Première ES Devoir à la maison n°2

Première ES
Devoir à la maison n°2 : corrigé
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Exercice 1
Exercice 1:
f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f(x) = ax² + bx + c, a non nul
Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution si a et c sont de signes
contraires
f(x) = 0 ⇔ ax² + bx + c = 0
∆ = b² - 4ac
Or si a et c sont de signes contraires alors ac ≤ 0 donc – 4ac ≥ 0 (en effet a est non nul, mais
c peut être nul)
Par conséquent ∆ = b² - 4ac est la somme de deux nombres positifs ou nuls, donc est positif
ou nul.
Conclusion l’équation admet une solution si ∆ = 0, deux solutions distinctes si ∆ > 0. On peut
donc affirmer que si a et c sont de signes contraires, l’équation ax² + bx + c = 0 admet au
moins une solution dans R.
Exercice 2
On se propose de- résoudre l’équation (E) : x² + ( 6- 3)x - 3 2 = 0
1 .a) Démontrer que les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection
de la parabole P d’équation y = - x² et de la droite D d’équation y = ( 6- 3)x - 3 2
Résoudre graphiquement x² + ( 6- 3)x - 3 2 = 0 revient à résoudre graphiquement
- x² = ( 6- 3)x - 3 2, soit chercher les abscisses des points d’intersection de y = - x² et de y
= ( 6- 3)x - 3 2.
b) Avec Geogebra, construire la parabole P, la droite D et les points d’intersection A et B de P
et D.
c) À l’aide des coordonnées des points A et B affichées dans la fenêtre Algèbre, conjecturer
les solutions de l’équation (E).
il semble y avoir deux solutions x’ ≈ 1,73 et x’’ ≈ - 2,45

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2 a) Calculer ( 6 + 3)²
( 6 + 3)² = 9 + 6 2
b) Résoudre algébriquement l’équation (E)
x² + ( 6- 3)x - 3 2 = 0
∆ = b² - 4ac = ( 6- 3)² + 12 2 = 9 + 6 2
∆ = ( 6 + 3)² d’après 2a
Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions distinctes.
x’ = 3 ≈ 1,73 et x’’ = - 6 ≈ - 2,45
3. Voici les deux solutions de l'équation (E) obtenues avec un logiciel de calcul formel.
Qu'en pensez-vous ?
Le résultat n’est donné sous la forme la plus simplifiée possible.
Exercice 3
Une pelouse a la forme d'un rectangle dont la longueur est le double de la largeur. Une allée
de 3m de large entoure cette pelouse. Calculer la largeur de la pelouse, sachant que l’aire
totale, pelouse et allée, est de 360·m².
Appelons x la largeur (en m) de la pelouse, la longueur est alors 2x.
NB : x sera un nombre positif !
Par conséquent l’ensemble du terrain a pour dimensions L = 2x + 6 et l = x + 6.
L’aire totale est donc L × l = (2x + 6)(x + 6) = 360
Pour trouver x, il faut résoudre l’équation (2x + 6)(x + 6) = 360
Soit 2x² + 18x + 36 = 360
2x² + 18x – 324 = 0
Le discriminant est positif, il y a deux solutions à l’équation x’ = - 18 et x’’ = 9.

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Une seule valeur convient pour le problème : x = 9.
Conclusion : la pelouse est large de 9 m.
Exercice 4
Calculer la longueur de chacun des côtés d’un rectangle de périmètre 221 m et d'aire 2226 m²
Le périmètre est 221 donc x + y = 221
2
L’aire est 2226 donc xy = 2226
Alors x et y sont les solutions du système :
x + y = 221
2
xy = 2226
avec x < y
Qui se ramène à X² - 221
2X + 2226 = 0
X’ = 84
X’’ = 26,5
On trouve donc x = 26,50 m et y = 84 m