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CORRECTION DM n˚12
PROBLÈME
D’après Concours des Écoles des Mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes
Partie I - Étude d’une équation fonctionnelle
1. Soit f kIdE une homothétie vectorielle de rapport k où k est un nombre complexe.
On a pf IdE q2n IdE pk IdE q2n IdE P pk qIdE avec P pX 1q2n 1.
Donc f est solution de l’équation proposée si et seulement si k est racine de P , c’est à dire X 1 est
2ikπ
une racine 2n-ième de l’unité, donc il existe un entier k compris entre 0 et 2n 1 tel que X 1 e 2n
soit X
e 1 avec k compris entre 0 et 2n 1
ikπ
n
2. En utilisant le binôme de Newton, on a 22n
2n
¸
.
2n
¸
k
C2n
et 0 k 0
k
C2n
p1qk .
k 0
Or tout entier k compris entre 0 et 2n est soit de la forme 2` où ` est un entier compris entre 0 et n soit de
la forme 2` 1 où ` est un entier compris entre 0 et n 1. En séparant dans les deux sommes précédentes
les entiers pairs des entiers impairs, on a 2n S S 1 et 0 S S 1 , ce qui donne S S 1 22n1 .
3. Soit s une symétrie. s et IdE commutent dans LpE q donc ps
IdE q2n
2n
¸
k k
C2n
s .
k 0
Or
IdE si k est pair et
On obtient ps IdE q2n IdE
s si k est impair car s s IdE .
pS 1qIdE S 1s p22n1 1qIdE 22n1s.
22n1 1
Id qui n’est pas une symétrie.
Ainsi si s est une symétrie solution du problème posé s sk
sk
22n1
E
Il n’y a donc pas de symétrie solution du problème posé.
Partie II - Étude d’une équation matricielle
4. Notons C M0,1 . Alors C et I3 appartiennent à G et G taI bC, pa, bq P C2 u VectpI, C q.
Donc G est un sous espace vectoriel de M3 pCq dont pI, C q est une famille génératrice.
Si λ et µ sont deux complexes tels que λI µC 0 alors Mλ,µ 0 donc λ µ 0. La famille pI, C q
est libre. G est donc un sous vectoriel de M3 pCq de dimension 2 dont pI, C q est une base.
5. Soit Ma,b et Ma ,b deux éléments de G. Alors Ma,b Ma ,b aa1 I
Or C 2 2I C donc C 2 appartient à G et Ma,b Ma ,b aussi.
On a même plus précisément : Ma,b Ma ,b paa1 2bb1 qI pab1
1
1
1
1
1
1
1
1
pab1
ba1 qC
ba1
bb1 qC
bb1 C 2 .
Maa
1
2bb1 ,ab1 ba1 bb1
6. (a) Si a b, alors toutes les colonnes de la matrice Ma,a sont proportionnelles donc son rang vaut
au plus 1 (0 si a 0) et donc la matrice n’est pas inversible car rgpAq 3.
Si a 2b, en notant C1 , C2 et C3 les colonnes de la matrice A on remarque que C1 C2 C3 03,1
et donc le rang de la matrice A vaut au maximum 2.
Finalement dans les deux cas A n’est pas inversible car son rang est strictement inférieur à 3.
(b) Pour a b et a 2b, il suffit de chercher a1 , b1 tels que
M pa, bq M pa1 , b1 q M paa1
"
On en déduit que
aa1 2bb1
ab1 a1 b bb1
1
soit b1
0
pM pa, bqq1 M pa bbqpaa
On trouve en calculant upe11 q pa 2bqe11 .
Au final
7.
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
2bb1 , ab1
a1 b
bb1 q I.
b b a a1 puis a1 pa bbqpaa
b
,
.
2bq pa bqpa 2bq
1
2bq
.
PCSI
CORRECTION DM n˚12
Kerpu pa bqIdE q. On a, puisque b 0 : px, y, zq P F ðñ x y z 0
Donc F Vectpe12 , e13 q avec e12 p1, 1, 0q et e13 p1, 0, 1q .
