Intégrales à paramètre.

MP 16-17 site : www.mp.bginette.com
Colles de mathématiques n
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16
Semaine du 23-01 au 28-01
On posera une question de cours sur les limites d’intégrales (fin) et sur les familles
sommables (début) et un exercice sur les espaces préhilbertiens réels.
LIMITES D’INTEGRALES (fin)
1. Continuité d’une intégrale à paramètre
Soit Aune partie d’un espace normé de dimension finie, Iun intervalle de IR ,fune fonction définie
sur A×Ià valeurs dans IK. On suppose que fest continue par rapport à la première variable,
continue par morceaux par rapport à la seconde variable. On suppose de plus qu’il existe une fonction
ϕpositive intégrable sur Itelle que, pour tout xde A,|f(x, .)|ϕ. Alors
g:x→ 
I
f(x, t)t
est définie et continue sur A.
Extension au cas où l’hypothèse de domination est satisfaite au voisinage d’un point ade A.
Si Aest un intervalle de IR , extension au cas où l’hypothèse de domination est satisfaite sur tout
segment de A.
2. Dérivation d’une intégrale à paramètre
Soit Iet Jdeux intervalles de IR,fune fonction définie sur J×Ià valeurs dans IK . On suppose
que fest continue par morceaux par rapport à la seconde variable, que, pour tout xde J,t→ f(x, t)
est intégrable sur I, que ∂f
∂x est définie sur J×I, continue par rapport à la première variable,
continue par morceaux par rapport à la seconde variable. On suppose de plus qu’il existe une fonction
ϕpositive intégrable sur Itelle que, pour tout xde J,|∂f
∂x (x, .)|ϕ. Alors
g:x→ 
I
f(x, t)t
est de classe C
1
sur Jet vérifie :
∀x∈J, g
′
(x) = 
I
∂f
∂x(x, t)dt
Extension au cas où l’hypothèse de domination est satisfaite sur tout segment de J.
Classe C
k
d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse d’intégrabilité de ∂
j
f
∂x
j
(x, .)pour tout xde J
si 0jk−1et domination sur tout segment de ∂
k
f
∂x
k
(x, .).
Exemple de la fonction Γd’Euler : étude de ses principales propriétés.
Le théorème de Fubini de calcul d’intégrale double de fonction continue sur un pavé fermé a été vu en
classe : sa démonstration ne fait pas l’objet d’une question de cours, mais ce résultat pourra être utilisé
ultérieurement dans la résolution d’exercices.
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FAMILLES SOMMABLES (début)
1. Familles sommables
Famille sommable de réels positifs indexée par un ensemble dénombrable.
Somme : caractérisation ’’en terme de ε’’.
Théorème de sommation par paquets : si (I
n
)
n∈IN
est une partition de Iet (u
i
)
i∈I
une famille de réels
positifs, alors la famille (u
i
)
i∈I
est sommable si et seulement si :
•Pour tout entier nla famille (u
i
)
i∈I
n
est sommable.
•La série 
i∈I
n
u
i
converge. Dans ce cas : 
i∈I
u
i
=
+∞
n=0
i∈I
n
u
i
.
Famille sommable de nombres complexes indexée par un ensemble dénombrable. La famille (u
i
)
i∈I
est sommable si la famille (|u
i
|)
i∈I
l’est.
Somme d’une telle famille.
Pour une famille de réels, on se ramène à ses parties positive et négative.
Lorsque I=IN, lien avec la convergence absolue de la série u
n
.
Invariance de la sommabilité et de la valeur de la somme par permutation de l’ensemble des indices.
Linéarité de la somme.
Théorème de sommation par paquets. Démonstration hors programme. On vérifie l’hypothèse de
sommabilité en appliquant le théorème de sommation par paquets à la famille (|u
i
|)
i∈I
.
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