Intégrales à paramètre

12 Intégrales à paramètres
« La géométrie est l’art de raisonner juste sur des figures fausses. »
René Descartes (1596 – 1650)
Plan de cours
I Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Continuité sous le signe R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
III Dérivabilité sous le signe R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
On appelle intégrale à paramètre une intégrale du type ZJ f(x,t)dtoù f:I×J→R.
Par commodité, nous noterons gla fonction définie par g(x) = ZJ f(x,t)dt.
On s’intéresse dans ce chapitre à la régularité de l’application gainsi définie.
I – Domaine de définition
Tout d’abord, x∈ Dg⇐⇒ ZJ f(x,t)dtexiste. Deux possibilités :
• Si Jest un segment et si t7→ f(x,t)est continue alors l’intégrale est bien définie.
• Si J n’est pas un segment et si t7→ f ( x,t )est continue , il s’agit d’étudier la convergence de l’intégrale
impropre ZJ f(x,t)dt.
Les résultats suivants feront leur apparition dans le prochain chapitre, nous les admettrons pour le moment.
• Si f :( x,t ) 7→ f ( x,t )est continue sur I×J alors x7→ f ( x,t )est continue sur I Pour tout t∈J et
t7→ f(x,t)est continue sur JPour tout x∈I.
• La réciproque est fausse comme le montre l’exemple : (x,y)7→ x y
x2+y2.
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
g1:x7→ Z+∞
0
e−t
t+xdt;g2:x7→ Z1
0
dt
t2+x2;g3:x7→ Z1
0
dt
t2+x
II – Continuité sous le signe R
Exercice 2
Montrer que la fonction x7→ Z+∞
0
xe−x t dtn’est pas continue sur R+.
Ce dernier exemple montre bien qu’il n’y a aucune raison que la fonction g soit continue malgré la continuité
de fpar rapport à x.
–1–

CHAPITRE 12. INTÉGRALES À PARAMÈTRES
1 – Théorème de continuité
On a g(x) = ZJ f(x,t)dt. Quelles hypothèses sur fsont suffisantes pour s’assurer de la continuité de f?
Théorème 12.1 : Continuité sous le signe R
Soient Iet Jdeux intervalles de Ret fune fonction réelle ou complexe définie sur I×Jtelle que :
• Pour tout t∈J,x7→ f(x,t)est continue sur I.
• Pour tout x∈I,t7→ f(x,t)est continue sur J.
• Il existe ϕ:J→R+continue et intégrable sur Jtelle que :
∀(x,t)∈I×J,|f(x,t)|¶ϕ(t)(hypothèse de domination)
Alors g:x7→ ZJ f(x,t)dtest définie et continue sur I.
•ϕ(t)ne doit en aucun cas dépendre de x!
• C’est un théorème d’interversion de limites :
lim
x→x0ZJ
f(x,t)dt=lim
x→x0
g(x) = g(x0) = ZJ f(x0,t)dt=ZJ lim
x→x0
f(x,t)dt
Remarquons que l’existence de l’intégrale découle de l’hypothèse de domination.
Exemple
Soit g:x7→ Z+∞
0
e−tsin(x t)dt. Montrer que gest continue sur Ret calculer lim
x→0g(x).
•Dg=Rcar l’intégrale est absolument convergente.
• Ici, I=Ret J=R+.
x7→ e−tsin(x t)est continue sur Ret t7→ e−tsin(x t)est continue sur R+.
∀(x,t)∈I×J,|f(x,t)|¶e−t=ϕ(t)avec ϕintégrable sur J.
On en déduite que gest continue sur R.
•g(x)−−→
x→0g(0) = Z+∞
0
0 dt=0.
2 – Extension du théorème
Dans certains cas, il n’est pas possible de « dominer » la fonction f sur l’intervalle I tout entier. On peut
cependant se contenter de vérifier l’hypothèse de domination sur tout segment K inclus dans I , le théorème
précédent s’applique encore.
Théorème 12.2 : Continuité sous le signe R- extension
Soient Iet Jdeux intervalles de Ret fune fonction réelle ou complexe définie sur I×Jtelle que :
• Pour tout t∈J,x7→ f(x,t)est continue sur I.
• Pour tout x∈I,t7→ f(x,t)est continue sur J.
• Pour tout segment K⊂I, il existe ϕK:J→R+continue et intégrable sur Jtelle que :
∀(x,t)∈K×J,|f(x,t)|¶ϕK(t)(hypothèse de domination)
Alors g:x7→ ZJ f(x,t)dtest définie et continue sur I.
–2–

