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2017
Mathématiques 2
PSI
4 heures Calculatrices autorisées
Objectifs
L’objectif du problème est l’étude de l’évolution de certains systèmes (discrets ou continus) à coecients pério-
diques, dans le cadre de la théorie de Floquet. Dans la première partie on démontre quelques propriétés des
suites complexes périodiques et des normes matricielles. La théorie de Floquet est introduite dans la partie II
à travers l’étude de suites vériant une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 à coecients périodiques. Dans
la partie III, le résultat est généralisé au cas des suites vectorielles. Une approche du cas continu est proposée
dans la partie IV. La partie V est consacrée à la preuve d’un lemme nécessaire à la partie III ; en dehors de
cette nalité elle est indépendante des autres parties.
Notations
 𝑛désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre à coecients complexes ;
 𝑛,1l’ensemble des matrices colonnes de taille à coecient complexes ; on identie 𝑛,1et 𝑛.
 𝑛représente l’ensemble des éléments inversibles de 𝑛.
 est la trace de la matrice de 𝑛.
 𝑛désigne l’ensemble des matrice triangulaires supérieures d’ordre .
 1,𝑛 est la matrice ligne de taille dont tous les coecients sont nuls.
Pour tout  
1
𝑛
𝑛, on pose ∞ 
1⩽𝑖⩽𝑛 𝑖.
Pour toute matrice 𝑖,𝑗1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛 de 𝑛, on pose 0 
1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛 𝑖,𝑗.
On rappelle que ∞est une norme sur 𝑛et que 0est une norme sur 𝑛.
Si 1
2et 1 2sont deux matrices colonnes de taille 2 à coecients dans , on note la
matrice 11
22de 2.
I Préliminaire
I.A – Une suite 𝑘𝑘∈ℕ ℕest dite périodique s’il existe un entier tel que, ,𝑘+𝑝 𝑘;
est alors une période de la suite 𝑘qui est dite -périodique.
I.A.1) Vérier qu’une suite périodique est bornée.
I.A.2) Que peut-on dire des suites -périodiques ?
I.A.3) Vérier que, si 𝑘est -périodique, alors ,,𝑛+𝑘𝑝 𝑛.
I.A.4) Que peut-on dire des suites qui sont à la fois périodiques et convergentes ?
I.B – Vérier les deux propriétés suivantes.
I.B.1) 𝑛2000
I.B.2) 𝑛 𝑛∞0∞
II Exemples de suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coecients pé-
riodiques
II.A – Dans cette sous-partie II.A, est un nombre réel non nul. On note Sol(II.1) l’ensemble des suites
complexes 𝑘𝑘∈ℕ vériant la relation de récurrence
∗ 𝑘+1 𝑘𝑘−1  (II.1)
II.A.1) Donner la forme générale des suites appartenant à Sol(II.1) en fonction des racines complexes 1et
2de l’équation 2. Que valent 12et 12?
II.A.2) Montrer que si , la suite nulle est la seule solution périodique de (II.1).
II.A.3) Montrer que si    alors, (II.1) admet une innité de solutions constantes et une innité de
solutions non bornées.

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II.A.4) Montrer que si alors, (II.1) admet une innité de solutions 2-périodiques et une innité de
solutions non bornées.
II.A.5) On suppose dans cette question que est un entier supérieur ou égal à 3. Donner une valeur de
pour laquelle toutes les solutions de l’équation (II.1) sont -périodiques.
II.B – Dans toute la suite de cette partie, on suppose que est un entier supérieur ou égal à , que 𝑘𝑘∈ℕ
et 𝑘𝑘∈ℕ sont deux suites de nombres réels -périodiques et que  𝑘. On note Sol(II.2) l’ensemble
des suites complexes 𝑘𝑘∈ℕ qui vérient la relation de récurrence
∗ 𝑘𝑘+1 𝑘𝑘𝑘−1𝑘−1  (II.2)
II.B.1) Justier que l’application Sol(II.2)  2
𝑘𝑘∈ℕ  0
1est un isomorphisme de -espaces vectoriels.
II.B.2) On se xe 𝑘𝑘∈ℕ et 𝑘𝑘∈ℕ, deux suites solutions de (II.2).
On pose pour tout ,𝑘𝑘𝑘𝑘+1 𝑘𝑘+1. Montrer que la suite 𝑘𝑘∈ℕ est constante.
