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Samedi 07 Janvier 2017
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N◦4
Sujet CCP-E3A
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est interdit
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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DEVOIR SURVEILL´ E N◦4
EXERCICE 1 - Espaces pr´ehilbertiens (E3A - PSI - 2013 )
Soit Eun espace pr´ehilbertien r´eel dont le produit scalaire est not´e (.|.) et la norme associ´ee k.k.
On suppose qu’il existe n∈N∗et une famille B= (e1, . . . , en) tels que la propri´et´e (P) suivante soit v´erifi´ee :
(P) : ∀x∈E, kxk2=
n
X
i=1
(x|ei)2
On d´esigne par Fle sous-espace vectoriel engendr´e par la famille B.
On note Inla matrice identit´e de Mn(R).
Soit la matrice sym´etrique A= ((ei|ej))1≤i,j≤n∈ Mn(R).
1. (a) Soit x∈F⊥. Calculer kxk2.
(b) En d´eduire que Eest de dimension finie.
2. Dans cette question, et uniquement celle-ci, on suppose ∀i∈ {1,2, . . . , n},keik ≥ 1.
Montrer qu’alors Best une base orthonormale de E.
3. Dans cette question, et uniquement celle-ci, on suppose que Best une famille libre de E.
(a) Montrer que Best une base de E.
(b) ´ Enoncer une identit´e de polarisation liant produit scalaire et norme associ´ee.
(c) En utilisant la propri´et´e (P), d´emontrer que ∀(x, y)∈E2,(x|y) =
n
P
i=1
(x|ei)(y|ei).
(d) En d´eduire que l’on a A2=A.
(e) Soit al’endomorphisme de Edont Aest la matrice dans la base B. D´eterminer le noyau de a.
(f) En d´eduire que Best une base orthonormale de E.
EXERCICE 2 - Espaces pr´ehilbertiens (E3A - PSI - 2016 )
On identifie le vecteur Vde Rnet la matrice colonne de ses compostantes dans la base canonique.
On munit l’espace Rndu produit scalaire usuel (X|Y) = tXY .
Mest une matrice de Mn(R) poss´edant nvaleurs propres distinctes λ1, . . . , λn.
Pour tout k∈[[1, n]], on choisit un vecteur non nul Vk∈Ek= ker(M−λkIn).
1. Montrer que tMest diagonalisable dans Mn(R) et admet les mˆemes valeurs propres que M.
On choisit alors pour tout k∈[|1, n|] un vecteur Wknon nul de ker(tM−λkIn).
2. Prouver que ∀i6=j, tViWj= 0.
3. D´emontrer que ∀i, tViWi6= 0.
Pour tout k∈[|1, n|], on note Bk=1
tVkWk(VktWk).
4. Exemple : soit A=1 1
0 2 .
V´erifier que Aposs`ede deux valeurs propres distinctes λ1, λ2telles que λ1< λ2.
D´eterminer les matrices B1+B2et λ1B1+λ2B2.
5. On revient au cas g´en´eral
Soit k∈[|1, n|]. D´eterminer le rang de Bk. Calculer B2
k.
La matrice Bkest-elle diagonalisable dans Mn(R) ?
6. D´eterminer P=
n
P
k=1
Bket Q=
n
P
k=1
λkBk.
7. Soit r∈N. D´eterminer Gr=
n
P
k=1
(λk)rBk.
PSI 2016-2017 2 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

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EXERCICE 3 - ´ Etude d’une s´erie de fonctions (E3A - PSI - 2002 )
Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels. Soit αun r´eel strictement positif.
Pour nentier naturel non nul, on consid`ere l’application unde [0,+∞[ vers Rd´efinie par :
un(x) = x
nα(1 + nx2).
1. ´ Etude des modes de convergence de la s´erie de fonctions Xun.
(a) Montrer que la s´erie Xunconverge simplement sur [0,+∞[.
(b) D´emontrer que la s´erie Xunconverge normalement sur [0,+∞[ si et seulement si α > 1
2.
