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SEMESTRE D’AUTOMNE
EXERCICES SUR LES FONCTIONS CONTINUES
1. Dans chacun des cas suivants, préciser si la partie Ade Rproposée admet une borne supérieure, une
borne inférieure, un plus grand, un plus petit élément, et les déterminer s’il y a lieu.
a)A= [ −1,2 [ b)A=2
nn∈N∗c)A=2−1 nn∈N∗
d)A=S
n≥21
n,1−1 ne)A=1 + 2(−1)n nn∈N∗f)A=sin (3n+ 1)π 6n∈N
2. Déterminer les nombres aet bpour que la fonction fdéfinie sur Rpar
f(x) = 
x2+x+bsi x < 2
asi x= 2
bx2+ 2x+ 5 si x > 2
soit continue sur R.
3. Etudier la continuité des fonctions définies sur Rpar
f(x) = px−[x], g(x) = [x] + px−[x].
4. En quels points de Rla fonction définie par
f(x) = (x−1)([x]−2)
est-elle continue ? Représenter fsur l’intervalle [−1,4 [ . Sur cet intervalle, fadmet-elle un maximum ?
un minimum ?
5. Montrer que les fonctions fsuivantes admettent un prolongement par continuité. Exprimer le pro-
longement e fde fsur Ravec une formule unique.
a) fdéfinie sur R\ {−2}par f(x) = x3−5x−2
x3+ 8
b) fdéfinie sur R∗par f(x) = (2 + x)n−2n
x(n∈N)
6. Etudier si les fonctions ci-dessous définies sur R∗peuvent se prolonger par continuité en 0.
a)f(x) = cos 1
x, b)f(x) = xcos 1 x, c)f(x) = 1 xcos 1 x.
7. Déterminer les ensembles suivants :
A={cos x|x > π}, B ={x2cos x|x > 0}, C ={3 sin x+4 cos x|x∈R}, D ={x3+2x2+x−3|x∈R}.
8. Soit fune fonction numérique définie et continue sur un segment [a, b ]. Montrer qu’il existe cdans
[a, b ]tel que 2f(a) + 3f(b) = 5f(c).
1

9. Soit fune fonction numérique définie et continue sur un segment [a, b ], et [m, M ]un segment
contenant f(a)et f(b). (Illustrer la situation par un dessin le plus général possible).
Montrer que la courbe représentative de fcoupe la droite joignant les points (a, m)et (b, M).
10. Soit fune fonction définie et continue sur [ 0,1 ] telle que f(0) = f(1). Montrer que pour tout
entier nde N∗, il existe αndans [ 0,1 ] tel que
f(αn) = f(αn+ 1/n).
(Indication : introduire la fonction ϕdéfinie sur [ 0,1−1/n ]par
ϕ(x) = f(x)−f(x+ 1/n)
et calculer la somme ϕ(0) + ϕ(1/n) + ···+ϕ((n−1)/n)).
11. Soit aet bdeux nombres tels que 0< a < b, et fune fonction continue sur [a, b ]de courbe
représentative Cdans un repère orthonormé (O, −→ ı , −→ ). On appelle Ale point de Cd’abscisse aet B
celui d’abscisse b. On note αle coefficient directeur de la droite OA et βcelui de OB. Montrer que pour
tout nombre γde ]α, β [, la droite d’équation y=γx coupe la courbe C. (Illustrer la situation par un
dessin le plus général possible).
12. a) Montrer que pour tout entier n∈N, l’équation tan x=xpossède une solution unique notée un
dans l’intervalle ]nπ −π/2, nπ +π/2 [ . (Introduire la fonction fdéfinie sur R\ {π/2 + kπ |k∈Z}par
f(x) = tan x−x).
b) On pose vn=un−nπ. Calculer f(un+1 −π). En déduire que la suite (vn)n≥0est strictement croissante,
puis qu’elle converge et trouver sa limite.
13. Soit pun entier supérieur ou égal à 2, et soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = xp. On pose,
pour tout n∈N∗,xn=n+1
net yn=n. Montrer que pour tout entier n > 0, on a
f(xn)−f(yn)≥2.
En déduire que fn’est pas uniformément continue sur R.
14. Montrer que la somme de deux fonctions uniformément continues sur un intervalle Iest uniformé-
ment continue sur I. A-t-on un résultat analogue pour le produit ?
Exercices plus difficiles
15. Pour n≥1, soit Pnle polynôme de degré ntel que, au voisinage de 0, on ait
1−ln(1 + x) = Pn(x) + ◦(xn).
Etudier l’existence des racines réelles de Pnet montrer que si elles existent, elles sont situées dans l’in-
tervalle ] 1,2 [ .
16. Soit n≥2, et fndéfinie sur Rpar
fn(x) = xn+xn−1+x2+x−1.
a) Montrer que fnpossède une solution unet une seule dans R∗
+.
b) Montrer que la suite (un)n≥2est une suite croissante de l’intervalle ] 0,2/3 [ et trouver sa limite.
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Corrigé
1.a) D’après les propriétés des intervalles, l’ensemble A, admet 2comme borne supérieure, mais n’ad-
met pas de plus grand élément, et il admet −1comme borne inférieure, qui est aussi son plus petit élément.
b) On a, pour tout entier n > 0,
0<2
n≤2.
Donc 2est un majorant de Aet appartient à A. C’est la borne supérieure et le plus grand élément de A.
D’autre part 0est un minorant de Aet c’est la limite de la suite (2/n)n≥1d’éléments de A. Donc 0est
la borne inférieure de A, mais comme 0n’appartient pas à A, cet ensemble n’a pas de plus petit élément.
c) Même méthode que dans b), en partant de
1≤2−1
n<2.
Le nombre 1est la borne inférieure et le plus petit élément de A.
Le nombre 2est la borne supérieure, mais An’a pas de plus grand élément.
d) Si aappartient à A, il existe un entier n > 0tel que aappartienne à l’intervalle [ 1/n, 1−1/n ]. Donc
(1) 0 < a ≤1−1
n<1.
Le nombre 0est un minorant de Aet la limite de la suite (1/n)n≥1d’éléments de A. C’est donc la borne
inférieure de Aet elle n’appartient pas à A. Donc An’admet pas de plus petit élément.
Le nombre 1est un majorant de Aet c’est la limite de la suite (1 −1/n)n≥1d’éléments de A. C’est donc
la borne supérieure de A, mais An’admet pas de plus grand élément.
Remarque : on peut aussi montrer que A= ] 0,1 [ . En effet, les inégalités (1), montrent que Aest inclus
dans ] 0,1 [ . Inversement, si xappartient à l’intervalle ] 0,1 [ , on a
0< x < 1,
et si l’on prend n > max(1/x, 1/(1 −x)) on en déduit
1
n≤x < 1−1 n,
et xappartient à ] 1/n, 1−1/n [donc à A. Il en résulte que
] 0,1 [ ⊂A ,
d’où l’égalité de ces deux ensembles.
e) Si n= 2pest pair, on a
1 + (−1)2p
p= 1 + 1 p,
et, puisque p≥1,
1<1 + 1
p≤1 + 1 2=3 2.
Si n= 2p+ 1 est impair, on a
1 + 2(−1)2p+1
2p+ 1 = 1 −2 2p+ 1 ,
3