De plus pe12 , e13 q est libre donc c’est une base de F .
e11 p1, 1, 1q R E2 car px, y, z q P F ðñ x y z 0 et ici x y z 3 0.
8. Soit F
9.
On en déduit que e11 n’est pas combinaison linéaire de e12 et e13 , ces deux derniers étant non colinéaires
pe11, e12, e13q est libre et maximale, c’est une base de C3.
2bqe11 , upe12 q pa bqe12 et upe13 q pa bqe13 , la matrice de u dans B 1 est :
d’après la question précédente, on en déduit que
10. Comme upe11 q pa
a
D
1
11. On a P 1
1
2b
0
0
ab
0 0
ab
0
0
1
1
0
1
0 . Soit px, y, z q et pa, b, cq deux éléments de C3 :
1
$
& x
$
a
x
& x y za
xy b
P y b ðñ
%
xz c
c
z
ðñ
ÐL2 L1
L3 ÐL1 L2 L3
L2
12.
D’après la formule de changement de base M
z
a
2x z a
3x a b
%
ce qui démontre que P est inversible et que P 1
y
1
1
1
3
1
1
2
1
b
c
$
& x
a 3b c
ðñ % z a b 2x a b32c
c
y a x z a2b
3
1
1 .
2
P DP 1.
Si M est une matrice 3 3, on peut démontrer par récurrence sur n que M n pP DP 1 qn P Dn P 1 .
Il suffit alors de calculer Dn (en élevant à la puissance n les coefficients de la diagonale) puis de
multiplier à gauche par P et à droite par P 1 pour obtenir M n .
13.
pP DP 1 I qn I pP pD I qP 1qn I
P pD I qnP 1 I P ppD I qn I qP 1
D’autre part, comme P est inversible, P N P 1 0 équivaut à N 0. Donc, d’après le calcul précédent :
pM I qn I 0 ðñ pD I qn I 0
pM
I qn I
P pa
2bq
0
0
n
.
0
P pa bq
0
14. Avec la matrice D de la question 10., pD I q I 0
0
P pa bq
Par suite, D est solution de pq si et seulement si a 2b et a b est racine de P (polynôme évoqué au
1.). De plus, comme b 0, D est solution de pq si et seulement si il existe deux entiers p et q distincts
ipπ
iqπ
compris entre 0 et 2n 1 tels que a 2b e n 1 et a b e n 1.
Ainsi D est solution de pq si et seulement si il existe deux entiers p et q distincts compris entre 0 et
2n 1 tels que a ipπ
n
iqπ
n
ipπ
n
e
iqπ
n
1 et b .
3
3
15. D’après la question 3., les matrices Ma,0 (matrices d’homothéties) solutions de
M ipπ
où p est un entier compris entre 0 et 2n 1.
e
n
e
2e
e
1,0
D’après la question 14., les matrices Ma,b avec b
a
ipπ
e n
iqπ
2e n
3
1 et b Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
ipπ
e n
3
iqπ
e n
pq sont les matrices
0 solutions de pq sont les matrices Ma,b
avec
où p et q sont deux entiers distincts compris entre 0 et 2n 1.
2
PCSI
CORRECTION DM n˚12
EXERCICE 1 - Calcul des puissances d’une matrice An
0 1 1
1 0 1 .
Soit la matrice A 1 1 0
3A 2I3 et donc la relation est bien vérifiée.
La relation précédente s’écrit aussi A3 3A 2I3 ou encore A.r 12 pA2 3I3 qs I3 soit A1 21 pA2 3I3 q.
1 et 2 sont racines évidentes de B X 3 3X 2, on remarque même que 1 est racine double soit
X 3 3X 2 pX 1q2 pX 2q.
Pour n P N, posons la division euclidienne de X n par X 3 3X 2 :
D!pQ, Rq P KrX s tel que X n BQ R avec degpRq 3, on pose alors R aX 2 bX C.
Pour X 1 on a p1qn B p1qQp1q Rp1q soit p1qn a b c.
