EC Étude des circuits linéaires en régime continu 1+ PCSI
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EC1+ Étude des circuits linéaires en régime continu PCSI2 2016 – 2017 Objet du chapitre : donner des outils pour déterminer l’état électrique d’un circuit : • potentiels des différents nœuds par rapport à un nœud choisi comme référence (masse), • intensités dans les différentes branches. Cadre du chapitre : on étudiera ici des circuits linéaires (ne contenant que des composants linéaires) et en régime continu mais certains résultats seront généralisés au régime sinusoïdal forcé dans le cadre de l’ARQS Cf. EC4. ø ÿ , ÿ û û -ÿ ù - û ÿ Exemple : on veut déterminer I dans R ou U à ses bornes dans le circuit suivant. E3 A R2 E2 R3 R5 D R U I R4 B R1 E1 C I Lois de Kirchhoff et loi des nœuds en terme de potentiels Les lois de Kirchhoff sont valables dans le cadre de l’ARQS donc en régime continu. 1. Lois de Kirchhoff Méthode 1. Sur chaque branche du circuit, on choisit arbitrairement un sens positif de mesure du courant, (le plus probable). 2. On écrit alors directement sur le circuit la loi des nœuds en chaque nœud (on introduit ainsi les inconnues Ik ). 3. On oriente arbitrairement puis on écrit la loi des mailles dans autant de mailles qu’il le faut pour obtenir autant d’équations que d’inconnues (lois des mailles en terme de courants). Remarque : si on trouve un courant négatif dans une branche, le courant circule en réalité en sens contraire. Exemple : reprenons le circuit présenté plus haut : • Lois des nœuds : on limite au maximum le nombre d’inconnues (les courants ici). 1 Circuits linéaires en régime continu EC1+ E ø − I , R D ÿ I ÿø A I + I − I ù R R ② ③ ① û I R R û I û E E û - - I − I R ù I ú ÿ ÿ 3 1 2 2 2 2 3 1 5 1 4 1 B 1 1 C On a introduit 3 inconnues, il faudra donc écrire trois lois des mailles. • Lois des mailles avec 3 mailles indépendantes : ① E1 − R1 I1 − R I = 0 ② E2 − R2 I2 − R5 (I2 + I1 − I) = 0 ③ −R3 (I1 − I) + E3 − R5 (I2 + I1 − I) − R4 (I1 − I) + R I = 0 b Système de 3 équations à 3 inconnues dont on déduit I puis U = R I. Avantages et inconvénients • Mise en équation aisé (systématique) → utilisation de l’informatique. • Donne la valeur de toutes les intensités, même celles dont on n’a pas besoin. • Calculs lourds (longs et risques d’erreurs). 2. Loi des nœuds en terme de potentiels : LNTP Principe : au lieu de faire apparaître les intensités dans les équations, on travaille sur les potentiels. Ceci réduit en général le nombre d’équations. Le potentiel des nœud est déterminé par rapport à ceci d’un nœud de référence du circuit (la masse si elle est présente sur le dessin, sinon prendre un point comme masse). Méthode : on exprime le courant Ik dans chaque branche k en fonction de la différence de potentiel entre deux nœuds, des résistances, des fem et cem. ùÿ øø, ÿ û û û û - ù - û ÿú ÿ Exemple : toujours avec le même circuit, choisissons le nœud C comme référence : on pose VC = 0. A I3 R2 E2 R3 D I5 I2 R5 B PCSI2 2016 – 2017 E3 I4 VD R R4 C I R1 I1 E1 Page 2/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ Reste à