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SEMESTRE D’AUTOMNE
EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
1. Calculer la dérivée des fonctions fdéfinies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine
de définition) :
a) f(x) = sin(2x)
sin(3x),b) f(x) = ln |tan x−xex|,c) f(x) = (1 + x2)1+x2.
2. Donner une formule de dérivation pour la composée f◦g◦h.
3. Soit fla fonction définie par f(x) = arcsin 2x
1 + x2. Trouver son domaine de définition, puis,
en utilisant un calcul de dérivée, exprimer f(x)en fonction de arctan x.
4. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous :
a) f(x) = 1
ax +b(a6= 0) ,b) g(x) = 1 x2−1.
5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R.
a) f(x) = (x−1)2si x≤2
x3−10xsi x > 2b) f(x) = 3(x+ 1)2si x≤ −1 (2x+ 1)(x+ 1)3si x > −1
6. Déterminer aet bpour que la fonction fsuivante soit dérivable sur R.
f(x) = x2+x+ 1 si x≥1
ax3+bx + 2 si x < 1
7. Démontrer que la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 1
2x|x|est dérivable sur R, et calculer f′.
8. Soit la fonction fdéfinie sur ] 0,+∞[par
f(x) = x√x.
Par quelle valeur faut-il prolonger fen 0, pour que le prolongement e fsoit continu sur R+. Dans
ce cas, étudier si e fest dérivable sur R+.
9. Soit la fonction fdéfinie sur Rpar
f(x) = x3ln |x|si x6= 0
0 si x= 0 .
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Déterminer la plus grande valeur ktelle que fsoit de classe Cksur R.
10. Soit fla fonction définie sur R∗par
f(x) = sh x−sin x
x3.
Montrer que fest prolongeable par continuité en 0, puis, que son prolongement e fest dérivable
en 0. La fonction e fest-elle deux fois dérivable en 0 ?
11. Soit la fonction de Rdans Rdéfinie par f(x) = 2x+ cos x. Montrer que fest bijective. On
note gl’application réciproque de f.
Justifier que gest deux fois dérivable sur R. Calculer g(1),g′(1) et g′′(1).
12. Soit fune fonction continue sur [ 0,1 ] , dérivable sur [ 0,1 [ telle que f′(0) = f(1) et
f(0) = 0. On définit une fonction gsur [ 0,1 ] par
g(x) = 
f(x)
xsi x∈] 0,1 ]
f(1) si x= 0
Montrer qu’il existe un nombre cdans l’intervalle ] 0,1 [ tel que
f′(c) = f(c)
c.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat en l’illustrant par un dessin.
13. Soient Iun intervalle ouvert, et fune application de Idans R, dérivable sur I. On suppose
que fadmet kzéros distincts sur I(kentier ≥2). Démontrer que f′admet au moins k−1zéros
distincts. Se peut-il que f′admette strictement plus de k−1zéros ?
Si fest k−1fois dérivable sur I, que peut-on dire du nombre de zéros de f(k−1) ?
Application : pour n≥2on considère le polynôme f(x) = x2n−nx2+ 6. Montrer que fa au
plus 4racines.
14. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que,
a) si xest positif, on a x
1 + x2≤arctan x≤x ,
b) pour tout xréel, on a 0≤ch x−1≤xsh x .
15. a) Montrer que, pour tous réels xet yinférieurs à 2on a
|ex−ey| ≤ e2|x−y|.
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b) Montrer que, pour tous réels xet yde l’intervalle [π/6,5π/6 ] , on a
|sin x−sin y| ≤ √3
2|x−y|.
16. a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a
1
(n+ 1)2+ 1 ≤arctan(n+ 1) −arctan n≤1 n2+ 1 .
b) En déduire un encadrement de la somme
Sp=
p
X
n=0
1
n2+ 1 .
c) Montrer que la suite (Sp)est convergente et trouver un encadrement de sa limite.
17. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, démontrer que :
a) pour tout x≥0x−x3
6≤sin x≤x−x3 6+x5 120
b) pour tout x∈]−π, π [ ln(1 + cos x)≤ln 2 −x2
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18. Déterminer le polynôme de Taylor Tnà l’ordre nen 0 de la fonction exponentielle. Etablir
que
|ex−Tn(x)| ≤ 
exxn+1
(n+ 1)! si x > 0
|x|n+1
(n+ 1)! si x < 0
En déduire que pour tout réel x, la suite (un)n≥0définie par un=
n
X
k=0
xk
k!,admet expour limite.