Pour X 1 on a n.p1qn1 B 1 p1qQp1q B p1qQ1 p1q R1 p1q soit np1qn1 2a b.
Pour X 2 on a 2n B p2qQp2q Rp2q soit 2n 4a 2b c.
1. En calculant A3 , on trouve que A3
2.
3.
4.
On résout le système :
$
&
ab
2a
%
4a 2b
c
b
c
L3
p1qn
np1qn
2n
ðñ
ÐL3 3L2
$
& a
L3
ÐL3 L1
b
%
ðñ
$
& a
c
2a b
9a
%
b
2a
3a
p1qn
np1qn
2n p1qn
c
b
3b
p1qn
np1qn
2n p1qn
3np1qn
On résout en remontant le système :
$
& c
%
b
a
p1qn b a
np1qn 2a
19 r2n p3n 1qp1qns
L3
ðñ
ÐL3 L2
$
& c
%
b
a
91 r2n p6n 8qp1qns
91 r2.2n p3n 2qp1qns
91 r2n p3n 1qp1qns
1
r
2n p3n 1qp1qn sX 2 r2.2n p3n 2qp1qn sX r2n p6n 8qp1qn s .
9
5. On « remplace » X par la matrice A dans l’égalité de la division euclidienne.
Ainsi on obtient (en rappelant que dans l’expression générale du polynôme on note A0 I3 ).
On en déduit :
1
An RpAq r
2n p3n 1qp1qn sA2 r2.2n p3n 2qp1qn sA r2n p6n 8qp1qn sI3 .
9
Finalement R Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
3
PCSI
CORRECTION DM n˚12
EXERCICE 2 - Travail sur les projecteurs
Soit E un K-e.v. et p , q deux projecteurs de E.
1. Bien entendu il est trivial que p q projecteur ð p q q p 0 ð p q q p 0.
Supposons maintenant p q projecteur (sachant toujours que p , q sont des projecteurs de E) :
pp qq2 p q ô p2 p q
Supposons maintenant p q
qp
q2
p
q
ôp
pq
qp
q
p
q
ôpq
qp0
q p 0 c’est à dire p q q p :
On compose à gauche par p : q p q p soit p q p q p.
On compose à droite par p : p q p q p2 soit p q p q p.
Finalement p q q p et comme p q q p alors p q q p 0 :
p
p2
q projecteur
ôpq
qp0ôpq
2. Soit p q un projecteur.
Montrons Ker p X Ker q € Kerpp qq :
Soit x P Ker p X Ker q, alors ppxq q pxq 0E ainsi pp
qp0
q qpxq ppxq
q pxq 0E donc x P Kerpp
Montrons Kerpp qq € Ker p X Ker q :
Soit x P Kerpp q q, alors ppxq q pxq 0E ainsi en composant par p : p2 pxq ppq pxqq
(car p2 p et p q 0).
On en déduit x P Ker p et également q pxq q0E soit x P Ker q soit x P Ker p X Ker q.
q q.
ppxq 0E
Finalement Ker p X Ker q
Kerpp qq .
Montrons Im p X Im q t0E u. :
Soit y P Im p X Im q t0E u, Dpx, x1 q P E 2 tels que y ppxq q px1 q alors ppy q p2 pxq ppxq y
mais aussi ppy q p q px1 q 0E donc y 0E soit Im p X Im q t0E u.
Montrons Impp qq € Im p ` Im q :
Soit y P Im pp q q, Dx P E tels que y pp q qpxq ppxq q pxq P Im p Im q par définition de la
somme de deux s.e.v. . On a donc Impp q q € Im p ` Im q
Montrons Im p ` Im q € Impp qq :
Soit y P Im p ` Im q, Dpx, x1 q P E 2 tels que y ppxq q px1 q.
En appliquant p on obtient ppy q p2 pxq p q px1 q ppxq et en appliquant q on obtient de même
q py q q px1 q. Finalement y ppy q q py q pp q qpy q soit y P Impp q q.
Finalement Im p ` Im q Impp q q
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
4
PCSI