déterminer VA , VB et VD puis U = UDC = VD − VC = VD On écrit les lois des nœuds puis on exprime les intensités en terme de potentiels. • Loi des nœuds en A : I2 + I3 − I5 = 0 avec VB − VA = −E2 + R2 I2 , VD − VA = R3 I3 − E3 et VB − VA = −R5 I5 d’où VB − VA + E2 VD − VA + E3 VB − VA + + =0 R2 R3 R5 • Loi des nœuds en B : I5 − I2 − I4 = 0 soit VA − VB VA − VB − E2 0 − VB + + =0 R5 R2 R4 On aura toujours une forme du type : Ivers le nœud = Vbout de la branche − Vnœud ± Esur la branche Rbranche • Loi des nœuds en C : I + I4 − I1 = 0 soit VD − 0 VB − 0 VD − 0 − E1 + =0 + R R4 R1 b Système de trois équations à trois inconnues avec U = VD puis I = Généralisation à chaque nœud, on aura une relation du type X n branches VD . R Vbout de la branche − Vnœud ± Esur la branche =0 Rbranche Cas particuliers : ÿ û / ú ÿ , ú ù ÿû ø .ø ÿ -ù ÿ • S’il y a seulement un générateur de tension entre deux nœuds, la différence de potentiels est connue. (2) Si par exemple R2 = 0 dans le circuit précédent, l’équation devient VA − VB = UAB = E2 . • De même si la branche contient un générateur de courant, le courant est connu. Exemple : loi des Noeuds en N I1 + I2 + I3 + I4 = 0 avec I1 = η 1 V2 − VN(3) I2 = −η2 + R2 V3 − VN + E3 V4 − VN − E4 I3 = et I4 = R3 R4 b ⇒ η1 − η2 + PCSI2 2016 – 2017 η2 R2 E3 R3 V3 − VN + E3 V4 − VN − E4 V2 − VN + + =0 R2 R3 R4 I3 N I2 I1 I4 η1 (1) E4 R4 (4) Page 3/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ II Quelques outils pour éviter les calculs 1. Simplification du circuit C’est la première chose à faire ! ! Attention : Avant tout calcul, il faut essayer de simplifier le circuit en se servant des transformations “modèle de Thévenin” ⇔ “modèle de Norton” et des formules d’association de dipôles mais en laissant apparente la grandeur à calculer. ø ÿ , ÿ û - û ÿ ÿù ø , ÿ û û - ùÿ ÿ / û ù / û ÿ ø ÿ , ÿ / û ù - û ÿ ÿ ÿ û - - û ùÿ ÿ û / û ù - ù ÿ Exemple : dans notre circuit, où on essaye de calculer I ou U. E3 A R2 E2 R3 R5 E1 I R4 E3 R3 R2 R5 R2 +R5 B E0 R0 R0 R R1 η1 = E1 R1 R1 R E1 I C R0 = R3 + R4 + R6 ④ R1 R E0 = E6 − E3 C ⑤ R5 ② D D E1 D R2 R3 B R1 I R4 E2 R2 E3 A R4 ③ D R E6 = R6 I2 η0 = η2 = C A R6 = R1 R B b ① D E1 I C ⑥ ηN = η0 + η0 I C D RTh = R0 R1 R0 +R1 R D ⑦ ETh RTh R I I C C On se ramène ainsi à un circuit à une maille et on peut maintenant utiliser une loi des mailles : ou directement la loi de Pouillet. PCSI2 2016 – 2017 ETh − RTh I − R I = 0 ⇒ I = ETh R + RTh Page 4/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ 2. Loi de Pouillet Applicable à un circuit à une maille qui ne contient que des générateurs de tension et des résistors. Exemple : calculons la valeur de l’intensité I qui circule dans le circuit ci-dessous avec E1 = 5 V ; E2 = 4 V ; E3 = 0.7 V ; r1 = r2 = 2.5 Ω ; r3 = 5 Ω en faisant l’hypothèse que I circule dans le sens anti trigonométrique : ú I I R (E1 , r1 ) û -ú û ú , - E1 (E3 , r3 ) (E2 , r2 ) R R′ ET E3 ET I= avec ET = E1 − E2 − E3 et RT 5−4−0.7 Application numérique : I = 10+10+2.5+2.5+5 = 0.3 = 10 mA 30 I r3 E2 r1 r2 ú û - R′ RT RT = R + R ′ + r1 + r2 + r3 Généralisation : dans un circuit à une