et, puisque p≥0,
−1≤1−2
2p+ 1 <1.
Il en résulte que pour tout entier n > 0, on a
−1≤1 + 2(−1)n
n≤3 2.
Donc 3/2est un majorant de A. Comme il appartient à Ac’est la borne supérieure et le plus grand
élément de A.
De même −1est un minorant de A. Comme il appartient à Ac’est la borne inférieure et le plus petit
élément de A.
f) L’ensemble Aest fini et contient quatre éléments
A=(±√3
2,±1 2).
Donc √3/2est le plus grand élément et le maximum de A, et −√3/2est le plus petit élément et le
minimum de A.
2. Les restrictions de faux intervalles ]−∞,2 [ et ] 2,+∞[sont des fonctions polynômes, donc
continues sur ces deux intervalles. La fonction fsera continue sur Rsi et seulement si elle est continue
en 2, c’est-à-dire, si et seulement si
lim
x→2+f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2) .
On a
lim
x→2+f(x) = lim
x→2+(bx2+ 2x+ 5) = 4b+ 9 ,
et
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x2+x+b) = b+ 6 .
La condition cherchée équivaut aux égalités
4b+ 9 = b+ 6 = a .
Donc (a, b) = (5,−1).
3. Soit nun nombre entier. Si xappartient à l’intervalle [n, n + 1 [ on a
f(x) = √x−n .
La fonction fest continue ]n, n + 1 [ , elle est continue à droite en net f(n) = 0. Etudions la continuité
à gauche au point n. Sur l’intervalle [n−1, n [on a
f(x) = √x−n+ 1 .
Par suite
lim
x→n−
f(x) = lim
x→n−
√x−n+ 1 = 1 6= 0 = f(n).
La fonction fn’est pas continue à gauche au point ndonc n’est pas continue en ce point.
La fonction fest continue sur R\Z.
4

Comme dans ce qui précède, la fonction gest continue sur l’intervalle ]n, n + 1 [ où nest entier. Sur
l’intervalle [n, n + 1 [ on a
g(x) = n+√x−n .
En particulier gest continue à droite en net g(n) = n. Etudions la continuité à gauche au point n. Sur
l’intervalle [n−1, n [on a
g(x) = (n−1) + √x−n+ 1 .
Par suite
lim
x→n−
g(x) = lim
x→n−
(n−1 + √x−n+ 1) = n=g(n).
La fonction gest continue à gauche au point ndonc est continue en ce point. Elle est continue sur Rtout
entier.
4. Soit nentier. Sur [n, n + 1 [ on a
f(x) = (x−1)(n−2) ,
et fest continue sur tout intervalle ]n, n + 1 [ et à droite en tout point nentier.
En un tel poin n
f(n) = lim
x→n+f(x) = lim
x→n+(x−1)(n−2) = (n−1)(n−2) .
et
lim
x→n−
f(x) = lim
x→n+(x−1)(n−3) = (n−1)(n−3) .
Si n6= 1, ces deux limites sont distinctes et fn’est pas continue en n. Par contre si n= 1 on a
f(n) = lim
x→n+f(x) = lim
x→n−
f(x) = 0 ,
et fest continue en 1.
On a le dessin suivant, qui montre que fatteint son maximum sur [−1,4 [ en −1. Ce maximum vaut 6.
Par contre fn’admet pas de minimum, car la valeur −1n’est pas atteinte.
6
-
−1
2
3
6
1 2O3 4
y
x
N
U
R
-
5