II.B.3) Montrer que les deux suites 𝑘𝑘∈ℕ et 𝑘𝑘∈ℕ forment une base de Sol(II.2) si et seulement si 0.
II.C – À toute suite complexe 𝑘𝑘∈ℕ, on associe la suite 𝑘𝑘∈ℕ d’éléments de 2dénie par
 𝑘 𝑘
𝑘+1 
Démontrer que la suite 𝑘𝑘∈ℕ est solution de (II.2) si et seulement si la suite 𝑘𝑘∈ℕ est solution d’un système
(II.3) de la forme  𝑘+1 𝑘𝑘(II.3)
Préciser la matrice 𝑘2.
II.D – On note dorénavant 𝑝−1𝑝−2 0. On se xe dans cette sous-partie une solution 𝑘𝑘∈ℕ
de (II.3).
II.D.1) Démontrer que .
II.D.2) Démontrer que, pour tout entier naturel et tout entier naturel ,
𝑘𝑝 𝑘0
𝑘𝑝+𝑟 𝑟−1𝑟−20𝑘0
II.E –
II.E.1) Démontrer que (II.2) admet une solution périodique non nulle de période si et seulement si 1 est
une valeur propre de .
II.E.2) En déduire que (II.2) admet une solution périodique non nulle de période si et seulement si .
Démontrer que dans ce cas, ou bien toutes les solutions de (II.2) sont périodiques de période , ou bien (II.2)
admet une solution non bornée.
On pourra démontrer qu’il existe une matrice   2 et un nombre complexe tels que
 −1 et, dans le cas où , considérer la suite de Sol(II.2) dont l’image par est
le vecteur 
.
II.E.3) Montrer que si , alors toute solution de (II.2) est bornée.
III Généralisation
Soient et deux entiers supérieurs ou égaux à .
On se xe dans toute cette partie une suite 𝑘𝑘∈ℕ de matrices de 𝑛que l’on suppose -périodique,
c’est-à-dire telle que ,𝑘+𝑝 𝑘.
On note Sol(III.1) l’ensemble des suites 𝑘𝑘∈ℕ de vecteurs de 𝑛vériant la relation de récurrence
 𝑘+1 𝑘𝑘(III.1)
III.A – Justier qu’on dénit une suite 𝑘𝑘∈ℕ de matrices de 𝑛en posant 0𝑛
𝑘+1 𝑘𝑘
et que 𝑘𝑘∈ℕ Sol(III.1) si et seulement si ,𝑘𝑘0.

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III.B –
III.B.1) Démontrer que ,𝑘+𝑝 𝑘𝑝.
La matrice 𝑝est appelée matrice de Floquet de l’équation (III.1) et ses valeurs propres complexes sont appelées
les multiplicateurs de Floquet de (III.1).
III.B.2) Soit un multiplicateur de Floquet de (III.1).
a) Démontrer qu’il existe une solution 𝑘𝑘∈ℕ de (III.1) non nulle vériant ,𝑘+𝑝 𝑘.
b) Soit 𝑘𝑘∈ℕ une telle solution, démontrer que, si ,
𝑘→+∞ 𝑘∞.
Dans toute la suite de cette partie III, on note une matrice appartenant à 𝑛et vériant 𝑝𝑝
(l’existence d’une telle matrice sera démontrée dans la partie V).
III.C – Démontrer qu’il existe une unique suite 𝑘𝑘∈ℕ 𝑛ℕ, périodique de période , telle que
 𝑘𝑘𝑘
III.D – Soit 𝑘𝑘∈ℕ une solution de (III.1).
III.D.1) Justier l’existence de 
𝑘∈ℕ 𝑘0. Montrer que pour tout ,𝑘0𝑘0.
III.D.2)
a) Démontrer que si 
𝑘→+∞ 𝑘0, alors  𝑘→+∞ 𝑘∞.
b) Démontrer que si la suite 𝑘0𝑘∈ℕ est bornée, alors la suite 𝑘∞𝑘∈ℕ est également bornée.
III.E – On suppose toujours que est un entier supérieur ou égal à .
III.E.1) Soit    un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à racines simples. Démontrer que le
polynôme 𝑝est à racines simples si et seulement si .
III.E.2) En déduire que 𝑝est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.
III.E.3) On suppose que est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont de module strictement
inférieur à 1. Démontrer que pour toute solution 𝑘𝑘∈ℕ de (III.1), 
𝑘→+∞ 𝑘∞.