maille, la loi de Pouillet implique P εj = +1 si la f.e.m. Ek est orientée dans le même sens que I j εj Ej I= P avec εj = −1 sinon j Rj Remarques : • si on avait choisi I dans l’autre sens, on aurait obtenu −10 mA. • Mesure expérimentale de l’intensité du courant dans un circuit, défaut de l’ampèremètre ú û - I E ú û - Imesuré R E ú û - Imesuré A R E RA R Si on place un ampèremètre réel dans le circuit, comme il n’est pas idéal il comporte une résistance d’entrée RA et cela perturbe la mesure. E 6= I = RE sauf si RA nulle (ampèremètre idéal). En effet, Imesuré = R +R A 3. 3.a. Ponts diviseurs Pont diviseur de tension Définition : on a un pont diviseur de tension si l’intensité du courant est la même dans les différents résistors (association série). ø úÿúøúøxy zúøxy zúøÿ u i i1 uk = Rk ik = Rk i et u = Exemples : PCSI2 2016 – 2017 P k R1 i2 u1 uk = i P k R2 u2 Rk ik Rn in uk Rk Rk d’où uk = Pn k=1 Rk un u Page 5/12 EC1+ • Circuit à deux résistors : û ú ù û I2 U U R1 +R2 û ú ù R1 I1 I U = (R1 + R2 )I ⇒ I = Circuits linéaires en régime continu R2 I U2 U et U2 = R2 I d’où U2 = û ú ù úû û I ′′ I R U On a ′ R U R û ú û I équivaut à R ′ Req R1 R2 U et de même U1 = U R1 + R2 R1 + R2 On peut vérifier que U1 + U2 = U. R • Dans notre circuit, pour le dernier schéma, U = R +R ETh . Th ′′ • Circuit plus complexe : déterminer U en fonction de U et R I I U R ′′ R′ U U′ R U′ R U′ = mais U ′ 6= U car I ′ 6= I, toutefois, R +R 2 R +R R × 2R 2R 2R 2 U R′ U avec R ′ = = ⇒ U′ = U = U et enfin U ′′ = U′ = ′ R +R R + 2R 3 3(2R /3 + R ) 5 5 b U ′′ = û - ÿ û ÿ û - ÿ û ÿ û - ÿ û ÿ • Mesure expérimentale de la tension aux bornes d’un résistor, défaut du voltmètre R R E R R E U V R E Umesuré R RV Umesuré Si on place un voltmètre réel dans le circuit, comme il n’est pas idéal il comporte une résistance d’entrée RV et cela perturbe la mesure. RV T , Umesuré = Rt extéq.E 6= U = E2 sauf si RV tend vers l’infini (voltmètre En effet, en posant Réq = RR+R R +Réq V idéal). 3.b. Pont diviseur de courant Définition : on a un diviseur de courant si la tension est la même aux bornes des différents résistors (résistors en parallèle ). û ú ùx ù yyyyyzx ù yyyyyz ù x yyyyyyyyyyyz I I U PCSI2 2016 – 2017 I1 R1 I2 Ik R2 In Rk û ú ù Rn U I Req Page 6/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ Ik = = Gk U, et Geq U = I = U Rk ÿ ÿ / û ÿ ùÿ Exemples : P k Gk Gk Ik d’où Ik = Pn k=1 Gk ÿ ÿ / û ÿ ùÿ ù • reprenons notre circuit, sur l’avant dernière figure, I = D ηN RTh D R I C I ηN RTh R I′ G η GT h +G N = V IV C ÿ ÿ û/ ÿ ùÿ ù RT h η RT h +R N ηN D RTh R I′ RV IV C • Si on place un voltmètre pour mesurer U aux bornes de R , comme il n’est pas parfait, une intensité IV le traverse. On a alors I ′ = I − IV = G+GGTh +GV ηTh 6= I la présence du voltmètre perturbe le circuit, sauf si RV → ∞. Le voltmètre mesure Umesuré = R .I ′ 6= R I. III Conclusion : comment aborder un circuit électrique ? Généralement, la méthode à suivre est la suivante : 1. Simplifier le circuit : En utilisant les lois d’association des dipôles (Cf. EC1 ) et les équivalents Thévenin et Norton autant de fois que nécessaire. 