Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R

1
UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques
Chapitre V : Suites numériques
1 Un peu de topologie de R
On a vu dans le chapitre II quelques propriétés de Rqui vont nous être utiles :
Rcontient l’ensemble des rationnels Q, ce dernier est insuffisant pour aborder certaines ques-
tions ; par exemple, il existe des parties de Qmajorées dans Qmais qui ne possèdent pas de borne
supérieure dans Q(penser à {x∈Q/x2≤2})
•Rmuni de l’addition est un groupe commutatif.
•Rmuni de l’addition et de la multiplication est un corps commutatif.
•Rest un corps totalement ordonné.
•Rest archimédien : ∀ε > 0,∀X∈R,∃n∈N/ nε > X
•Rpossède la propriété de la borne supérieure :
Axiomes 1 (de la borne supérieure).Soit A⊂Rune partie non vide et majorée de R, alors A
admet une borne supérieure.
Définition 1. Soit Aune partie de R.
1. Le point (ou réel) x∈Aest un point intérieur àAs’il existe un intervalle ouvert ]a, b[
(a<b) tel que x∈]a, b[⊂A.
2. Le point xest un point adhérent àAsi tout intervalle ouvert contenant xpossède une
intersection non vide avec A.
3. Le point xest un point d’accumulation de Asi tout intervalle ouvert contenant xpossède
une intersection avec Anon vide et non réduite à {x}.
4. Aest ouverte si tout point de Aappartient à un intervalle ouvert inclus dans A.
5. Aest fermée si son complémentaire Ac=R r Aest ouvert.
6. Ret ∅sont à la fois ouverts et fermés : ce sont les seules parties de Rpossédant cette
particularité.
L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

2
Remarques : Soit Aune partie de R.
1. Un intervalle ouvert est un ouvert. ( 1)
2. Toute union quelconque d’ouverts est un ouvert, toute intersection finie d’ouverts est un
ouvert. ( 2)
3. Un intervalle fermé est un fermé.
4. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. ( 3)
5. L’ensemble des points adhérents à Aest appelée l’adhérence de Aet est notée A.
6. Soit xun réel, parmi les intervalles ouverts contenant x, on admet qu’il suffit d’étudier ceux
qui sont centrés en x: ceux-ci sont de la forme ]x−ε, x +ε[où ε > 0. On peut alors réécrire
les définitions suivantes :
(a) Le réel x∈Aest intérieur à As’il existe ε > 0tel que ]x−ε, x +ε[⊂A, et Aest ouvert
si chacun de ses points lui est intérieur.
(b) Le point xest adhérent à Asi et seulement si
∀ε > 0,]x−ε, x +ε[∩A6=∅
(c) Le point xest un point d’accumulation de Asi et seulement si
∀ε > 0,]x−ε, x +ε[∩A\ {x} 6=∅
Exercices 1.
1. Justifier que tout point d’accumulation de Aappartient à A.
2. Soit A=]a, b]∪{c}(où c /∈[a, b]) : déterminer Aet l’ensemble des points d’accumulation de
A.
3. Justifier que 1
n/n ∈N∗admet le point d’accumulation 0.
4. Soit A={0,1,1/2,1/3, . . .}. Montrer que Aest fermé.
5. A={n(1 + (−1)n); n≥1}admet-il des points d’accumulations ?
6. A=1
n+n(1 + (−1)n); n≥1admet-il des points d’accumulations ?
Exercice 2. Soit Aune partie de R. Montrer que :
1. inf Aet sup Asont adhérents à A.
2. Aest fermée.
3. Aest fermé si et seulement si A=A.
1. Car tout point x∈]a, b[est bien inclus dans un tel intervalle ouvert x∈]a, b[⊂]a, b[.
2. Par contre, une intersection infinie d’ouverts n’est pas forcément un ouvert, comme par exemple
\
n≥1−1
n,1 n={0}
3. Par contre une union infinie de fermés n’est pas forcément un fermé. Par ex. [
x∈]0,1[{x}=]0,1[
L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

3
Une première utilisation de l’axiome de la borne supérieure est très abstraite mais ses applications
sont fondamentales. Sa preuve initiera le lecteur à des modes de raisonnement nouveaux :
Théorème 1. de Borel-Lebesgue Émile Borel = mathématicien français (1871-1956) ; Henri-
Léon Lebesgue = mathématicien français (1875-1941)
Soit (Ai)i∈Iune famille de parties ouvertes de R. Si Fest une partie fermée et bornée de R, telle
que F⊂[
i∈I
Ai, alors il existe une partie finie J⊂Itelle que F⊂[
i∈J
Ai
Théorème 2. des intervalles emboîtés (dit aussi de Bolzano-Weierstrass) Bernard Bolzano :
mathématicien allemand d’origine tchèque (1781-1848) & Karl Weierstrass : mathématicien alle-
mand (1815-1897)
Soit (In)n∈Nune suite de segments (intervalles fermés bornés) décroissante (ou emboités) :
In⊂In−1⊂ ··· ⊂ I0où chaque In= [an, bn]désigne un intervalle fermé borné. Si pour chaque
entier n,In6=∅alors : \
n∈N
In6=∅
2 Suites : généralités
Kdésigne le corps Rou C.
Définition 2. On appelle suite dans Ktoute application de Nà valeurs dans N. L’ensemble des
suites dans Kest noté KN.
Notations : Une suite dans Kest notée : (N→N
n7→ xn
ou (xn)n∈Nou plus simplement (xn)ou
x.
Si la suite est définie à partir du rang n0, on la note (xn)n≥n0
Définition 3. La somme de deux suites (xn)et (yn)est la suite (sn)définie par :
∀n∈N, sn=xn+yn
Définition 4. Le produit de deux suites (xn)et (yn)est la suite (pn)définie par :
∀n∈N, pn=xnyn
Remarque : On verra dans le cours d’algèbre que l’ensemble des suites à valeurs dans K, muni
de ces deux opérations possède un structure d’anneau commutatif unitaire.
Définition 5. La produit d’une suite (xn)par le scalaire λest la suite (qn)définie par :
∀n∈N, qn=λ·xn
Définition 6. Une suite réelle (xn)est dite :
•majorée s’il existe M∈Ktel que pour tout n∈N, xn≤M.
•minorée s’il existe m∈Ktel que pour tout n∈N, xn≥m.
•bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