Mickaël PROST Lycée Chaptal – PT*
Exemple
La fonction Γd’Euler est définie par Γ(x) = Z+∞
0
e−ttx−1.
ÊMontrer que Γest définie sur ]0, +∞[.
t7→ e−ttx−1est continue sur ]0, +∞[. Problèmes en 0 et en +∞.
En +∞, e−ttx−1=o1
t2. En 0, e−ttx−1∼tx−1intégrable ssi 1 −x<1i.e. x >0.
Donc Γest définie sur ]0, +∞[.
ËMontrer que Γest continue sur ]0, +∞[.
Utilisation du théorème de continuité sous le signe R:
x7→ e−ttx−1est continue sur R∗
+.t7→ e−ttx−1est continue et intégrable sur R∗ +.
Impossible d’avoir une domination dur Itout entier :
Si t<1 et x−1>−1 alors (x−1)ln t<−ln tdonc tx−1<t−1et |e−ttx−1|<e−t
t
Cette dernière majoration est optimale mais cette quantité n’est pas intégrable.
Dominons fsur [a,b]où (a,b)∈R∗
+avec a<b.
Si x∈[a,b]alors a−1¶x−1¶b−1. Ainsi, tx−1¶¨ta−1si t¶1
tb−1si t¾1.
Posons alors ϕ(t) = ¨e−tta−1si t<1
e−ttb−1si t¾1.ϕest bien intégrable sur R∗
+.
Donc Γest continue sur ]0, +∞[.
3 – Cas particulier d’une intégrale sur un segment
Lorsque que l’intervalle d’intégration est un segment, sous hypothèse de continuité de f , la fonction g est
automatiquement continue.
Admettons là encore un résultat du prochain chapitre : si f :( x,t ) 7→ f ( x,t )est continue sur [ c,d ] × [ a,b ]
(fermé borné de R2) alors fest bornée, i.e. :
∃M¾0∀(x,t)∈[c,d]×[a,b]|f(x,t)|¶M
Théorème 12.3
Soit f:(x,t)7→ f(x,t)continue sur I×[a,b]avec Iintervalle quelconque.
Alors g:x7→ Zb
a
f(x,t)dtest définie et continue sur I.
Ce théorème doit être redémontré avant chaque utilisation.
Démonstration
•fcontinue sur I×[a,b]donc continue par rapport à tet par rapport à x.
•t7→ f(x,t)est continue sur le segment [a,b]donc intégrable.
• L’hypothèse de domination est vérifiée au moins sur tout segment [c,d]⊂I:
∀(x,t)∈[c,d]×[a,b]|f(x,t)|¶Mc,d=ϕ[c,d]
Exercice 3
ÊMontrer que x7→ Z1
0
cos(x t)
1+t2dtest continue sur R.
ËEn déduire lim
n→+∞unavec un=Z1/n
0
ncos t
1+n2t2dt.
–3–

CHAPITRE 12. INTÉGRALES À PARAMÈTRES
III – Dérivabilité sous le signe R
Théorème 12.4 : Dérivabilité sous le signe R
Soient Iet Jdeux intervalles de Ret fune fonction réelle ou complexe définie sur I×Jtelle que :
• Pour tout t∈J,x7→ f(x,t)est de classe C1sur I.
• Pour tout x∈I,t7→ f(x,t)est intégrable et t7→ ∂f
∂x(x,t)est continue sur J.
• Il existe ϕ:J→R+continue et intégrable sur Jtelle que :
∀(x,t)∈I×J,
∂f
∂x(x,t)
¶ϕ(t)
Alors g:x7→ ZJ f(x,t)dtest de classe C1sur Iet
∀x∈I g0(x) = ZJ
∂f
∂x(x,t)dt
• L’hypothèse de domination porte sur ∂f
∂xet non pas f.
• C’est encore un théorème d’interversion de limites.
• On peut se contenter d’une domination sur tout segment inclus dans I.
Exemple
Soit g:x7→ Z+∞
0
e−tsin(x t)dt.gest définie et continue sur R.
Montrer que gest dérivable sur Ret calculer g0.
On peut appliquer le théorème précédent car
∂f
∂x
est continue par rapport à chacune de ses variables,
l’intégrabilité de t7→ f(x,t)a déjà été justifié et enfin,
∀(x,t)∈R×R+
∂f
∂x(x,t)
¶te−t
donc l’hypothèse de domination est vérifiée.
gest donc dérivable sur Ret g0(x) = Z+∞
0
te−tcos(x t)dt.
Comme dans le paragraphe précédent, si J est un segment, l’hypothèse de domination est automatiquement
vérifiée car ∂f
∂xest continue sur [c,d]×[a,b]donc bornée.
Exercice 4
Montrer que g:x7→ Z+∞
0
e−tsin(x t)dtest de classe C∞sur R.
Exemple
Retour à la fonction Γdéfinie par Γ(x) = Z+∞
0
e−ttx−1dt.DΓ=R∗
+
ÊMontrer que Γest dérivable sur R∗
+et calculer Γ0.
∀(x,t)∈(R∗
+)2∂f
∂x(x,t) = ln te−ttx−1et même ∂kf
∂xk(x,t) = lnkte−ttx−1.
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Mickaël PROST Lycée Chaptal – PT*
•x7→ ∂f
∂x(x,t)est continue sur R∗
+.
•t7→ f(x,t)est continue et intégrable sur R∗
+(déjà vu) et c’est le cas pour t7→ ln te−ttx−1.
En effet, en +∞,∂f
∂x(x,t) = o1 t2et en 0, ∂f ∂x(x,t)∼ln t t1−x(intégrale de Bertrand)
• Hypothèse de domination : Soit ϕ(t) = ¨ln te−tta−1si t<1
ln te−ttb−1si t¾1.
∀(x,t)∈[a,b]×R∗
+,
∂f
∂x(x,t)
¶ϕ(t)avec ϕintégrable sur R∗
+. (intégrale de Bertrand)
Donc Γest dérivable sur R∗
+et Γ0(x) = Z+∞
0
ln te−ttx−1dt.
ËGénéralisation : Γest de classe C∞sur R∗
+en utilisant le même principe de domination.
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