2. Choix de la méthode : • Penser aux diviseurs de tension et de courant pour les cas simples. • Pour un circuit série, écrire la loi des mailles ou la loi de Pouillet. • Si le circuit comporte beaucoup de nœuds, préférer la loi des nœuds en terme de potentiels. 3. Utilisation de ces méthodes : Elles sont applicables à des réseaux linéaires en régime continu. IV 1. Sélection d’exercices d’application Énoncés Exercice 1 : Comparaison de deux tensions ; méthode d’opposition On considère le circuit représenté ci-dessous où x et R − x sont des résistances réglables et où E1 et E2 sont des sources de tension avec, par hypothèse : E1 > E2 . On cherche à mesurer E2 , connaissant E1 . PCSI2 2016 – 2017 Page 7/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ Exercice 2 : I ú 1. Calculer les courants I1 et I2 en appliquant les lois de Kirchhoff : on se contentera de donner le système d’équations qui permet de résoudre. 2. On règle alors x de façon à ce que I2 = 0 ; que vaut le rapport EE12 ? On utilisera la loi des nœuds en terme de potentiels. 3. Retrouver la réponse à la question 2. en utilisant la formule des ponts diviseurs de tension. 1 E1 û R −x A ÿ ø I 2 R û E x M ÿ 2 2 Mesure de la résistance de sortie d’un GBF On a représenté un générateur de tension réel par son équivalent Thévenin (E, r). On cherche à mesurer r, la résistance interne de ce générateur, sa force électromotrice étant E connue. K r 1. Dans un premier temps, on mesure U, la tension à ses bornes lorsque l’interrupteur K est ouvert. Quelle est, en fonction des données, la valeur de la tension U0 mesurée ? Le voltmètre est parfait. U E R 2. On ferme ensuite K . R est un résistor de résistance R variable. Quelle est, en fonction des données, la valeur de la tension U mesurée ? 3. Pour quelle valeur de R obtient-on U = U20 ? En déduire une méthode de mesure de r. Quelle est l’ordre de grandeur de la valeur mesurée sur les GBF utilisés en TP ? ÿ û û ÿ Exercice 3 : Application des théorèmes généraux Calculer l’intensité I du courant qui traverse R dans le circuit suivant, en utilisant successivement. 1. Les lois de Kirchhoff (on se contentera d’un système d’équations). 2. La loi des nœuds en terme de potentiels. 3. La simplification du circuit. Exercice 4 : E1 û R1 A ÿ ÿ η û I ù R / ÿ ÿ R2 û E - 2 B Pont de Wheatstone et application On considère le circuit suivant : R2 R4 A 1. Calculer de UAB par la méthode de votre choix. 2. À quelle condition sur les résistances, cette tension est-elle nulle ? 3. On prend maintenant R3 = R4 = R et les résistors R1 et R2 sont R1 R3 B en fait des jauges de contrainte fixées sur une barre métallique. Lorsque celle-ci se déforme, les résistances R1 et R2 varient suiE vant une loi du type R1 = R + x avec x ≪ R et R2 = R − x. Exprimer alors UAB , mesurée par un voltmètre, en fonction de R et x. Montrer que dans la mesure où x ≪ R , il y a proportionnalité entre la tension mesurée et x. Voyez-vous une application ? ÿ ÿ ÿ ø , Exercice 5 : ÿ Théorème de superposition On considère le circuit représenté ci-dessous dans lequel on cherche à déterminer le courant i1 qui traverse le résistor R1 . PCSI2 2016 – 2017 Page 8/12 EC1+ Circuits linéaires en régime continu 1. Par une méthode directe. 