EC Étude des circuits linéaires en régime continu 1+ PCSI

EC1+ Étude descircuits linéaires enrégime continu
PCSI22016 – 2017
Objet du chapitre : donner des outils pourdéterminer l’état électrique d’un circuit :
•potentiels des différents nœuds par rapport à unnœud choisi comme référence (masse),
•intensités dans les différentes branches.
Cadre du chapitre : on étudiera ici des circuits linéaires (ne contenant que des composants linéaires)
etenrégimecontinumaiscertains résultatsserontgénéralisésaurégimesinusoïdalforcédanslecadre
de l’ARQSCf.EC4.
Exemple : on veutdéterminer Idans RouUà ses bornesdans le circuit suivant.
R
D
R1
E1
C
I
R4
B
R5
E2
R2
A
E3R3
U
I Lois de Kirchhoff et loi des nœuds en terme de potentiels
Les lois de Kirchhoff sont valables dans le cadre de l’ARQSdonc en régime continu.
1. Lois de Kirchhoff
Méthode
1. Surchaquebrancheducircuit,onchoisitarbitrairementunsenspositifdemesureducourant,(le
plusprobable).
2. Onécritalors directementsurle circuitlaloidesnœudsen chaquenœud(onintroduitainsi les
inconnuesIk).
3. Onorientearbitrairementpuisonécritlaloidesmaillesdansautantdemaillesqu’illefautpour
obtenir autant d’équations que d’inconnues (lois des mailles en termede courants).
Remarque : si on trouve un courant négatif dans une branche, le courant circule en réalité en sens
contraire.
Exemple : reprenons le circuit présenté plushaut :
• Lois des nœuds : onlimite au maximum le nombre d’inconnues(les courants ici).
1

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R
D
R1
E1
C
I
R4
B
R5
E2
R2
A
E3R3
I1 I2
I1− I
I2+I1− I
I1− I
③ ①②
On a introduit 3inconnues, il faudra donc écrire trois lois des mailles.
• Lois des mailles avec 3mailles indépendantes :
①E1− R1I1− RI =0
②E2− R2I2− R5(I2+I1− I)=0
③−R3(I1− I)+E3− R5(I2+I1− I)− R4(I1− I)+R I =0
b
Système de 3 équations à 3 inconnues dont on déduit Ipuis U=RI.
Avantages et inconvénients
• Mise enéquation aisé (systématique) →utilisation de l’informatique.
• Donne lavaleur de toutes les intensités, même celles dont onn’a pas besoin.
• Calculs lourds (longs et risques d’erreurs).
2. Loi des nœuds en terme de potentiels : LNTP
Principe : au lieu de faire apparaître les intensités dans les équations, on travaille sur les
potentiels. Ceci réduit en général le nombre d’équations.
Le potentiel des nœud est déterminé par rapport à ceci d’un nœud de référence du circuit (la masse si
elle est présente surle dessin, sinon prendre un point comme masse).
Méthode : on exprime le courant Ikdans chaque branche ken fonction de la différence de potentiel
entre deux nœuds,des résistances, des fem et cem.
Exemple : toujours avec le mêmecircuit, choisissons le nœud Ccomme référence : onposeVC=0.
R
D
R1
E1
CI
R4
B
R5
E2
R2
A
E3R3
I1 I2
I3
I4
I5
VD
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Reste à déterminer VA,VBet VDpuisU=UDC =VD− VC=VD
On écrit leslois des nœuds puis onexprime les intensités en terme depotentiels.
• Loi des nœuds en A : I2+I3− I5= 0 avec VB− VA=−E2+R2I2,VD− VA=R3I3− E3et
VB− VA=−R5I5d’où VB− VA+E2
R2+VD− VA+E3 R3+VB− VA R5=0
• Loi des nœuds en B : I5− I2− I4=0 soit
VA− VB
R5+VA− VB− E2 R2+0− VB R4=0
On aura toujours une forme dutype :
Iversle nœud =Vbout de la branche − Vnœud ± Esur la branche
Rbranche
• Loi des nœudsen C: I+I4− I1=0soit
VD−0
R+VB−0 R4+VD−0− E1 R1=0
Système de trois équations à trois inconnues avec U=VDpuisI=VD
R.
b
Généralisation à chaque nœud, on aura une relation du type
X
nbranches
Vbout de la branche − Vnœud ± Esur labranche
Rbranche =0
Cas particuliers :
• S’il y a seulement un générateur de tension entre deux nœuds, la différence de potentiels est
connue.