(c) Soient aet bdeux r´eels tels que : 0 < a < b.
Prouver que la s´erie Xunconverge normalement sur [a, b]
(d) On suppose dans cette question que : α61
2. Pour x∈[0,+∞[, on pose : Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
uk(x).
i. ´ Etablir l’in´egalit´e : Rn(x)>
2n
X
k=n+1
x
√2n(1 + kx2).
ii. En d´eduire que la s´erie Xunn’est pas uniform´ement convergence sur [0, a] o`u a∈R+∗.
2. ´ Etude de la continuit´e sur [0,+∞[ de l’application S:x7→
+∞
X
n=1
un(x).
(a) Montrer que, pour tout α,Sest continue sur ]0,+∞[.
(b) Montrer que, si α > 1
2, alors Sest continue sur [0,+∞[.
(c) On suppose que : α61
2. Soit xun r´eel strictement positif.
i. Soit fl’application d´efinie sur [1,+∞[ par : f:t7→ f(t) = x
tα(1 + tx2).
Prouver que fest int´egrable sur [1,+∞[.
ii. Montrer que Z+∞
1
f(t)dt6S(x).
iii. Calculer Z+∞
1
x
√t(1 + tx2)dt`a l’aide d’un changement de variable.
iv. En d´eduire que Sn’est pas continue en 0.
EXERCICE 4 - Probabilit´es (d’apr`es E3A - PC - 2016)
On dispose d’une pi`ece qui, lorsqu’elle est lanc´ee, tombe sur «pile »avec la probabilit´e pet tombe sur
«face »avec la probabilit´e q= 1 −p. On suppose que pest dans ]0,1[.
Alice et Benoˆıt jouent `a un jeu de «pile ou face »avec cette pi`ece de la fa¸con suivante : La pi`ece est lanc´ee
plusieurs fois de suite jusqu’`a ce que trois lancers successifs fournissent deux fois «pile »suivies d’une fois
«face »ou une fois «face »suivie de deux fois «pile ». Dans le premier cas, deux fois «pile »suivies
d’une fois «face », Alice gagne et dans le cas une fois «face »suivie de deux fois «pile », Benoˆıt gagne.
On d´esigne par motif le r´esultat de trois lancers successifs. Par exemple, si on a effectu´e 7 lancers dont le
r´esultat est «pile, face, pile, face, face, pile, pile »les motifs de longueur 3 sont «pile, face, pile »,«face,
pile, face »,«pile, face, face »,«face, face, pile »et «face, pile, pile »; `a ce stade, Benoˆıt a gagn´e et la
partie est finie.
Soit ndans N∗. On note Xnla variable al´eatoire qui donne la valeur du n-i`eme lancer : la variable Xnprend
la valeur 1 lorsque la pi`ece tombe sur «pile »et la valeur 0 lorsque la pi`ece tombe sur «face ».
La probabilit´e d’un ´ev´enement Ali´e `a ce jeu sera not´e P(A) et pour n∈N,P(Xn= 1) = pet P(Xn= 0) = q.
PSI 2016-2017 3 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

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Les lancers sont suppos´es ind´ependants, donc les variables al´eatoires (Xn)n∈Nsont mutuellement ind´epen-
dantes.
Soit ndans N. On note Enl’´ev`enement «Ni Alice, ni Benoˆıt n’ont gagn´e apr`es nlancers »,Anl’´ev`enement
«le n-i`eme lancer fait gagner Alice »et Bnl’´ev`enement «le n-i`eme lancer fait gagner Benoˆıt ».
1. D´eterminer P(En), P(An), P(Bn) pour n= 1, n= 2 et n= 3.
2. Soient net kdeux entiers naturels non nuls. Soit (x0, . . . , xk) dans {0,1}k+1. Justifier que les ´ev`ene-
ments En∩(Xn=x0) et (Xn+1 =x1)∩(Xn+2 =x2)∩. . . ∩(Xn+k=xk) sont ind´ependants.
