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Chapitre 11
Intégration sur un intevalle quelconque
I. Théorie
Dans tout le chapitre, les fonctions sont continues par morceaux sur un intervalle I de
et à valeurs dans
ou
I,
. On note
l’ensemble de telles fonctions.
1. Intégrale généralisée
1.1. Cas où l’intervalle est semi-fermé
a) Définitions
est dite continue par morceaux sur I
Définition 1 : Une fonction f : I
si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans I. intervalle
Définition 2 : Soit f
a, b ,
et b
où a
.
x
b
L’intégrale
f (t )dt est dite convergente si la fonction x
a
f (t )dt
a
b
définie sur a, b a une limite finie en b. Cette limite est notée
f (t )dt .
a
Définition 2-bis : Soit f
a, b ,
où a
et b
b
L’intégrale
.
b
f (t )dt est dite convergente si la fonction x
f (t )dt
a
x
b
définie sur a, b a une limite finie en a. Cette limite est notée
f (t )dt .
a
b) Exemples
1.2. Cas où l’intervalle est ouvert
a) Définition
Définition 3 : Soit f
et b
où a
I,
b
L’intégrale
f (t )dt est dite convergente si les deux intégrales
a
b
c
f (t )dt convergent (où c
f (t )dt et
a
c
c
b
0n note alors
f (t )dt =
a
b) Exemples
a, b ).
b
f (t )dt +
a
f (t )dt
c
.
1.3. Propriétés
a) Linéarité
b) Positivité
c) Croissance
d) Intégrale généralisée et dérivation

Proposition : dérivabilité et dérivée de x
f (t )dt
Démonstration
x

Généralisations
2. Intégrabilité
2.1. Definition
2.2. Convergence absolue et convergence

Théorème
2.3. Exemples et contre-exemples
2.4. L’espace des fonctions intégrables

1
I,
, ,. est un
espace vectoriel
3. Cas de fonctions à valeurs réelles positives
3.1. Caractérisation
Proposition : Soit f
I,
.
x
f est intégrable si et seulement si x
f (t )dt est majorée.
a

Démonstration
3.2. Théorème de comparaison
Théorème : Soit f , g
 Si f
g, f
x b
o(g) ou f
a,b ,
x b
x b
f est intégrable sur I
g , alors :
g est intégrable sur I

.
O(g) alors :
g est intégrable sur I
 Si f
2
Démonstration
f est intégrable sur I
3.3. Comparaison série intégrale
Théorème : Soit f :
La série
une fonction continue et décroissante.
f n converge si et seulement si
f (t )dt converge (autrement dit si f est intégrable).
l’intégrale
0

Démonstration
3.4. Fonctions de référence : intégrales de Riemann
a) Sur 1,
1
où a
xa
f est intégrable sur 1,
Proposition 1 : Soit f : x

.
si et seulement a
1.
Démonstration
b) Sur 0,1
1
où a
.
xa
f est intégrable sur 0,1 si et seulement a
Proposition 2 : Soit f : x

1.
Démonstration
c) Plus généralement sur a, b
1
où a
.
x a a
f est intégrable sur a, b si et seulement a
Proposition 3 : Soit f : x

Démonstration

De même f : x
1
a
x
a
1.
est intégrable sur b, a si et seulement a
3.5. Exemples : justification d’intégrabilité
3.6. Exemples : justification d’intégrabilité et calcul de l’intégrale
3.7. Positivité améliorée
Proposition : Soit f
I,
.
Si f est intégrable sur I et si
f
I

Démonstration
0 , alors f est identiquement nulle.
1
4. Changement d’inconnues
4.1. rappel du thorème de MPSI.
Théorème : Soit f
j( b )
Alors
a, b , a,b
.
b
f j(t ) j (t )dt .
f (u )du
j(a )

1
et j
a,b ,
a
Méthode pratique.
4.2. Le théorème pour un intervalle quelconque
Théorème : Soit f
a,b ,
1
Soit j
.
a, b , a,b , bijective et strictement croissante.
b
b
Alors les intégrales
f j(t ) j (t )dt sont de même nature et
f (u )du et
a
a
égales en cas de convergence.

1
Cas où j
a, b , a,b
est bijective et strictement décroissante :
a
b
b
f j(t ) j (t )dt
f (u )du =
f j(t ) j (t )dt
b
a

Méthode pratique

Exemples
a
5. Intégration par partie
1
Théorème : Soit f , g
a,b ,
2
.
L’existence de deux des trois termes apparaissant dans la formule suivante
entraîne l’existence du troisième et l’égalité :
b
.
b
b
f (t )g (t )dt
f (t )g(t ) a
a
b
où f (t )g(t ) a = lim f (t )g(t )
t

f (t )g(t )dt
a
lim f (t )g(t )
b
t
a
f (t )g (t )dt
Conseil : on peut aussi procéder comme suit pour
a ,b
X
Considérer
f (t )g (t )dt
a
Procéder une intégration par parties sur le segment a, X
X
On obtient :
X
f (t )g (t )dt
a
X
f (t )g(t ) a
f (t )g(t )dt
a
Faire seulement alors tendre X vers b et conclure.
6. Intégration des relations de comparaison
Théorème 1 : Soit f
On suppose que f
a,b ,
x b
b
g converge, alors
.
b
f converge et
a
f (t )dt
g diverge, alors
f (t )dt
a
x
On a les mêmes propriétés en remplaçant o par O.
On suppose que f
b

x b
et g
g.
g
sont de même nature.
a
b
 Si elles convergent :
b
f (t )dt
x
x
 Si elles divergent :
f (t )dt
a

a,b ,
b
f et
a
a,b ,
Démonstration du théorème 2
x
b
x
b
g(t )dt
x
x
g(t )dt
a
b
o
g(t )dt
x
x
f diverge et
a
Théorème 2 : Soit f
x
x
b
a
b
x
a
b
 Si
a,b ,
o(g) .
b
 Si
et g
.
b
o
g(t )dt
a