2. En calculant les courants imposés dans R1 par chaque générateur présent dans le circuit : • i′1 si générateur E seul : η = 0 ce qui revient à remplacer le générateur de courant par un interrupteur ouvert. • i′′1 si générateur η seul : E = 0 ce qui revient à remplacer le générateur de tension par un interrupteur fermé. puis en prenant i1 = i′1 + i′′1 . ÿ η ù / R R ÿ ÿ ÿ ú i E ø , R4 1 R3 2 1 Remarque : la deuxième méthode est généralisable à tout réseau linéaire comportant des résistors et des sources linéaires indépendantes (théorème de superposition). Exercice 6 : Mise en équation d’un problème ú ÿ , ÿ ú, ÿ û ø ÿ û - û -ÿ /ÿ Soit le circuit représenté ci-contre dans lequel on cherche à calculer l’intensité i du courant circulant dans le résistor R2 . R5 A Montrer que la loi des nœuds en termes de potentiels permet de résoudre le problème posé. E3 R3 E1 Influence de la résistance interne d’un voltmètre û E - R D R V û U ÿ ÿ R6 E2 η0 R2 R1 On réalise le montage représenté ci-contre où E est une alimentation stabilisée réglée à E = 5 V. Sur la figure de droite, le voltmètre est modélisé par sa résistance interne (on l’assimile à un résistor de résistance RV ). C i Attention, on ne demande pas de donner l’expression littérale de i mais seulement d’écrire les équations nécessaires à la résolution du problème. Exercice 7 : E4 B R4 û E - R ÿ R RV û U ÿ 1. Quelle serait la valeur de RV si le voltmètre était idéal, c’est à dire pour qu’il perturbe pas le circuit lors de la mesure (mêmes valeurs des intensités et tensions qu’il soit branché ou pas) ? 2. Quelle est alors la valeur de la tension affichée par le voltmètre U ? 3. Que se passe-t-il si le voltmètre n’est pas idéal ? Exprimer alors U en fonction de E, R et RV . 2. Corrigés Exercice 1 : 1. I1 = E1 R − Comparaison de deux tensions ; méthode d’opposition x R E1 −E2 R(R +x) x− 2x Exercice 2 : et I2 = E1 − Rx E2 x− R(R2 +x) x . 2. E2 E1 = Rx . 3. Idem : R − x et x traversés par la même intensité. Mesure de la résistance de sortie d’un GBF PCSI2 2016 – 2017 Page 9/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ 1. Premier temps : K est ouvert, I = 0 et une loi des mailles donne E − r × 0 − U = 0 ⇒ U = U0 = E. Le voltmètre indique donc la force électromotrice (ou tension à vide du générateur : aucun courant débité). E 2. Deuxième temps : K fermé, r et R sont traversés par le même courant et la formule des ponts diviseurs de tension donne directement U = RR+r E = RR+r U0 . K I ú ÿ û U R û ÿ - r 3. On obtient U = U20 ⇒ RR+r U0 = U20 ⇒ R = r. Pour mesurer r en TP, on mesure la fem du GBF à l’aide du voltmètre (idéal) qu’on branche directement à ses bornes (par exemple, E = U0 = 2, 0 V). On place ensuite un résistor R de résistance variable (boite à décade) à ses bornes comme indiqué sur la figure. Le voltmètre, placé aux bornes de R indique U0 ≤ U0 et on modifie R jusqu’à obtenir U = U20 (par exemple 1,0 V). On a alors r = R et il suffit U = RR +r de lire la valeur de