Que peut-on en d´eduire pour la probabilit´e de l’´ev´enement
En∩(Xn=x0)∩(Xn+1 =x1)∩(Xn+2 =x2)∩. . . ∩(Xn+k=xk) ?
3. Soit ndans N. On note vnla probabilit´e de l’´ev`enement En∩(Xn= 0) et wnla probabilit´e de
l’´ev`enement En∩(Xn= 1).
(a) Exprimer v1, v2, w1, w2en fonction de pet q.
(b) Soit nun entier naturel >3. En d´ecomposant l’´ev´enement En∩(Xn= 0) selon la valeur prise
par Xn−1, d´emontrer que vn=qvn−1+pqvn−2.
(c) En supposant connues les valeurs num´eriques de pet q, proposer une fonction en Python,
suite(N), qui prend en entr´ee l’entier naturel Net renvoie la liste des N+1premiers termes
de la suite (vn)n∈N.
Pr´eciser la complexit´e de votre algorithme en fonction des op´erations que vous utilisez (additions,
multiplications...).
(d) Soit nun entier naturel >3. On consid`ere une suite de nlancers cons´ecutifs qui n’a fait gagner
ni Alice, ni Benoˆıt et qui se conclut par un «pile »(Xnprend la valeur 1). On suppose que lors
de l’un au moins de ces lancers, la pi`ece est tomb´ee sur «face ». On note kle plus grand indice
tel que, pour cette suite, Xka pris la valeur 0 (c’est-`a-dire le dernier lancer pour lequel la pi`ece
est tomb´ee sur «face »). Justifier que k=n−1.
(e) Soit nun entier naturel >3. D´emontrer que wn=pn+pvn−1.
4. Soit Tla variable al´eatoire «dur´ee du jeu », c’est-`a-dire que Tprend la valeur nlorsque «Alice ou
Benoˆıt gagne `a la n-i`eme ´etape », pour n∈N. Si la partie ne se termine pas, Tprend la valeur +∞.
(a) Soit nun entier naturel >2.
i. Que peut-on dire des ´ev´enements (T > n) et En?
ii. En d´eduire l’expression de P(T > n) en fonction de vn,vn−1et p.
iii. Justifier que P(T= +∞) = 0. Indication : On pourra ´etudier la suite (vn+pvn−1)n>2et
d´emontrer qu’elle est d´ecroissante.
iv. Quelle propri´et´e du jeu obtient-on ainsi ?
(b) Si la s´erie P
n>2
vnest convergente, d´emontrer que la variable Test d’esp´erance finie.
En notant E(T) cette esp´erance, justifier l’´egalit´e E(T) = 2 + p+p3
1−p+ (1 −p) +∞
X
n=2
vn!.
(c) On suppose dans cette question seulement que la pi`ece est ´equilibr´ee, c’est-`a-dire p=q=1
2.
D´emontrer que la variable Test d’esp´erance finie et calculer E(T).
Indication : On pourra calculer v2et v3.
5. Soit nun entier naturel >3.
(a) On consid`ere une suite de nlancers cons´ecutifs telle qu’Alice gagne la partie au n-i`eme lancer.
D´emontrer que lors des n−1 premiers lancers, la pi`ece n’est pas tomb´ee sur «face ».
(b) En d´eduire la probabilit´e qu’Alice gagne la partie au n-i`eme lancer , soit P(An), puis la probabilit´e
que Benoˆıt gagne la partie au n-i`eme lancer , soit P(Bn).
6. Exprimer en fonction de pla probabilit´e qu’Alice gagne la partie et la probabilit´e que Benoˆıt gagne la
partie. Quelles valeurs obtient-on pour ces deux probabilit´es lorsque la pi`ece est ´equilibr´ee ?
7. Quelle valeur donner `a ppour que le jeu soit ´equitable ?
PSI 2016-2017 4 Lyc´ee de L’essouriau - Les Ulis

Samedi 07 Janvier 2017
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N◦4
Sujet Mines-Pont-Centrale
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice est interdit
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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