Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R

1
UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques
MATH104 : Mathématiques
Chapitre V : Suites numériques
1
Un peu de topologie de R
On a vu dans le chapitre II quelques propriétés de R qui vont nous être utiles :
R contient l’ensemble des rationnels Q, ce dernier est insuffisant pour aborder certaines questions ; par exemple, il existe des parties de Q majorées dans Q mais qui ne possèdent pas de borne
supérieure dans Q (penser à {x ∈ Q/x2 ≤ 2})
• R muni de l’addition est un groupe commutatif.
• R muni de l’addition et de la multiplication est un corps commutatif.
• R est un corps totalement ordonné.
• R est archimédien : ∀ε > 0, ∀X ∈ R, ∃n ∈ N/ nε > X
• R possède la propriété de la borne supérieure :
Axiomes 1 (de la borne supérieure). Soit A ⊂ R une partie non vide et majorée de R, alors A
admet une borne supérieure.
Définition 1. Soit A une partie de R.
1. Le point (ou réel) x ∈ A est un point intérieur à A s’il existe un intervalle ouvert ]a, b[
(a < b) tel que x ∈]a, b[⊂ A.
2. Le point x est un point adhérent à A si tout intervalle ouvert contenant x possède une
intersection non vide avec A.
3. Le point x est un point d’accumulation de A si tout intervalle ouvert contenant x possède
une intersection avec A non vide et non réduite à {x}.
4. A est ouverte si tout point de A appartient à un intervalle ouvert inclus dans A.
5. A est fermée si son complémentaire Ac = R r A est ouvert.
6. R et ∅ sont à la fois ouverts et fermés : ce sont les seules parties de R possédant cette
particularité.
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Remarques : Soit A une partie de R.
1. Un intervalle ouvert est un ouvert. ( 1 )
2. Toute union quelconque d’ouverts est un ouvert, toute intersection finie d’ouverts est un
ouvert. ( 2 )
3. Un intervalle fermé est un fermé.
4. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. ( 3 )
5. L’ensemble des points adhérents à A est appelée l’adhérence de A et est notée A.
6. Soit x un réel, parmi les intervalles ouverts contenant x, on admet qu’il suffit d’étudier ceux
qui sont centrés en x : ceux-ci sont de la forme ]x − ε, x + ε[ où ε > 0. On peut alors réécrire
les définitions suivantes :
(a) Le réel x ∈ A est intérieur à A s’il existe ε > 0 tel que ]x − ε, x + ε[⊂ A, et A est ouvert
si chacun de ses points lui est intérieur.
(b) Le point x est adhérent à A si et seulement si
∀ε > 0, ]x − ε, x + ε[∩A 6= ∅
(c) Le point x est un point d’accumulation de A si et seulement si
∀ε > 0, ]x − ε, x + ε[∩A \ {x} =
6 ∅
Exercices 1.
1. Justifier que tout point d’accumulation de A appartient à A.
2. Soit A =]a, b] ∪ {c} (où c ∈
/ [a, b]) : déterminer A et l’ensemble des points d’accumulation de
A.
1
∗
3. Justifier que
/n ∈ N admet le point d’accumulation 0.
n
4. Soit A = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .}. Montrer que A est fermé.
5. A = {n(1 + (−1)n ); n ≥ 1} admet-il des points d’accumulations ?
1
n
6. A =
+ n(1 + (−1) ); n ≥ 1 admet-il des points d’accumulations ?
n
Exercice 2.
Soit A une partie de R. Montrer que :
1. inf A et sup A sont adhérents à A.
2. A est fermée.
3. A est fermé si et seulement si A = A.
1. Car tout point x ∈]a, b[ est bien inclus dans un tel intervalle ouvert x ∈]a, b[⊂]a, b[.
2. Par contre, une intersection infinie d’ouverts n’est pas forcément un ouvert, comme par exemple
\ −1 1 ,
= {0}
n n
n≥1
[
3. Par contre une union infinie de fermés n’est pas forcément un fermé. Par ex.
{x} =]0, 1[
x∈]0,1[
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Une première utilisation de l’axiome de la borne supérieure est très abstraite mais ses applications
sont fondamentales. Sa preuve initiera le lecteur à des modes de raisonnement nouveaux :
Théorème 1. de Borel-Lebesgue Émile Borel = mathématicien français (1871-1956) ; HenriLéon Lebesgue = mathématicien français (1875-1941)
Soit (Ai )i∈I
une famille de parties ouvertes de R. Si F est une partie
fermée et bornée de R, telle
[
[
que F ⊂
Ai , alors il existe une partie finie J ⊂ I telle que F ⊂
Ai
i∈I
i∈J
Théorème 2. des intervalles emboîtés (dit aussi de Bolzano-Weierstrass) Bernard Bolzano :
mathématicien allemand d’origine tchèque (1781-1848) & Karl Weierstrass : mathématicien allemand (1815-1897)
Soit (In )n∈N une suite de segments (intervalles fermés bornés) décroissante (ou emboités) :
In ⊂ In−1 ⊂ · · · ⊂ I0 où\chaque In = [an , bn ] désigne un intervalle fermé borné. Si pour chaque
entier n, In 6= ∅ alors :
In 6= ∅
n∈N
2
Suites : généralités
K désigne le corps R ou C.
Définition 2. On appelle suite dans K toute application de N à valeurs dans N. L’ensemble des
suites dans K est noté KN .
(
Notations : Une suite dans K est notée :
x.
N → N
ou (xn )n∈N ou plus simplement (xn ) ou
n 7→ xn
Si la suite est définie à partir du rang n0 , on la note (xn )n≥n0
Définition 3. La somme de deux suites (xn ) et (yn ) est la suite (sn ) définie par :
∀n ∈ N, sn = xn + yn
Définition 4. Le produit de deux suites (xn ) et (yn ) est la suite (pn ) définie par :
∀n ∈ N, pn = xn yn
Remarque : On verra dans le cours d’algèbre que l’ensemble des suites à valeurs dans K, muni
de ces deux opérations possède un structure d’anneau commutatif unitaire.
Définition 5. La produit d’une suite (xn ) par le scalaire λ est la suite (qn ) définie par :
∀n ∈ N, qn = λ · xn
Définition 6. Une suite réelle (xn ) est dite :
• majorée s’il existe M ∈ K tel que pour tout n ∈ N, xn ≤ M .
• minorée s’il existe m ∈ K tel que pour tout n ∈ N, xn ≥ m.
• bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
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3
Suites convergentes
Dans ce paragraphe et les suivants, les suites étudiées seront à valeurs réelles.
Définition 7. Une suite réelle (xn ) converge vers la limite ` ∈ R lorsque :
∀ε > 0, ∃N ∈ N/ n ≥ N, |xn − `| ≤ ε
On note lim xn = ` ou plus simplement lim xn = `.
n→∞
On dit que la suite (xn ) est convergente lorsqu’elle possède une limite réelle.
Une suite non convergente est dite divergente.
Remarques :
1. Pour une suite complexe (un ) définie par un = an + ibn , (un ) converge vers ` = a + ib si et
seulement si lim an = a et lim bn = b. Pour le voir on utilise l’encadrement max{|u1 |, |u2 |} ≤
n→∞
n→∞
|u| ≤ 2 max{|u1 |, |u2 |} si u = u1 + iu2 .
2. Pour des suites de nombres complexes, l’exemple de la suite (un ) définie par un = nein prouve
la difficulté d’une définition plus générale, cette suite décrit un colimaçon allant vers l’infini mais
ne se dirige pas dans une direction déterminée du plan complexe.
1
1
Exercice 3. Montrer que les suites (xn ), (yn ) et (zn ) définies par xn = , yn = n et zn = an
n
2
(où 0 < a < 1) convergent toutes les trois vers 0.
Théorème 3. La limite d’une suite, lorsqu’elle existe, est unique.
Théorème 4. Soit (xn ) une suite et l ∈ R. On suppose qu’il existe une suite (yn ) de réels positifs
tels que |xn − `| ≤ yn à partir d’un certain rang et lim yn = 0, alors lim xn = `.
Corollaire 1. Soit (yn ) une suite convergente vers 0 et si quel que soit n ∈ N, |xn | ≤ |yn | alors
la suite (xn ) converge vers 0.
Théorème 5. Toute suite convergente est bornée.
Remarque : La suite (un ) définie par un = sin n est bornée sans être convergente. En effet,
la circonférence d’un cercle vaut 2π et les intervalles [π/6, 5π/6] = {t ∈ [0, 2π], sin t ≥ 1/2} et
[7π/6, 11π/6] = {t ∈ [0, 2π], sin t ≤ −1/2} ont tous les deux la longueur 2π/3 > 1, par suite il
existe des entiers aussi grands que l’on veut vérifiant sin n ≤ −1/2 et d’autres tels que sin n ≥ 1/2 :
cette suite diverge. En effet, pour tout entier N il existe p, q supérieurs à N tels que sin p ≤ −1/2
1
et sin q ≥ 1/2, si la limite est positive q donne une contradiction car |` − sin q| ≥ (de même avec
2
p si ` < 0). On pourra aussi voir une preuve à l’aide des suites extraites.
Théorème 6. Passage à la limite dans les inégalités Soit (xn ) une suite convergente de
limite `, et b un nombre réel. On suppose que pour tout entier N , il existe un entier n ≥ N tel
que xn < b (respectivement xn > b), alors ` ≤ b (resp. ` ≥ b). En particulier s’il existe un rang à
partir duquel xn < b (resp. xn > b) alors ` ≤ b (resp. ` ≥ b)
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4
Opérations sur les limites
Théorème 7. Soient (xn ) et (yn ) deux suites convergentes de limites respectives ` et `0 . Alors :
1. La suite somme (xn + yn ) est convergente de limite L = ` + `0
2. Pour tout réel λ, la suite (λxn ) est convergente de limite L0 = λ`
3. La suite produit (xn yn ) est convergente de limite L00 = `.`0
Théorème 8. Théorème des gendarmes Soient (xn ), yn et (un ) trois suites. On suppose que :
1. (xn ) et yn convergent vers un même réel `
2. Il existe N ∈ N tel que ∀n ≥ N, xn ≤ un ≤ yn
Alors (un ) est une suite convergente et lim un = `
√
√
sin n
Exercice 4.
Prouvez que les suites définies par xn = 2
, yn = n + sin n − n, et
n −3
√
1
zn = n sin
convergent.
n
Théorème 9. Limite d’un quotient Soit (xn ) une suite convergente de limite ` 6= 0. Alors il
1
1
existe un rang à partir duquel xn 6= 0 et lim
= .
xn
`
5
Suites monotones
Définition 8. Une suite réelle (xn ) est dite
• croissante, si et seulement si : ∀n ∈ N, ∀m ∈ N, (n ≤ m ⇒ un ≤ um )
• décroissante, si et seulement si : ∀n ∈ N, ∀m ∈ N, (n ≤ m ⇒ un ≥ um )
Prouvez que la suite (un ) définie par un = n √
+ sin n est croissante.
Montrer que la suite (un ) définie par un = n2 + n − n est croissante et qu’elle
1
converge vers .
2
Exercice 5.
Exercice 6.
Théorème 10. 1. Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
2. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
Remarque : Si (xn ) est une suite de nombre réels croissante et majorée, alors, lim xn =
sup{xn ; n ∈ N} = sup xn .
n∈N
De même, si (xn ) est une suite de nombre réels décroissante et minorée, alors, lim xn =
inf{xn ; n ∈ N} = inf xn
n∈N
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Suites adjacentes
Définition 9. Deux suites (xn ) et (yn ) de nombres réels sont adjacentes si elles vérifient les
propriétés suivantes :
1. (xn ) est croissante
2. (yn ) est décroissante
3. lim(xn − yn ) = 0
Exemple 1. Les suites de décimaux à 10−n par défaut et par excès d’un nombre réels x :
E(10n x)
E(1 + 10n x)
xn =
et
y
=
sont adjacentes.
n
10n
10n
Proposition 1. Soient (xn ) et (yn ) deux suites réelles adjacentes ((xn ) croissante et (yn ) décroissante) alors ∀n ∈ N, xn ≤ yn .
Théorème 11. Soient (xn ) et (yn ) deux suites réelles adjacentes, alors ces deux suites convergent
vers une limite commune `. De plus, pour tout entier n, xn ≤ ` ≤ yn
Exercice 7.
7
Montrer que tout nombre réel positif ou nul possède une racine carrée réelle.
Limites infinies
Définition 10. On dit qu’une suite de nombres réels (xn ) a pour limite +∞ (resp. −∞) si :
∀A ∈ R, ∃N ∈ N/ ∀n ≥ N, A ≤ xn (resp. xn ≤ A)
Remarques : 1. On peut remplacer l’inégalité large par une inégalité stricte dans la définition.
2. Une suite qui possède une limite infinie est dite divergente.
Proposition 2. Soient (xn ) et (yn ) deux suites telles qu’il existe N ∈ N tel que pour tout entier
n ≥ N, xn ≥ yn
• si lim yn = +∞ alors lim xn = +∞
• si lim xn = −∞ alors lim yn = −∞
Proposition 3. Toute suite croissante et non bornée diverge vers +∞
Exercice 8. Exhibez une suite (un ) positive et convergente de limite 0 mais telle que (un ) ne
soit pas une suite monotone pour n assez grand. Montrez qu’on peut même avoir une telle suite
strictement positive.
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Théorème 12. Opérations sur les limites
Limite de la somme de deux suites
lim xn + yn
lim yn
+∞
−∞
`0
lim xn
+∞
−∞
`
+∞
F.I.
+∞
F.I.
−∞
−∞
+∞
−∞
` + `0
Limite du produit de deux suites
lim xn × yn
0
` >0
`0 < 0
+∞
−∞
0
lim yn
lim xn
0
`>0
`<0
+∞
−∞
0
0
0
F.I.
F.I.
0
``0
``0
+∞
−∞
0
``0
``0
−∞
+∞
F.I.
+∞
−∞
+∞
−∞
F.I.
−∞
+∞
−∞
+∞
Théorème 13. Soit (xn ) une suite de nombres réels telle que lim |xn | = +∞, alors il existe un
1
rang N à partir duquel xn 6= 0 et lim
= 0.
xn
Soit (xn ) une suite de nombres réels strictement positifs à partir d’un certain rang telle que
1
= +∞.
lim xn = 0, alors lim
xn
8
Suites extraites
Définition 11. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (vn ) est extraite de la
suite (un ) s’il existe une application strictement croissante ϕ de N vers N telle que pour tout
n ∈ N, vn = uϕ(n)
Exemples 2.
1. La suite des termes de rangs pairs v : vn = u2n et la suite des termes de rangs impairs
w : wn = u2n+1 sont extraites de la suite (un ).
cos(1)
1
π
2. La suite vn =
est extraite de la suite un = sin 1 + n
(prendre ϕ : n 7→ 4n + 1)
4n + 1
n
2
Lemme 1. Soit ϕ une application strictement croissante N dans N. Alors, pour tout entier naturel
n, ϕ(n) ≥ n.
Théorème 14. Soit (un ) une suite convergente de nombres réels de limite `, alors toute suite
extraite de (un ) est convergente de limite `.
Remarque : Par contraposée du résultat précédent, si deux suites extraites de (un ) convergent
vers deux limites dfférentes, alors (un ) est divergente. Par exemple (un ) définie par un = (−1)n
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Suites récurrentes
Définition 12. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et (un ) une suite de termes
de I est définie par récurrence s’il existe un réel a et une fonction réelle f tels que
(
u0 = a ∈ R
un+1 = f (un ) ∀n ∈ N
Théorème 15. Sous les notations de la définition précédente, si f est croissante, alors (un ) est
monotone. Si f est décroissante (un ) n’est pas monotone, mais les suites extraites des termes de
rangs pairs (u2n ) et de rangs impairs (u2n+1 ) sont monotones de monotonies opposées.
Théorème 16. Sous les notations de la définition précédente, si (un ) converge vers un réel `, et
si f est continue en `, alors f (`) = `.
La preuve sera vue dans le chapitre « Continuité»
u0 = 4 ∈ R
un
1
Montrer que la suite définie par 
est convergente.
+
∀n ∈ N
 un+1 =
2
un
Exercice 10. Étude d’une suite récurrente
3x + 2
Soit I l’intervalle [0; 1]. On considère la fonction définie sur R r {−4} par f (x) =
.
x+4
1. Étudier les variations de f et en déduire que pour tout x élément de I, f (x) appartient à I.


Exercice 9.
2. On considère la suite u définie par :





u0




un+1
1
4
3un + 2
=
un + 4
=
∀n ∈ N
Montrez que pour tout entier n, un appartient à I.
3. Représenter graphiquement f et la droite d’équation y = x dans un repère orthonormé
d’unité 10 cm . En utilisant ce graphique, placer les points A0 , A1 , A2 , et A3 d’ordonnée
nulle et d’abscisses respectives u0 , u1 , u2 et u3 . Que suggère le graphique concernant la
convergence de (un ) ?
4. Première méthode :
(1 − un )(un + 2)
. Déduire le sens de variation de (un ).
un + 4
(b) Démontrer que la suite (un ) converge, puis déterminer sa limite `
5. Seconde méthode :
un − 1
(a) Justifier que l’on peut définir la suite v par : pour tout n ∈ N, vn =
.
un + 2
Montrez que v est une suite géométrique.
(a) Établir la relation : un+1 − un =
(b) Exprimez un en fonction de vn puis en fonction de n, pour tout n ∈ N.
(c) En déduire la convergence de la suite (un ) et sa limite.
Théorème 17. de Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée, on peut extraire une
suite convergente
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