la résistance de la boite à décade. L’ordre de grandeur est de 50 Ω. Exercice 3 : û ùÿ ûÿ û û - / - û ÿ ÿ Application des théorèmes généraux R A 1 1. Lois de Kirchhoff : on pose I1 l’intensité du courant débitée par le générateur de tension idéal E1 et on η I1 I I − I1 − η applique directement la loi des nœuds en C pour limiter le nombre d’inconnues : on lieu d’introduire E1 E2 R I2 l’intensité du courant débitée par E2 , on écrit R2 I2 = I − I1 − η sur cette branche. On a alors 2 B inconnues (I1 et I2 ) et il suffit décrire deux lois des mailles. Comme on ne connaît pas la tension aux bornes du générateur de tension η, il serait maladroit de prendre une maille passant par ce dipôle. On travaillera donc sur la maille de gauche (maille (1) passant par e1 , R1 et R ) et la maille (2) passant par E2 , R et R2 . En les orientant dans le E1 − R1 I1 − R I = 0 (1) : sens horaire pour (1) et trigonométrique pour (2), on écrit : E2 − R I − R2 (I − I1 − η) = 0 (2) système de deux équations à deux inconnues dont on peut extraire I. 2. On peut également utiliser la loi des nœuds en terme de potentiels. Pour cela, on commence par poser un nœud à la masse (on fixe ainsi l’origine des potentiels électriques). Prenons par exemple VB = 0. B = VRA .Tout le problème est ainsi de trouver l’expression de VA . On a alors I = URAB = VA −V R Pour cela, on applique la loi des nœuds en termes de potentiels en A : 0 − VA + E1 0 − VA 0 − VA + E2 + = 0 ⇒ VA = +η+ R1 R R2 E1 R1 1 R1 +η+ + 1 R + E2 R2 1 R2 ⇒I= û ÿù ÿû û ÿ ÿù ÿû û - / - û / / / ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 3. La première méthode à envisager doit être la simplification du circuit : R1 E1 A A E1 R1 η I R R2 B PCSI2 2016 – 2017 R 2 E1 + R 1 E2 + R 1 R 2 η R R1 + R1 R2 + R R2 E2 η I R1 R ↔ B R2 ηN E2 R2 û ÿ ù / ÿ I Réq ↔ R Page 10/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ Avec ηN = E1 R1 +η+ E1 R1 diviseurs de tension, I = Exercice 4 : 1 = Réq G η G+Géq N et Géq = G1 + G2 = = 1/R [ E1 1/R +1/R1 +1/R2 R1 1 R1 + +η+ 1 R2 E1 ]. R1 et par utilisation de la formule des ponts Pont de Wheatstone et application 1. On remarque que R2 et R4 sont en série, on a donc un pont diviseur de tension et UAD = R4 4 3 U = R4R+R E. De même, R1 et R3 en série et UBD = R1R+R E et on en déduit R4 +R2 C D 2 3 UAB = UAD + UDB = R3 R1 R4 − R2 R3 R4 E− E= R4 + R2 R1 + R3 (R2 + R4 )(R1 + R3 ) Remarque : on pouvait également utiliser la loi des nœuds en termes de potentiels en posant VD = 0 ⇒ VC = E puis en exprimant UAB = VA − VB . 2. En reprenant l’expression précédente, on voit pour que UAB = 0 il faut et il suffit que R1 R4 = R2 R3 . 3. On remplace R3 et R4 par R , R1 par R + x et R2 par R − x C dans l’expression de UAB . UAB = 2xR E 2xR E xE (R + x)R − (R − x)R E= ≃ = 2 2 2 [(R − x) + R ][(R + x) + R ] 4R − x 4R 2R E ø U ø R A ÿ R R R B ÿ ÿ ÿ D E ø , AD 2 4 1 3 On remarque en effet que si x ≪ R ⇒ 4R 2 − x 2 ≃ 4R 2 , UAB est proportionnel à x. Une application possible est le pèse personne électronique : la déformation des jauges de contraintes due au poids de la personne, modifie la tension UAB ce qui rend