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Chapitre 11
Intégration sur un intevalle quelconque
I. Théorie
Dans tout le chapitre, les fonctions sont continues par morceaux sur un intervalle I de
et à valeurs dans ou . On note
,I
l’ensemble de telles fonctions.
1. Intégrale généralisée
1.1. Cas où l’intervalle est semi-fermé
a) Définitions
Définition 1 : Une fonction
:fI
est dite continue par morceaux sur I
si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans I. intervalle
Définition 2 : Soit
,,f a b
où
a
et
b
.
L’intégrale
()
b
a
f t dt
est dite convergente si la fonction
()
x
a
x f t dt
définie sur
,ab
a une limite finie en b. Cette limite est notée
()
b
a
f t dt
.
Définition 2-bis : Soit
,,f a b
où
a
et
b
.
L’intégrale
()
b
a
f t dt
est dite convergente si la fonction
()
b
x
x f t dt
définie sur
,ab
a une limite finie en a. Cette limite est notée
()
b
a
f t dt
.
b) Exemples
1.2. Cas où l’intervalle est ouvert
a) Définition
Définition 3 : Soit
,fI
où
a
et
b
.
L’intégrale
()
b
a
f t dt
est dite convergente si les deux intégrales
()
c
a
f t dt
et
()
b
c
f t dt
convergent (où
,c a b
).
0n note alors
()
b
a
f t dt
=
()
c
a
f t dt
+
()
b
c
f t dt
b) Exemples

1.3. Propriétés
a) Linéarité
b) Positivité
c) Croissance
d) Intégrale généralisée et dérivation
 Proposition : dérivabilité et dérivée de
()
x
x f t dt
Démonstration
 Généralisations
2. Intégrabilité
2.1. Definition
2.2. Convergence absolue et convergence
 Théorème
2.3. Exemples et contre-exemples
2.4. L’espace des fonctions intégrables
1, , ,.I
est un espace vectoriel
3. Cas de fonctions à valeurs réelles positives
3.1. Caractérisation
Proposition : Soit
,fI
.
f est intégrable si et seulement si
()
x
a
x f t dt
est majorée.
 Démonstration
3.2. Théorème de comparaison
Théorème : Soit
2
, , ,f g a b
.
 Si
fg
,
()
xb
f o g
ou
()
xb
f O g
alors :
est intégrable sur est intégrable sur g I f I
 Si
xb
fg
, alors :
est intégrable sur est intégrable sur g I f I
 Démonstration

3.3. Comparaison série intégrale
Théorème : Soit
:f
une fonction continue et décroissante.
La série
fn
converge si et seulement si
l’intégrale
0
()f t dt
converge (autrement dit si f est intégrable).
 Démonstration
3.4. Fonctions de référence : intégrales de Riemann
a) Sur
1,
Proposition 1 : Soit
1
:fx xa
où
a
.
f est intégrable sur
1,
si et seulement
1a
.
 Démonstration
b) Sur
0,1
Proposition 2 : Soit
1
:fx xa
où
a
.
f est intégrable sur
0,1
si et seulement
1a
.
 Démonstration
c) Plus généralement sur
,ab
Proposition 3 : Soit
1
:fx xa
a
où
a
.
f est intégrable sur
,ab
si et seulement
1a
.
 Démonstration
 De même
1
:fx ax
a
est intégrable sur
,ba
si et seulement
1a
3.5. Exemples : justification d’intégrabilité
3.6. Exemples : justification d’intégrabilité et calcul de l’intégrale
3.7. Positivité améliorée
Proposition : Soit
,fI
.
Si f est intégrable sur I et si
0
I
f
, alors f est identiquement nulle.
 Démonstration

4. Changement d’inconnues
4.1. rappel du thorème de MPSI.
Théorème : Soit
,,f a b
et
1, , ,abj a b
.
Alors
()
()
( ) ( ) ( )f u du f t t dt
j b b
j a a
jj
.
 Méthode pratique.
4.2. Le théorème pour un intervalle quelconque
Théorème : Soit
,,f a b
.
Soit
1, , ,abj a b
, bijective et strictement croissante.
Alors les intégrales
()
b
a
f u du
et
( ) ( )f t t dt
b
a
jj
sont de même nature et
égales en cas de convergence.
 Cas où
1, , ,abj a b
est bijective et strictement décroissante :
()
b
a
f u du
=
( ) ( )f t t dt
a
b
jj
( ) ( )f t t dt
b
a
jj
 Méthode pratique
 Exemples
5. Intégration par partie
Théorème : Soit
12
, , ,f g a b
.
L’existence de deux des trois termes apparaissant dans la formule suivante
entraîne l’existence du troisième et l’égalité :
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
b
a
aa
f t g t dt f t g t f t g t dt
où
( ) ( )b
a
f t g t
=
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
t b t a
f t g t f t g t
 Conseil : on peut aussi procéder comme suit pour
,
( ) ( )
ab
f t g t dt
Considérer
( ) ( )
X
a
f t g t dt
Procéder une intégration par parties sur le segment
,aX
On obtient :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
XX
X
a
aa
f t g t dt f t g t f t g t dt
Faire seulement alors tendre X vers b et conclure.

6. Intégration des relations de comparaison
Théorème 1 : Soit
,,f a b
et
,,g a b
.
On suppose que
()
xb
f o g
.
 Si
b
a
g
converge, alors
b
a
f
converge et
( ) ( )
bb
xb
xx
f t dt o g t dt
 Si
b
a
g
diverge, alors
b
a
f
diverge et
( ) ( )
xx
xb
aa
f t dt o g t dt
On a les mêmes propriétés en remplaçant o par O.
Théorème 2 : Soit
,,f a b
et
,,g a b
.
On suppose que
xb
fg
.
b
a
f
et
b
a
g
sont de même nature.
 Si elles convergent :
( ) ( )
bb
xb
xx
f t dt g t dt
 Si elles divergent :
( ) ( )
xx
xb
aa
f t dt g t dt
 Démonstration du théorème 2