exercices nombres complexes

Exercices nombres complexes
1)
z=−5(
√
2+
√
2−i
√
2−
√
2)
Forme exponentielle de z² et z
z² =25(2+
√
2−2+
√
2−2i
√
4−2)
z²=100(
√
2
2−i
√
2
2)
z² =100 e
−iπ
4
z=−
√
z² =−10e
−iπ
8
z=10 e
i7π
8
2) Linéariser :
f(x)=cos²x sin3x
f(x)= sin²2x
4sinx
f(x)=1−cos4x
8sinx
f(x)= 1
8(sinx−1 2(sin5x+sin (−3x)))
f(x)=−1
16 (sin5x−sin3x−2sinx)
3)Déterminer les entiers naturels n tels que A=
(1+i
√
3
3)
n
−(1−i
√
3
3)
n
=0
A=0⇔(1+i
√
3
3)
n
=(1−i
√
3
3)
n
⇔( 2
√
3(
√
3
2+i 2))
n
=( 2
√
3(
√
3
2−i 2))
n
⇔(2
√
3
3)
n
e
ni π
6=(2
√
3
3)
n
e
−ni π
6
⇔en i π
6=e−ni π 6
⇔nπ
6+2k π=−nπ 6+2k 'π (k ; k ' )∈ℤ ²
⇔n=6(k+k ' ) (k ; k ' )∈ℤ ²
Les solutions sont donc du type n=6p , p∈ℤ ²

4) Démontrer que
i(j+1)
(j−1)=
√
3
3
puis calculer de même
i(j²+1)
(j²−1)
Résoudre alors :
(z+i
z−i)²+z+i z−i+1=0
i(j+1)
(j−1)=i
(1
2+i
√
3
2)
(−3
2+i
√
3
2)
=
√
3(−1+i1
√
3)
3(−1+i
√
3
3)
=
√
3
3
i(j²+1)
(j²−1)=i
(1
2−i
√
3
2)
(−3
2−i
√
3
2)
=
√
3(1+i
√
3)
−3(1+i
√
3
3)
=−
√
3
3
On reconnaît la somme des racines troisième de l'unité, d'où :
z+i
z−i=j ou z+i z−i=j²
jz−ij=z+i ou j²z−ij²=z+i
z=i(j+1)
j−1ou z=i(j² +1) j² −1
z=±
√
3
3
5) a et b sont deux complexes de modules 1 tels que ab soit différent de
-1. Démontrer que
Z=a−b
1+ab
est un imaginaire pur. Calculer Z en
posant
a=eiαet b=eiβ
Z=eiα−eiβ
1+ei(α+β) =
ei(α+β)
22isin (α−β)
2
e
i(α+β)
22cos (α+β)
2
=i
sin (α−β)
2
cos (α+β)
2
Donc Z est un imaginaire pur
6) Calculer :
S=sin π
5+sin 2 π 5+sin 3 π 5+sin 4 π 5
S=e
iπ
5−e
−iπ
5+e
2i π
5−e
−2i π
5+e
3i π
5−e
−3i π
5+e
4i π
5−e
−4i π
5
2i
S=
e
iπ
51−e4i π
5
1−eiπ
5
−e
−iπ
51−e−4i π
5
1−e−iπ
5
2i

S=
eiπ
5
e2i π
52isin 2π
5
eiπ
10 2isin π
10
−e−iπ
5
e−2i π
52isin −2π
5
e−iπ
10 2isin −π
10
2i
S=
2i cotan π
10
2i=cotan π 10
7)Résoudre dans C :
z² +3iz+i−3=0
Δ=−9−4i+12=(2−i)²
z1=−3i+2−i
2=1−2i
z2=−3i−2+i
2=−1−i
8) Résoudre dans C :
(z² −2z−1)²−(3i(z−1))²=0
(z² −z(2−3i)−1−3i) (z² −z(2+3i)−1+3i)=0
Δ1=−5−12i+4+12i=i²
z1=2−3i+i
2=1−2i
z2=2−3i−i
2=1−i
Δ2=−5+12i+4−12i=i²
z3=2+3i+i
2=1+2i
z4=2+3i−i
2=1+i
9) Résoudre dans C :
zn+2zn−1+2zn−2+...+2z+1=0(n∈ℕet n⩾2)
z1−zn
1−z+1−zn 1−z=0
(1+z)1−zn
1−z=0
1+z=0⇔z=−1
ou 1−zn=0⇔z=e
2ik π
n, k∈
⟦ 1; n−1 ⟧

10) Résoudre dans C :
̄
z7=1
z3
̄
z4=1
∣z∣6
solutionévidente :1
z=1ωk,k ∈ ⟦ 0;3 ⟧
Soit :Sℂ= { 1;−1; i ;−i }
11) Résoudre dans C :
(z+i)n−( z−i)n=0, n∈ℕet n⩾2
z+i
z−i=n
√
1
z+i=n
√
1z−in
√
1
z=i(1+n
√
1)
(n
√
1−1)
z=i(e0+e
2ik π
n)
(e0−e
2ik π
n)
,k ∈ ⟦ 1; n−1 ⟧
z=i
e
ik π
n2cos kπ
n
e
ik π
n2isin kπ
n
, k ∈ ⟦ 1; n−1 ⟧
z=cotan k π
n,k ∈
⟦ 1; n−1 ⟧