4
3 Suites convergentes
Dans ce paragraphe et les suivants, les suites étudiées seront à valeurs réelles.
Définition 7. Une suite réelle (xn)converge vers la limite `∈Rlorsque :
∀ε > 0,∃N∈N/ n ≥N, |xn−`| ≤ ε
On note lim
n→∞ xn=`ou plus simplement lim xn=`.
On dit que la suite (xn)est convergente lorsqu’elle possède une limite réelle.
Une suite non convergente est dite divergente.
Remarques :
1. Pour une suite complexe (un)définie par un=an+ibn,(un)converge vers `=a+ib si et
seulement si lim
n→∞ an=aet lim n→∞ bn=b. Pour le voir on utilise l’encadrement max{|u1|,|u2|} ≤
|u| ≤ 2 max{|u1|,|u2|} si u=u1+iu2.
2. Pour des suites de nombres complexes, l’exemple de la suite (un)définie par un=nein prouve
la difficulté d’une définition plus générale, cette suite décrit un colimaçon allant vers l’infini mais
ne se dirige pas dans une direction déterminée du plan complexe.
Exercice 3. Montrer que les suites (xn),(yn)et (zn)définies par xn=1
n,yn=1 2net zn=an
(où 0<a<1) convergent toutes les trois vers 0.
Théorème 3. La limite d’une suite, lorsqu’elle existe, est unique.
Théorème 4. Soit (xn)une suite et l∈R. On suppose qu’il existe une suite (yn)de réels positifs
tels que |xn−`| ≤ ynà partir d’un certain rang et lim yn= 0, alors lim xn=`.
Corollaire 1. Soit (yn)une suite convergente vers 0et si quel que soit n∈N,|xn| ≤ |yn|alors
la suite (xn)converge vers 0.
Théorème 5. Toute suite convergente est bornée.
Remarque : La suite (un)définie par un= sin nest bornée sans être convergente. En effet,
la circonférence d’un cercle vaut 2πet les intervalles [π/6,5π/6] = {t∈[0,2π],sin t≥1/2}et
[7π/6,11π/6] = {t∈[0,2π],sin t≤ −1/2}ont tous les deux la longueur 2π/3>1, par suite il
existe des entiers aussi grands que l’on veut vérifiant sin n≤ −1/2et d’autres tels que sin n≥1/2:
cette suite diverge. En effet, pour tout entier Nil existe p, q supérieurs à Ntels que sin p≤ −1/2
et sin q≥1/2, si la limite est positive qdonne une contradiction car |`−sin q| ≥ 1
2(de même avec
psi ` < 0). On pourra aussi voir une preuve à l’aide des suites extraites.
Théorème 6. Passage à la limite dans les inégalités Soit (xn)une suite convergente de
limite `, et bun nombre réel. On suppose que pour tout entier N, il existe un entier n≥Ntel
que xn< b (respectivement xn> b), alors `≤b(resp. `≥b). En particulier s’il existe un rang à
partir duquel xn< b (resp. xn> b) alors `≤b(resp. `≥b)
L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

5
4 Opérations sur les limites
Théorème 7. Soient (xn)et (yn)deux suites convergentes de limites respectives `et `0. Alors :
1. La suite somme (xn+yn)est convergente de limite L=`+`0
2. Pour tout réel λ, la suite (λxn)est convergente de limite L0=λ`
3. La suite produit (xnyn)est convergente de limite L00 =`.`0
Théorème 8. Théorème des gendarmes Soient (xn),ynet (un)trois suites. On suppose que :
1. (xn)et ynconvergent vers un même réel `
2. Il existe N∈Ntel que ∀n≥N, xn≤un≤yn
Alors (un)est une suite convergente et lim un=`
Exercice 4. Prouvez que les suites définies par xn=sin n
n2−3, yn=√n+ sin n−√n, et
zn=√nsin 1
nconvergent.
Théorème 9. Limite d’un quotient Soit (xn)une suite convergente de limite `6= 0. Alors il
existe un rang à partir duquel xn6= 0 et lim 1
xn
=1
`.
5 Suites monotones
Définition 8. Une suite réelle (xn)est dite
•croissante, si et seulement si : ∀n∈N,∀m∈N,(n≤m⇒un≤um)
•décroissante, si et seulement si : ∀n∈N,∀m∈N,(n≤m⇒un≥um)
Exercice 5. Prouvez que la suite (un)définie par un=n+ sin nest croissante.
Exercice 6. Montrer que la suite (un)définie par un=√n2+n−nest croissante et qu’elle
converge vers 1
2.
Théorème 10. 1. Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
2. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
Remarque : Si (xn)est une suite de nombre réels croissante et majorée, alors, lim xn=
sup{xn;n∈N}= sup
n∈N
xn.
De même, si (xn)est une suite de nombre réels décroissante et minorée, alors, lim xn=
inf{xn;n∈N}= inf
n∈Nxn
L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion