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SEMESTRE DE PRINTEMPS
EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
1. Calculer la dérivée des fonctions fdéfinies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine
de définition) :
a) f(x) = tan p1−x2,b) f(x) = ln |x−extan x|,c) f(x) = (1+x)x2,d) f(x) = sin(cos(sin x))
2. Calculer pour x6= 0 la dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = arctan x+ arctan 1
x,et
retrouver la valeur de f(x).
3. Soit fla fonction définie par f(x) = argch 1
2x+1 x.En utilisant un calcul de dérivée,
simplifier f(x)lorsque xappartient au domaine de définition de f.
4. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous :
a) f(x) = 1
ax +b(a6= 0) ,b) g(x) = ln |x|
5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R.
a) f(x) = (x−1)2si x≤ −1
−4x+ 1 si x > −1b) f(x) = (x−1)2si x≤1 (x−1)3si x > 1
6. Déterminer aet bpour que la fonction fsuivante soit dérivable sur R.
f(x) = x2−x+ 1 si x≥2
(ax +b)2si x < 2
7. Démontrer que la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 1
2x|x|est dérivable sur R, et calculer f′.
8. Déterminer si les fonctions fsuivantes possèdent une dérivée à droite en 0, et calculer f′(0)
si c’est le cas.
Calculer f′(x)pour tout x > 0. Si fest dérivable sur [ 0,+∞[est-elle de classe C1sur cet
intervalle ?
a) f(x) = px2+√x5b) f(x) = x·ln xsi x > 0
0 si x= 0 c) f(x) = xxsi x > 0
1 si x= 0
9. Soit fla fonction définie sur ]−π/2, π/2 [ −{0}par f(x) = tan x−sin x
x3.Montrer que fest
prolongeable par continuité en 0, puis, que son prolongement e fest dérivable en 0. La fonction e f
1

est-elle deux fois dérivable en 0 ?
10. Soit fla fonction définie sur R+par f(x) = x2sin √x. La fonction fest-elle dérivable en
0 ? deux fois dérivable en 0 ?
11. Soit la fonction de Rdans Rdéfinie par f(x) = x+ex. Montrer que fest bijective. On note
gl’application réciproque de f.
Justifier que gest deux fois dérivable sur R. Calculer g(1),g′(1) et g′′(1).
12. Soit fune fonction définie et continue sur [u, v ], dérivable sur ]u, v [, telle que f(u) =
f(v) = 0, et soit aà l’extérieur de [u, v ].
En introduisant la fonction gdéfinie sur [u, v ]par g(x) = f(x)
x−a,montrer qu’il existe cdans
]u, v [tel que f′(c) = f(c)
c−a.Donner une interprétation géométrique de la fonction get énoncer
le résultat obtenu sous forme géométrique.
13. Soient Iun intervalle ouvert, et fune application de Idans R, dérivable sur I. On suppose
que fadmet kzéros distincts sur I(kentier ≥2). Démontrer que f′admet au moins k−1zéros
distincts. Se peut-il que f′admette strictement plus de k−1zéros ?
Si fest k−1fois dérivable sur I, que peut-on dire du nombre de zéros de f(k−1) ?
Application : Soient nentier ≥2, et aet bdeux nombres réels. Démontrer que la fonction
polynôme fdéfinie sur Rpar f(x) = xn+ax +badmet :
au plus deux racines réelles si nest pair,
au plus trois racines réelles si nest impair.
14. Soit fune fonction de classe C3sur Rpour laquelle on peut trouver deux réels aet b
distincts tels que f(a) = f′(a) = f(b) = f′(b) = 0. Montrer qu’il existe cdans ]a, b [tel que
f(3)(c) = 0.
15. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que, si xest positif
a) x
1 + x≤ln(1 + x)≤xb) x≤ex−1≤xex.
16. a) Montrer que, pour tous réels xet yinférieurs à 1on a
|ex−ey| ≤ e· |x−y|.
b) Montrer que, pour tous réels xet yde l’intervalle [π/3,2π/3 ] , on a
|sin x−sin y| ≤ 1
2|x−y|.
17. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, démontrer que :
a) pour tout xde [−π/2, π/2 ] − {0}cos x > 1−x2
2
b) pour tout x > 0 ln(1 + x)> x −x2
2
2

c) pour tout xde ] 0, π/2 [ tan x > x +x3
3
d) pour tout x≥0 sh x≥x+x3
6+x5 120
e) pour tout xde [ 0,1 ] sh x≤x+x3
6+x5 120 +2x7 7!
18. a) Déterminer le polynôme de Taylor Tnà l’ordre nen 0 de la fonction fdéfinie sur
]−1,+∞[par f(x) = ln(1 + x).
Quelle valeur faut-il donner à npour être sûr que, pour tout xde l’intervalle [ 0,10−1]on a
|ln(1 + x)−Tn(x)| ≤ 10−6?
b) Démontrer que |ln 2 −Tn(1)| ≤ 1
n+ 1 ,et en déduire que la suite udéfinie par
un=
n
X
k=1
(−1)k+1
k,
admet ln 2 pour limite.
19. Déterminer le polynôme de Taylor Tnà l’ordre nen 0 de la fonction exponentielle. Etablir
que
|ex−Tn(x)| ≤ 
exxn+1
(n+ 1)! si x > 0
|x|n+1
(n+ 1)! si x < 0
En déduire que pour tout réel x, la suite udéfinie par un=
n
X
k=0
xk
k!,admet expour limite.
20. Soit fdeux fois dérivable sur R. On suppose que pour tout xréel, on a |f(x)| ≤ 1et
|f′′(x)| ≤ 1. En utilisant la formule de Taylor entre xet x+ 2, montrer que |f′(x)| ≤ 2.
21. Soit fet gdeux fonctions contractantes sur un intervalle I, et λdans l’intervalle [ 0,1 ] .
Montrer que λf + (1 −λ)gest contractante.
22. Dans chacun des cas suivants, fest une application de R, à valeurs dans R, et αun point
de R. Montrer que la suite udéfinie par les relations : u0=α, et ∀n∈N, un+1 =f(un)est
convergente, et déterminer la limite.
a)f(x) = π
3√3cos x , b)f(x) = 5
8(1 + x2), c)f(x) = π
√3cos π
6sin x.
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Exercices plus difficiles
23. Une généralisation du théorème de Rolle.
Soit fune fonction numérique définie et continue sur [a, +∞[, dérivable sur ]a, +∞[et
admettant f(a)comme limite en +∞. Montrer qu’il existe un point cdans ]a, +∞[tel que
f′(c) = 0. (On pourra se ramener au théorème de Rolle classique en utilisant la fonction gdéfinie
sur [ 0,1 ] par
g(x) = fa−1 + 1
xsi x∈] 0,1 ]
f(a) si x= 0 ).
24. Soit Iun intervalle de R. Soit a,b,ctrois points de Itels que a < b < c, et fune fonction
deux fois dérivable dans I. On veut démontrer qu’il existe ddans ]a, c [tel que
(1) f(a)
(a−b)(a−c)+f(b) (b−a)(b−c)+f(c) (c−a)(c−b)=f′′(d) 2.
a) Montrer que cette relation est vraie quel que soit d, lorsque fest un polynôme de degré au
plus 2.
b) Montrer qu’il existe un polynôme Pde degré au plus 2tel que
P(a) = f(a), P (b) = f(b), P (c) = f(c).
c) Démontrer la relation (1) en appliquant l’exercice 13 à g=f−P.
25. En raisonnant par l’absurde, montrer que si 0< x < π/2, on ne peut pas appliquer le
théorème des accroissements finis à la fonction fdéfinie par
f(t) = eit
dans l’intervalle [ 0, x ].
26. Soit fde classe C2sur [a, b ]et trois fois dérivable sur ]a, b [.
On définit la fonction Fsur [a, b ]par
F(x) = f(x)−f(a)−x−a
2(f′(x) + f′(a)) −K(x−a)3 12 ,
où la constante Kest choisie pour que F(b) = 0. Montrer qu’il existe ddans ]a, b [tel que
F′′(d) = 0. En déduire que
f(b)−f(a) = (b−a)f′(a) + f′(b)
2−(b−a)3 12 f′′′(d).
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Corrigé des exercices
1. a) f′(x) = −x(1 + tan2p1−x2)
p1−x2
b) f′(x) = 1−ex(1 + tan x+ tan2x)
x−extan x(La dérivée de ln |x|est 1/x pour tout xnon nul).
c) f′(x) = (1 + x)x2x2
1 + x+ 2xln(1 + x)(On part de f(x) = ex2ln(1+x)).
d) f′(x) = cos(cos(sin x))(−sin(sin x)) cos x.
2. La fonction fest dérivable si xest non nul, et
f′(x) = 1
1 + x2+−1
x2
1 + 1
x2
= 0 .
La fonction fest donc constante sur chacun des intervalles ] 0,+∞[et ]−∞,0 [ . Sur le premier
f(x) = f(1) = 2 arctan 1 = π
2.
Alors, puisque fest impaire, on a sur le second
f(x) = −f(−x) = −π
2.
3. La fonction est définie si 1
2x+1 x≥1.
Cette inéquation s’écrit
x+1
x≥2,
ou encore (x−1)2
x≥0.
Le domaine de définition est donc ] 0,+∞[, et fest continue sur ce domaine.
La fonction fest dérivable si
1
2x+1 x>1,
donc, d’après le calcul précédent, sur ] 0,1 [ ∪] 1,+∞[, et l’on a
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