∈ℤ ²
Les solutions sont donc du type n=6p , p ∈ℤ ²
3
( j²+1)
( j+1) √ 3
4) Démontrer que i ( j−1) = 3 puis calculer de même i ( j²−1)
z+i
z+i
) ²+
+1=0
z−i
z−i
Résoudre alors : (
1
1
3
)
( +i √ ) √ 3(−1+i
( j+1)
2
2
3 √3
√
i
=i
=
=
( j−1)
3
−3 √ 3
3
√
(
+i
) 3(−1+i
)
2
2
3
1
3
√ 3(1+ i )
( −i √ )
( j²+1)
2
2
√ 3 = −√ 3
i
=i
=
( j²−1)
3
−3 √ 3
3
(
−i ) −3(1+i √ )
2
2
3
On reconnaît la somme des racines troisième de l'unité, d'où :
z+i
=j
z−i
jz−ij= z+i
i ( j+1)
z=
j−1
z+i
= j²
z−i
j²z−ij²= z+i
i( j² +1)
z=
j² −1
ou
ou
ou
z=
±√ 3
3
5) a et b sont deux complexes de modules 1 tels que ab soit différent de
a−b
-1. Démontrer que Z= 1+ab est un imaginaire pur. Calculer Z en
posant a =e i α et b=ei β
(α+β)
2
(α−β)
(α−β)
sin
e −e
2
2
Z=
=i
i(α+β) =
(α+β)
i
(α+β)
1+e
(α+β)
cos
e 2 2 cos
2
2
iα
e
iβ
i
2 i sin
π
π
π
π
6) Calculer : S =sin 5 +sin 2 5 +sin 3 5 +sin 4 5
iπ
S=
e 5 −e
−i π
5
+e
e
S=
2i π
5
iπ
5
−e
−2i π
5
1−e
4i π
5
1−e
iπ
5
+e
2i
−e
3i π
5
−i π
5
−e
−3i π
5
1−e
−4i π
5
1−e
2i
+e
−i π
5
4i π
5
−4i π
5
−e
Donc Z est un imaginaire pur
e
S=
−2i π
2π
−2 π
5
e
2 i sin
π
−i
5
5
−e 5 −i π
i π
π
−π
e 10 2 i sin
e 10 2 i sin
10
10
2i
2i cotan π
10
S=
=cotan π
2i
10
e
iπ
5
2i π
5
2 i sin
7)Résoudre dans C : z² +3iz+i−3=0
Δ=−9−4i+12=(2−i) ²
−3i+2−i
z1=
=1−2 i
2
−3i−2+i
z2=
=−1−i
2
8) Résoudre dans C :
( z² −2z−1) ²−(3i ( z−1)) ²=0
( z² − z (2−3i)−1−3i) ( z² −z (2+3i)−1+3i)=0
Δ 1=−5−12i+4+12i=i²
2−3i+i
z 1=
=1−2i
2
2−3i−i
z2=
=1−i
2
Δ 2=−5+12i+4−12i=i²
2+3i+i
z 3=
=1+2i
2
2+3i−i
z4=
=1+i
2
9) Résoudre dans C : z n+2z n−1+2z n−2+...+2z+1=0
z
1− z n 1−z n
+
=0
1−z 1− z
1−z n
(1+z )
=0
1− z
1+z =0⇔ z=−1
n
ou 1− z =0 ⇔ z=e
2ik π
n
, k ∈ ⟦ 1 ; n−1 ⟧
(n ∈ℕ et n⩾2)
1
7
10) Résoudre dans C : z̄ = 3
z
1
z̄4 = 6
∣z∣
solutionévidente :1
z=1ωk
,k ∈ ⟦ 0 ;3 ⟧
Soit : S ℂ ={ 1;−1 ; i ;−i }
11) Résoudre dans C : ( z+i )n −( z−i)n=0
z+i n
=√1
z−i
n
n
z+i= √ 1 z −i √1
(1+ √n 1)
z=i n
( √ 1−1)
z=i
0
2ik π
n
0
2ik π
n
(e +e
(e −e
)
)
e 2cos k π
n
z =i ik π
e n 2i sin k π
n
π
z=cotan k
n
,k ∈ ⟦ 1 ; n−1 ⟧
ik π
n
, k ∈⟦ 1 ; n−1 ⟧
,k ∈ ⟦ 1 ; n−1 ⟧
, n∈ℕ et n⩾2