Stage de pré-rentrée

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PCSI
2013 - 2014
Stage de pré-rentrée
I. Trigonométrie.
1) Tracer un cercle trigonométrique et interpréter géométriquement sur ce cercle le cosinus, le
sinus, la tangente et la cotangente d'un angle θ donné.
2) Soit k ∈ Z et θ ∈ R.
a) Exprimer en fonction de cos(θ) ou sin(θ) le cosinus, le sinus, la tangente et la
cotangente de l'angle θ + kπ .
b) Exprimer en fonction de cos(θ) ou sin(θ) le cosinus, le sinus, la tangente et la
π
π
cotangente de l'angle + θ. En faire de même pour l'angle − θ.
2
2
3) Rappeler les 4 formules d'addition du sinus et du cosinus.
4) A l'aide de ces formules :
a) Retrouver cos(2θ) et sin(2θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ), θ étant un réel donné.
b) Donner une expression factorisée de cos(p) + cos(q) puis de sin(p) + sin(q) en fonction
p+q
p−q
du sinus et du cosinus de
et
, p et q étant des réels donnés.
2
2
c) En faire de même pour cos(p) + sin(p).
x
. Exprimer en fonction de t, sin(x),
5) Soit x un réel non multiple de π , on pose t = tan
2
cos(x) et tan(x).
6) Résoudre l'équation d'inconnue x ∈ [0, π2 [ : cos(2x) = sin(6x)
√
7) Résoudre l'équation d'inconnue x ∈ [0, 2π[ : cos(x) − 3 sin(x) = 1
II. Calculs de sommes.
1) Rappeler la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique, celle d'une suite
géométrique et la formule du binôme de Newton.
2) a) Sans utiliser les résultats précédents, démontrer la formule :
n
X
i=1
i=
n(n + 1)
.
2
b) Déterminer la somme des carrés des n premiers entiers consécutifs.
c) Déterminer la somme des cubes des n premiers entiers consécutifs.
3) Démontrer la formule du binôme de Newton.
4) a et b étant des réels donnés, démontrer la formule, valable pour tout n ∈ N∗ :
n
n
a − b = (a − b)
n−1
X
ak bn−k−1
k=0
III. Majorer-Minorer.
1) Démontrer les inégalités classiques suivantes :
a2 + b 2
2
b) ∀a ≥ 1, ∀n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na
a) ∀a, b ∈ R, |ab| ≤
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c) ∀x ∈ R, | sin(x)| ≤ |x|
d) ∀x ∈ R, ex ≥ 1 + x
e) ∀x ∈] − 1, +∞[, ln(1 + x) ≤ x
2) A l'aide de√majorations, montrer que la suite (un ) dénie pour tout n ∈ N par
un =
n
X
k=1
k 2 + nk
tend vers 0.
n3 + k 2 − k
IV. Nombres complexes.
1) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : (3 + 2i)(1 − i) − (2 + i)2 ,
(1 + i)5 et
9 − 4i
.
2+i
√
2) Ecrire les
√ nombres complexes suivants sous forme trigonométrique : −2i, 1 − i 3,
1+i 3
et √
.
√
3 + 3i
3+i
3) Pour quelles valeurs de λ ∈ R, le nombre complexe z = (λ + i)(λ + 5 − i(λ − 7)) est-il réel ?
4) Pour quelles valeurs de n ∈ N, le nombre complexe (1 + i)n est-il réel ?
5) Résoudre les équations suivantes sur C : 2iz − z + 4 − i = z − i et 2z + (3 + i)z = 4 − i
V. Etude de fonctions.
2
.
−1
2) Etudier la fonction g dénie par g(x) = cos(x) − cos2 (x).
1) Etudier la fonction f dénie par f (x) =
ex
VI. Pour nir.
Soient n ∈ N et En : xn + xn−1 + ... + x = 1.
1
1) Montrer que l'équation En possède une unique solution xn dans R+ et que xn ∈ , 1 .
2
2) Montrer que (xn ) converge.
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