N
I1(1) η1
R2
(2)
η2
I2
R3
E3
(3) I3
E4
R4
(4)
I4
SiparexempleR2=0danslecircuitprécédent,l’équation
devient VA− VB=UAB =E2.
• Demêmesilabranchecontientungénérateurdecourant,
le courant est connu.
Exemple : loi des Noeuds enNI1+I2+I3+I4=0 avec
I1=η1I2=−η2+V2− VN
R2
I3=V3− VN+E3
R3etI4=V4− VN− E4 R4
⇒ η1− η2+V2− VN
R2+V3− VN+E3 R3+V4− VN− E4 R4=0
b
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II Quelques outils pour éviter les calculs
1. Simplification du circuit
Attention : C’est la première chose à faire ! !
Avant tout calcul, il faut essayer de simplifier le circuit en se servant des transformations “modèle de
Thévenin”⇔“modèledeNorton”etdes formulesd’associationde dipôlesmaisen laissantapparentela
grandeurà calculer.
Exemple : dans notre circuit, où on essaye de calculer IouU.
R
D
R1
E1
C
I
R4
B
R5
E2
R2
A
E3R3①
R
D
R1
E1
C
I
R4
B
R5
η2=E2
R2R2
A
E3R3②
R
D
R1
E1
C
I
R4
B
E6=R6I2
R6=R2R5
R2+R5
A
E3R3③
R
D
R1
E1
C
I
E0=E6− E3
R0=R3+R4+R6
④
b
R
D
R1
C
I
R0
η0=E0
R0η1=E1 R1
⑤
R
D
C
I
RTh =R0R1
R0+R1
ηN=η0+η0
⑥
R
D
C
I
ETh
RTh
⑦
On se ramène ainsi à uncircuit à une maille et on peutmaintenant utiliser une loi des mailles :
ETh − RThI − RI =0⇒ I =ETh
R+RTh
ou directement la loide Pouillet.
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2. Loi de Pouillet
Applicable à un circuit à une maille qui ne contient que des générateurs de tension et des résistors.
Exemple : calculons la valeur de l’intensité Iqui circule dans le circuit ci-dessous avec E1= 5 V;
E2=4V;E3=0.7V; r1=r2=2.5Ω;r3=5Ω enfaisantl’hypothèsequeIcirculedanslesensanti
trigonométrique :
R
(E3, r3)
R′
(E2, r2)
(E1, r1)
I
Rr3
E3
R′
r2
E2
r1
E1
I
RT ET
I
I=ET
RTavec ET=E1− E2− E3et RT=R+R′+r1+r2+r3
Application numérique : I=5−4−0.7
10+10+2.5+2.5+5 =0.3 30 =10mA
Généralisation : dans un circuit à une maille, la loi de Pouillet implique
I=PjεjEj
PjRjavec εj=+1 si la f.e.m. Ekest orientée dans le même sens que I
εj=−1sinon
Remarques :
• si on avait choisi Idans l’autre sens, on aurait obtenu −10mA.
• Mesure expérimentale de l’intensité du courant dans uncircuit, défaut de l’ampèremètre
I
RE
Imesuré
RE
Imesuré RA
RE
Sionplaceunampèremètreréeldanslecircuit,commeiln’estpasidéalilcomporteunerésistance
d’entréeRAet cela perturbe la mesure.
En effet, Imesuré =E
R+RA6=I=E Rsauf si RAnulle(ampèremètre idéal).
3. Ponts diviseurs
3.a. Pont diviseur de tension
Définition : on a un pont diviseur de tension si l’intensité du courant est la même dans les
différents résistors (association série).
i i1
R1
u1i2
R2
u2ik
Rk
ukin
Rn
un
u
uk=Rkik=Rkietu=Pkuk=iPkRkd’où uk=Rk
Pn
k=1Rk
u
Exemples :
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