Première S Devoir à la maison n°2
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Première S Devoir à la maison n°2 : corrigé ________________________________________________________________ Exercice 1 Exercice 1: f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f(x) = ax² + bx + c, a non nul Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution si a et c sont de signes contraires f(x) = 0 ⇔ ax² + bx + c = 0 ∆ = b² - 4ac Or si a et c sont de signes contraires alors ac ≤ 0 donc – 4ac ≥ 0 (en effet a est non nul, mais c peut être nul) Par conséquent ∆ = b² - 4ac est la somme de deux nombres positifs ou nuls, donc est positif ou nul. Conclusion l’équation admet une solution si ∆ = 0, deux solutions distinctes si ∆ > 0. On peut donc affirmer que si a et c sont de signes contraires, l’équation ax² + bx + c = 0 admet au moins une solution dans R. Exercice 2 On se propose de- résoudre l’équation (E) : x² + ( 6- 3)x - 3 2 = 0 1 .a) Démontrer que les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection de la parabole P d’équation y = - x² et de la droite D d’équation y = ( 6- 3)x - 3 2 Résoudre graphiquement x² + ( 6- 3)x - 3 2 = 0 revient à résoudre graphiquement - x² = ( 6- 3)x - 3 2, soit chercher les abscisses des points d’intersection de y = - x² et de y = ( 6- 3)x - 3 2. b) Avec Geogebra, construire la parabole P, la droite D et les points d’intersection A et B de P et D. c) À l’aide des coordonnées des points A et B affichées dans la fenêtre Algèbre, conjecturer les solutions de l’équation (E). il semble y avoir deux solutions x’ ≈ 1,73 et x’’ ≈ - 2,45 Première S Devoir à la maison n°2 : corrigé ________________________________________________________________ 2 a) Calculer ( 6 + 3)² ( 6 + 3)² = 9 + 6 2 b) Résoudre algébriquement l’équation (E) x² + ( 6- 3)x - 3 2 = 0 ∆ = b² - 4ac = ( 6- 3)² + 12 2 = 9 + 6 2 ∆ = ( 6 + 3)² d’après 2a Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions distinctes. x’ = 3 ≈ 1,73 et x’’ = - 6 ≈ - 2,45 3. Voici les deux solutions de l'équation (E) obtenues avec un logiciel de calcul formel. Qu'en pensez-vous ? Le résultat n’est donné sous la forme la plus simplifiée possible. Exercice 3 Une pelouse a la forme d'un rectangle dont la longueur est le double de la largeur. Une allée de 3m de large entoure cette pelouse. Calculer la largeur de la pelouse, sachant que l’aire totale, pelouse et allée, est de 360·m². Appelons x la largeur (en m) de la pelouse, la longueur est alors 2x. NB : x sera un nombre positif ! Par conséquent l’ensemble du terrain a pour dimensions L = 2x + 6 et l = x + 6. L’aire totale est donc L × l = (2x + 6)(x + 6) = 360 Pour trouver x, il faut résoudre l’équation (2x + 6)(x + 6) = 360 Soit 2x² + 18x + 36 = 360 2x² + 18x – 324 = 0 Le discriminant est positif, il y a deux solutions à l’équation x’ = - 18 et x’’ = 9. Première S Devoir à la maison n°2 : corrigé ________________________________________________________________ Une seule valeur convient pour le problème : x = 9. Conclusion : la pelouse est large de 9 m. Exercice 4 Calculer la longueur de chacun des côtés d’un rectangle de périmètre 221 m et d'aire 2226 m² Le périmètre est 221 donc x + y = 221 2 L’aire est 2226 donc xy = 2226 x + y = 221 2 Alors x et y sont les solutions du système : xy = 2226 221 Qui se ramène à X² X + 2226 = 0 2 X’ = 84 X’’ = 26,5 On trouve donc x = 26,50 m et y = 84 m avec x < y