possible un affichage de la masse. Exercice 5 : Théorème de superposition 1. Méthode directe : comme il n’y a pas de simplifications possibles (R3 et R2 ne sont pas montés en parallèle, R1 et R2 ne sont pas en série ...) , on peut par exemple utiliser la loi des nœuds en termes de potentiels (Figure 1). ÿù ÿ ú /ÿ ÿ ø, R4 A R3 η C i1 R1 B E R2 Figure 1 D ÿù ÿ ú ÿ ÿ ø, R4 R3 0A i′1 R1 Figure 2 E R2 ÿù ÿ ú /ÿ úÿ ø R4 R3 η i′′1 R1 R2 0V i′′1 + η Figure 3 On pose le nœud D à la masse ce qui impose VD = 0 et UC D = VC − VD = VC = E. On détermine le potentiel du point B à l’aide de la loi des nœuds en terme de potentiels : On en déduit ensuite i1 = PCSI2 2016 – 2017 VC − V D 0 − VB R2 E + R1 R2 η +η+ = 0 ⇒ VB = R1 R2 R1 + R2 VC − VB E − VB E(R1 + R2 ) ER2 + R1 R2 η E − R2 η UC D = = = − = R1 R1 R1 R1 (R1 + R2 ) R1 (R1 + R2 ) R1 + R2 Page 11/12 Circuits linéaires en régime continu EC1+ 2. Par utilisation du théorème de superposition : • soit i′1 le courant qui parcourt R1 si on “éteint” le générateur de courant idéal (η = 0 A : E . Figure 2). R1 et R2 sont maintenant en série et i′1 = R1 +R 2 • soit i′′1 le courant qui parcourt R1 si on “éteint” le générateur de tension idéal (E = 0 V : Figure 3). En appliquant la loi des nœuds, on voit que R2 est traversé par i′′1 + η et 2η 0 = R1 i′′1 + R2 (i′′1 + η) ⇒ i′′1 = − R1R+R 2 On en déduit ensuite i1 = i′1 + i′′1 = Exercice 6 : E−R2 η R1 +R2 Mise en équation d’un problème ÿ ú, ÿ ú, ÿ û ø ÿ - û /û -ÿ ÿ L’énoncé demande d’utiliser la loi des nœuds en termes de potentiels. On commence par poser la masse, par exemple en D : on pose ainsi VD = 0 et il ne reste plus qu’à écrire une loi des nœuds en terme de potentiels en A, B et C , seuls nœuds dont le potentiel reste inconnu. 0−VA +E1 A + VB −VRA3 −E3 + VCR−V R1 4 3 +G3 VB +G5 VC VA = G1 E1 −GG31E+G 3 +G5 • en A : ⇒ • en ⇒ ⇒ =0 B : VA −VRB3 +E3 + 0−VRB2+E3 + η0 + VC −VRB4 −E4 4 E4 +G4 VC +η0 +G2 E2 VB = G3 E3 +G3 VA −G G3 +G4 +G2 VA −VC + VB −VRC4 +E4 R5 4 E4 +G4 VB VC = G5 VGA +G 5 +G4 +G6 • en C : + VD −VC R6 A =0 =0 R5 E3 R3 E4 B R4 C i E1 R1 η0 R2 R6 E2 D On aboutit donc à un système de trois équations à trois inconnues, on peut déterminer la valeur des trois 2 potentiels puis en déduire i = VBR−E . 2 Exercice 7 : Influence de la résistance interne d’un voltmètre 1. Il faut que RV → ∞, on a ainsi toujours la même intensité dans les deux résistors. 2. On a alors un R// R diviseur de tension et U = R +R E = E2 . 3. Une partie du courant passe dans le voltmètre et U = R +R E // R RV E avec R// = R +RV soit U = 2+ R . RV PCSI2 2016 – 2017 Page 12/12 EC1+ Circuits linéaires en régime continu Table des matières I Lois de Kirchhoff et loi des nœuds en terme de potentiels 1. Lois de Kirchhoff 2. Loi des nœuds en terme de potentiels : LNTP II Quelques outils pour éviter les calculs 1. Simplification du circuit 2. Loi de Pouillet 3. Ponts diviseurs 3.a. Pont diviseur de tension 3.b. Pont diviseur de courant III Conclusion : comment aborder un circuit électrique ? IV Sélection d’exercices d’application 1. Énoncés 2. Corrigés PCSI2 2016 – 2017 Lycée Victor Hugo de Besançon