19. Soit fdeux fois dérivable sur R. On suppose que pour tout xréel, on a |f(x)| ≤ 1et
|f′′(x)| ≤ 1. En utilisant la formule de Taylor entre xet x+ 2, montrer que |f′(x)| ≤ 2.
20. Soit fet gdeux fonctions contractantes sur un intervalle I, et λdans l’intervalle [ 0,1 ] .
Montrer que λf + (1 −λ)gest contractante.
21. Dans chacun des cas suivants, fest une application de R, à valeurs dans R, et αun point
de R. Montrer que la suite udéfinie par les relations : u0=α, et ∀n∈N, un+1 =f(un)est
convergente, et déterminer la limite.
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a)f(x) = 7
8(1 + x+x2), b)f(x) = π
2√3cos π√2
6sin x!.
Exercices plus difficiles
22. Une généralisation du théorème de Rolle.
Soit fune fonction numérique définie et continue sur [a, +∞[, dérivable sur ]a, +∞[et
admettant f(a)comme limite en +∞. Montrer qu’il existe un point cdans ]a, +∞[tel que
f′(c) = 0. (On pourra se ramener au théorème de Rolle classique en utilisant la fonction gdéfinie
sur [ 0,1 ] par
g(x) = fa−1 + 1
xsi x∈] 0,1 ]
f(a) si x= 0 ).
23. Soit Iun intervalle de R. Soit a,b,ctrois points de Itels que a < b < c, et fune fonction
deux fois dérivable dans I. On veut démontrer q”il existe ddans ]a, c [tel que
(1) f(a)
(a−b)(a−c)+f(b) (b−a)(b−c)+f(c) (c−a)(c−b)=f′′(d) 2.
a) Montrer que cette relation est vraie quel que soit d, lorsque fest un polynôme de degré au
plus 2.
b) Montrer qu’il existe un polynôme Pde degré au plus 2tel que
P(a) = f(a), P (b) = f(b), P (c) = f(c).
c) Démontrer la relation (1) en appliquant l’exercice 13 à g=f−P.
24. En raisonnant par l’absurde, montrer que si 0< x < π/2, on ne peut pas appliquer le
théorème des accroissements finis à la fonction fdéfinie par
f(t) = eit
dans l’intervalle [ 0, x ].
25. Soit fde classe C2sur [a, b ]et trois fois dérivable sur ]a, b [.
On définit la fonction Fsur [a, b ]par
F(x) = f(x)−f(a)−x−a
2(f′(x) + f′(a)) −K(x−a)3 12
où la constante Kest choisie pour que F(b) = 0. Montrer qu’il existe ddans ]a, b [tel que
F′′(d) = 0. En déduire que
f(b)−f(a) = (b−a)f′(a) + f′(b)
2−(b−a)3 12 f′′′(d).
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Corrigé
1. a) f′(x) = 2 cos(2x) sin(3x)−3 cos(3x) sin(2x)
sin2(3x)
b) f′(x) = 1 + tan2x−ex(x+ 1)
tan x−xex(La dérivée de ln |x|vaut 1/x pour tout xnon nul).
c) f′(x) = 2x(1 + ln(1 + x2))(1 + x2)1+x2.(On part de f(x) = e(1+x2) ln(1+x2)).
2. On a
(f◦g◦h)′= (f′◦g◦h) (g′◦h)h′.
3. Pour que f(x)existe, on doit avoir
−1≤2x
1 + x2≤1,
ou encore, en multipliant par 1 + x2qui est positif
−(1 + x2)≤2x≤1 + x2.
Mais l’inégalité
−(1 + x2)≤2x
est toujours vraie puisque 1 + 2x+x2= (1 + x)2est toujours positif, et de même l’inégalité
2x≤1 + x2
est toujours vraie puisque 1−2x+x2= (1 −x)2est toujours positif. Donc fest définie sur R
tout entier.
Par contre fn’est pas dérivable lorsque 2x
1 + x2vaut 1ou −1, c’est-à-dire lorsque xvaut 1ou
−1. En dehors de ces valeurs, on peut dériver fet l’on obtient
f′(x) = 2 1−x2
(1 + x2)2
1
s1−2x
1 + x22
Mais
1−2x
1 + x22
=(1 −x2)2
(1 + x2)2,
d’où
f′(x) = 2 1−x2
|1−x2|
2
1 + x2.
On remarque que cette expression dépend du signe de 1−x2. Il y a donc trois cas possibles.
−1< x < 1.
On a alors
f′(x) = 2
1 + x2,
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