IV Le cas continu en dimension 2
Soient une fonction continue, périodique de période et une fonction de classe 1
2
 2
1
2
On s’intéresse au système diérentiel homogène d’inconnue 
  (IV.1)
On se xe 0. On note 2
1
2et  2
1
2les deux solutions du système diérentiel
(IV.1) vériant 0
et 0 .
IV.A –
IV.A.1) On considère le système diérentiel linéaire (IV.2) dont les solutions sont des fonctions de classe 1à
valeurs dans 2   (IV.2)
Pour tout , on pose . Vérier que est la solution de (IV.2) vériant 02.
IV.A.2) Réciproquement, si 2
 est une solution de (IV.2) et 1 22, démontrer
que la fonction  2
12 est une solution de (IV.1).
IV.B –
IV.B.1) Soit 1et  1
22. On suppose que 1  . Montrer que la fonction  
2
12 est nulle. En déduire que pour tout réel ,est inversible.

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IV.B.2) Soit 12une solution du système (IV.2).
Montrer que pour tout réel ,0.
IV.B.3) Déduire de la question précédente qu’il existe une unique matrice 2indépendante de telle
que pour tout réel ,.
s’appelle la matrice de Floquet du système (IV.1) et les valeurs propres complexes de s’appellent les
multiplicateurs de Floquet de (IV.1).
IV.C –
IV.C.1) Soit un multiplicateur de Floquet de (IV.1), c’est-à-dire une valeur propre de , et 2un
vecteur propre de associé à cette valeur propre. On note  2
.
a) Démontrer que ,.
b) Démontrer qu’il existe un nombre complexe et une fonction 2
 non nulle et -périodique telle
,𝜇𝑡.
IV.C.2) Donner une condition nécessaire et susante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le
système diérentiel (IV.1) admette une solution non nulle périodique de période .
IV.C.3) On suppose que la matrice est diagonalisable. Donner une condition nécessaire et susante portant
sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système diérentiel (IV.1) admette une solution non bornée sur .
IV.D – On pose pour tout ,et on note 1et 2les multiplicateurs de Floquet de
(IV.1).
IV.D.1) Montrer que pour tout réel ,.
IV.D.2) En déduire que 12
𝑇
0
.
V Racines -ièmes dans 𝒏
On se xe un entier naturel supérieur ou égal à 2. Pour toute matrice de 𝑛, on appelle racine -ième
de toute matrice de 𝑛vériant 𝑝. Le but de cette partie est de prouver l’existence d’une telle
matrice.
On rappelle le résultat suivant relatif au produit de deux matrices triangulaires par blocs.
Pour toutes matrices 1et 2de 𝑛, toutes matrices 1et 2de 𝑛,1et tous nombres complexes 1
et 2:
11
1,𝑛 122 1,𝑛 2121221 1,𝑛 12
V.A – Soient 𝑛,𝑛,1et .
Démontrer que, pour tout entier on a :  
1,𝑛 𝑘𝑘𝑘 1,𝑛 𝑘où 𝑘𝑘−1
𝑗=0 𝑘−1−𝑗𝑗.
V.B – On notera dans toute cette sous-partie 𝑝2i𝑘𝜋
𝑝, l’ensemble des racines -ièmes de
l’unité diérentes de .
V.B.1) Soient et des nombres complexes non nuls. On suppose que 
𝑝, ce qui signie que, soit ,
soit 𝑝
𝑝. Démontrer que le nombre complexe
𝑝−1
𝑗=0 𝑝−1−𝑗𝑗est non nul.
V.B.2) Soit 𝑖,𝑗une matrice de 𝑛triangulaire supérieure et inversible. Soit un nombre complexe
non nul. On suppose que, pour tout ,𝑖,𝑖
𝑝. Démontrer que la matrice
𝑝−1
𝑗=0 𝑝−1−𝑗𝑗est inversible.
V.B.3) Montrer que toute matrice triangulaire supérieure et inversible admet au moins une racine -ième
triangulaire supérieure.
On pourra prouver par récurrence sur la propriété suivante :
𝑛𝑛 𝑛 telle que 𝑝
2𝑖,𝑖
𝑗,𝑗 𝑝
V.B.4) Démontrer que toute matrice inversible de 𝑛admet au moins une racine -ième.
FIN 