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PCSI
Programme de colles 20
2011 - 2012
Du 26 au 30 mars :
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Espaces vectoriels de dimension nie :
Familles libres, liées, bases d'un espace vectoriel. Composantes d'un vecteur dans une base
d'un espace vectoriel.
Un espace vectoriel de dimension nie est un espace vectoriel admettant une famille
génératrice nie. Dimension d'un espace vectoriel. Existence de bases, théorème de la base
incomplète. Dimension d'un produit cartésien.
Isomorphisme entre Kn et tout K-espace vectoriel de dimension n. Dans un espace vectoriel de
dimension n, équivalence entre base, génératrice et libre.
Dimension d'un sous-espace vectoriel et cas d'égalité. Dimension d'une somme de sous-espaces
vectoriels et d'une somme directe. Existence de supplémentaires pour tout sous-espace
vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie.
Dimension de L(E, F ). Rang d'une application linéaire, d'une famille de vecteurs. Théorème
du rang. Détermination d'une application linéaire sur une base. Si f ∈ L(E, F ) et
dim(F ) = dim(E) < +∞, équivalence entre injective, surjective et bijective.
Formes linéaires et hyperplans. Base duale.
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Suites dénies par une relation de récurrence :
Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et homographiques.
Suites récurrentes linéaires doubles. L'ensemble des suites veriant une relation de récurrence
linéaire double est un espace vectoriel de dimension 2.
Etude du cas général lorsque f est contractante, strictement croissante et strictement
décroissante.
Démonstrations de cours exigibles :
1. Si (v1 , ..., vp ) est liée alors (f (v1 ), ..., f (vp )) est liée dans F . Si (v1 , ..., vp ) est libre et si f est
injective alors (f (v1 ), ..., f (vp )) est libre dans F .
2. Théorème du rang.
3. Si f ∈ L(E, F ) et dim(F ) = dim(E) < +∞, équivalence entre injective, surjective et
bijective.
4. Défnition de la base duale et preuve qu'il s'agit bien d'une base de E ∗ .
5. L'ensemble des suites veriant une relation de récurrence linéaire double est un espace
vectoriel de dimension 2.
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis