livret ts gics

Table des matières
I Séances de Mathématiques 2
Énigmesdelogique.......................................... 3
Énigmesplusdifficiles ........................................ 4
LogiqueBooléenne .......................................... 5
Fonctions&PortesLogiques .................................... 6
Quantificateurs............................................ 7
RaisonnementparRécurrence.................................... 8
PartieEntière............................................. 9
Laconstanted’Euler......................................... 10
Équationsdifférentielles ....................................... 11
Équivalents & Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Groupes&EspacesVectoriels.................................... 13
Khôlles ................................................ 14
II Séances de Physique 15
Homogénéité&Pertinence...................................... 16
L’effetDoppler ............................................ 17
AmplificateurOpérationnel ..................................... 18
1

Première partie
Séances de Mathématiques
2

Énigmes de logique
Idée pour débuter ou terminer une séance
Énigmes
– On a 7billes de même masse sauf une plus lourde et une balance à plateaux, le but est de la trouver
en 2pesées maximum. Faire de même avec 9billes. (L’idée est de penser à laisser des billes sur le coté)
– On a 9perles de même masse sauf une (mais on ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère), le
but est de la trouver en 3pesées maximum. Faire de même avec 13 perles. (Il faudra commencer par
s’intéresser au cas d’égalité pour savoir combien de perles au maximum on peut laisser sur le coté)
– Dix sacs de 100 pièces d’or sont alignés devant vous mais il y a un sac de fausses pièces. Une vraie
pièce pèse 10 grammes et une fausse 11 grammes. On dispose d’une balance numérique, qui donne
donc un poids exact en grammes. Déterminer le sac de fausses pièces en une seule pesée. (Il suffit de
prendre 1pièce dans le sac n˚1,2pièces dans le sac n˚2,. . .,10 pièces dans le sac n˚10)
– Trois personnes sont en file indienne et une dernière est mise à l’écart et ne voit personne. Chacune
de ces personnes a un chapeau tiré au sort parmi deux chapeaux noirs et deux blancs. Le but est de
trouver la couleur d’au moins un chapeau, que va-t-il se passer ? (Il faut s’intéresser uniquement à la
2ème et la 3ème personnes, les autres ne peuvent rien trouver car ne voient aucun chapeau)
– On montre 7rubans (2rouges, 2jaunes et 3verts) à trois personnes puis on leur bande les yeux. On
fixe à chaque personne un ruban sur son chapeau, cache les autres et les débarrasse de leurs bandeau.
A la question : "Pouvez vous être sûr d’une couleur qui ne soit pas celle de votre ruban ?", la 1ère
personne répond non puis la 2ème fait de même. Que peut-on en déduire ? (Le 3ème ruban est vert)
–100 prisonniers sont en file indienne et portent sur la tête un chapeau soit blanc, soit noir. Chaque
prisonnier trouvant sa couleur est libéré. Sachant qu’ils ont eu le droit de se concerter avant de mettre
leurs chapeaux, trouver une stratégie pour en sauver un maximum. (On en sauve 99,5si le premier
annonce blanc/noir en fonction de la parité du nombre de rubans blancs qu’il voit)
– Quatre musiciens veulent traverser un pont de nuit mais ils n’ont qu’une lampe et le pont ne peut
supporter que deux personnes à la fois. Sachant qu’ils mettent respectivement 1,2,5et 10 minutes
pour le traverser, quel est le temps minimum nécessaire pour traverser ce pont ? (17 minutes en faisant :
1&2 traversent / 1revient / 5&10 traversent / 2revient / 1&2 traversent)
– Un chameau doit transporter 3000 pommes entre Le Caire et Damas, villes séparées de 1000 km. Il
ne peut transporter que 1000 pommes à la fois mais a la possibilité de s’arrêter en chemin pour en
déposer. Sachant qu’il mange 1pomme/km, combien y en aura-t-il à l’arrivée ? (Tant qu’il a plus de
2000 pommes, il doit faire 3allers et 2retours, ce qui revient à consommer 5pommes/km ; il apporte
2000 pommes à 200km de son départ. Ensuite sa consommation baisse à 3pommes/km ; il apportera
1001 pommes à 533 km de son départ. Il laisse 1pomme et finit avec le reste, ce qui sauve 533 pommes)
– Un berger possède un chou, une chèvre et un loup. Il souhaite traverser une rivière à l’aide d’une barque
ne pouvant contenir que deux êtres vivants. Sachant qu’il ne peut laisser le chou avec la chèvre ou la
chèvre avec le loup sans surveillance, trouver un moyen pour passer. (Voici un exemple de solution :
Berger&Chèvre / Berger / Berger&Loup / Berger&Chèvre / Berger&Chou / Berger / Berger&Chèvre)
– Le calife de Bagdad convoque un jour tous les hommes mariés de sa cité et leur dit : « Je veux que
chacun tue sa femme à minuit s’il sait qu’elle le trompe et il y a au moins une femme infidèle ». Chaque
mari sait uniquement si les autres femmes sont infidèles. Sachant que le treizième jour à minuit, tous
les maris cocus exécutèrent leurs femmes, combien y en avait-il ? (Tester avec 1jour, 2jours, . . .)
– On surprend une discussion entre un professeur de maths et son facteur : « Trouvez l’âge de mes trois
filles si la somme des âges est égal au numéro de la maison d’en face et le produit vaut 36. », « Il me
manque une information pour pouvoir répondre. », « Mon aînée est blonde. ». Et le facteur lui donne
l’âge de ses filles. Pas bête le facteur ! Au fait, qu’elle est l’âge de ses filles ? (9ans, 2ans et 2ans)
– Un homme croise deux bergers qui s’apprêtent à manger. Il leur demande s’il peut partager leur repas.
Les bergers acceptent. Le premier berger a 7fromages, et le deuxième en a 5. Ils s’installent tous les
trois et mangent chacun 4fromages. Pour les dédommager, le promeneur leur donne 12 francs. Le
premier prend 7francs et le deuxième prend 5francs. Le partage est-il équitable ? (Non)
3

Énigmes plus difficiles
Pour combler une demi-séance, si les élèves n’arrivent pas à travailler ou avaient plein de questions
L’île aux questions
Quelque part au-delà des mers, se dresse une île étrange appelée l’Île aux Questions. Son nom vient de la
façon originale dont s’expriment les indigènes qui, pour toutes paroles, se contentent de poser des questions
auxquelles il faut répondre par oui ou par non. Les habitants se répartissent en deux types : les Positifs, qui
ne peuvent poser que des questions dont la réponse est oui, et les Négatifs, pour lesquels il s’agit de l’inverse.
Selon les questions, dites s’il s’agit d’un Positif ou d’un Négatif :
– Est-ce que deux et deux font quatre ? (P) Est-ce que 7 ×8 = 66 ? (N)
– Suis-je un Négatif ? (Personne) Suis-je un Positif ? (On ne peut pas savoir)
– Suis-je de ceux qui peuvent demander s’ils sont des Négatifs ? (N)
– Suis-je parmi ceux qui peuvent poser la question que je vous pose ? (P)
J’ai appris l’existence d’un sorcier, Est ce possible sur cette île où l’on ne pose que des questions ?
À partir de ces questions, peut-on déterminer le sorcier ?
– Albert Le blond : Suis-je le sorcier ?
– Bernard Le brun : Puis je demander si je suis une autre personne que le sorcier ?
– Charles Le bon : Puis je demander si le sorcier peut demander si c’est moi le sorcier ?
– Daniel Le fort : Est-ce que le sorcier est un Négatif ?
– Étienne Le doux : Le sorcier et moi sommes nous du même type ?
Solution : Oui avec la question : Puis je demander s’il y a un sorcier sur cette île ?
– A : On ne peut rien savoir.
– B : On en déduit que B n’est pas le sorcier.
– C : On en déduit que le sorcier a le droit de demander si C est le sorcier.
– D : On en déduit que D n’est pas le sorcier.
– E : On en déduit que le sorcier est un Positif, donc c’est C.
L’énigme d’Einstein
Les faits :
– Il y a cinq maisons de 5 couleurs différentes.
– Dans chaque maison vit une personne de nationalité différente.
– Chacun des proprios boit un type de boisson, fume un type de cigares et garde un animal domestique.
La question : Qui a le poisson ?
Quelques indices : (Il faudra faire un gros tableau)
– L’Anglais vit dans une maison rouge.
– Le Suédois a des chiens comme animaux domestiques.
– Le Danois boit du thé.
– La maison verte est à gauche de la maison blanche.
– Le propriétaire de la maison verte boit du café.
– La personne qui fume des Pall Mall a des oiseaux.
– Le propriétaire de la maison jaune fume des Dunhill.
– La personne qui vit dans la maison du centre boit du lait.
– Le Norvégien habite la première maison.
– L’homme qui fume les Blend vit à côté de celui qui a des chats.
– L’homme qui a un cheval est le voisin de celui qui fume des Dunhill.
– Le propriétaire qui fume des Blue Master boit de la bière.
– L’Allemand fume des Prince.
– Le Norvégien vit juste à côté de la maison bleue.
– L’homme qui fume des Blend a un voisin qui boit de l’eau.
4

Logique Booléenne
Aucun prérequis, assez simple
Historique
Le mot logique est d’origine grecque, il vient de "logos" qui signifie la parole. En effet, à l’époque la
logique est perçu comme l’art de parler, de construire des raisonnements. La logique comme une science a
été érigée par Aristote (384–322 av J.C.). Dans Les Analytiques, Aristote étudie une vingtaine de schémas
de raisonnements appels syllogismes. Socrate les rendis plus populaires et, après Socrate, les syllogismes et
leurs transformations sont devenus la base du raisonnement déductif. Voici deux exemples :
– Socrate est un homme ; tous les hommes sont mortels ; Socrate est mortel (Vrai / Implication)
– Les chats ont 4 pattes ; les chiens ont 4 pattes ; les chiens sont des chats (Faux / Rhinocéros de Ionesco)
À partir de ces syllogismes sont apparus certains schémas de raisonnement récurrents :
–Proposition / Assertion : phrase qui représente une affirmation, une hypothèse, ...
Une proposition peut être soit vraie, soit fausse, on peut donc définir son contraire.
–Axiome : proposition évidente par elle-même et qui n’est pas démontrable (BASE).
–Théorème : proposition vraie qui peut être démontrée (À PARTIR DE LA BASE).
–Méthode directe : P ⇒Q est vraie si Q est vraie lorsque P est vraie.
Exemple : On montrera que npair ⇒n2pair, car si n= 2k,n2= 2 ×(2k2).
–Méthode par contraposée : P ⇒Q se montre en démontrant (non Q) ⇒(non P).
Exemple : On montrera que n2pair ⇒npair, ce qui revient à nimpair ⇒n2impair.
–Disjonction des cas : Analyse de tous les cas possibles pour une assertion donnée.
Il faut attendre le XIXesiècle pour apercevoir une logique mathématique indépendante de la philosophie.
Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles : la volonté chez Frege, Russel,
Peano et Hilbert de donner une fondation axiomatique aux mathématiques et la découverte par Boole de
structure algébriques permettant de définir un "calcul de vérité". Le XXesiècle fut une nouvelle ère pour les
mathématiques durant laquelle on a passé son temps à découvrir des propriétés indécidables (hypothèse du
continu) et à démontrer la cohérence des nombreux axiomes mis en place.
Algèbre de Boole
Il existe deux types de logique : logique de proposition & logique des prédicats. La logique Booléenne
est un exemple de logique des propositions travaillant dans {0, 1} (0 = faux / 1 = vrai).
– Loi ET : aET b= 1 ⇔a= 1 et b= 1. On la note plus couramment « .».
– Loi OU : aOU b= 1 ⇔a= 1 ou b= 1. On la note plus couramment « +».
– Transformation contraire : NON a= 1 ⇔a= 0. On la note plus couramment a.
Exercices
Réaliser un tableau de vérité pour les deux lois et la transformation.
A l’aide d’un tableau de vérité, démontrer le théorème de Morgan a+b=a.b.
On introduit une nouvelle loi, le OU EXCLUSIF. Déterminer son tableau de vérité puis son expression.
Pour aller plus loin
L’algèbre de Boole vérifie certaines propriétés :
–Associativité :(a+b) + c=a+ (b+c) = a+b+cet (a.b).c =a.(b.c) = a.b.c
–Distributivité :a.(b+c) = a.b +a.c et a+ (b.c)=(a+b).(a+c)
–Commutativité :a+b=b+aet a.b =b.a
–Éléments neutre et nul :a+ 0 = a=a.1et 0.a = 0 et 1 + a= 1
–Idempotence :a+a=a=a.a
–Absorption :a+a.b =aet a.(a+b) = a
–Simplification :a+a.b =a+bet a.(a+b=a.b
–Complémentarité :a=aet a+a= 1 et a.a = 0
5