ELCINQ_02 Loi des noeuds en termes de potentiels en continu

G.P. Questions de cours électrocinétique
Loi des nœuds en termes de potentiels en continu:
Rappeler la loi des nœuds.
Comment peut-on l' « appliquer en termes de potentiels » à un circuit (cf. théorème de
Millman). Indiquer les cas possibles.
L'appliquer au circuit suivant afin de déterminer la tension V.
Proposer une autre méthode de résolution.
Réponse:
Loi des nœuds:
La somme des intensités arrivant à un nœud est nulle.
Application en termes de potentiels dans le cas général:
Il est plus facile de comptabiliser les nœuds que les mailles indépendantes dans un réseau
électrique. Ces nœuds sont repérés par leur potentiel par rapport à une référence de potentiel
arbitrairement nul appelée masse.
La loi s'écrit donc:
i1i2i=0
V1−V1
R1
V2−V1
R2
 0−V1
R=0
finalement, on obtient la loi « de type barycentrique »:
R1
R2
R4R3
I1E3
V' V
E2
N
R1
R
R2
V1V V2
i1i2
i

G.P. Questions de cours électrocinétique
V=
V1
1
R1
V2
1
R2
01
R
1
R1
1
R2
1
R
Il faut prévoir le cas où le courant dans une branche est imposé (par un générateur de courant par
exemple)
I1i2i=0
I1V2−V1
R2
0−V1
R=0
d'où
V
Il faut prévoir le cas où l'une des branches comporte un générateur de tension en plus d'une
résistance
il vaut mieux inverser résistance et générateur sur le schéma:
La loi des nœuds s'écrit:
N
R
R2
V V2
i2
i
I1
V1
R1
i1
V
N
R
R2
V2
i2
i
E1
E1
V1
R1
i1
V
N
R
R2
V2
i2
i
V1+ E1

G.P. Questions de cours électrocinétique
i1i2i=0
V1E1−V1
R1
V2−V1
R2
0−V1
R=0
d'où
V
Résolution du circuit proposé:
premier nœud:
I10−V ' 1
R1
V−E2−V ' 1
R2
=0
deuxième nœud:
V 'E2−V1
R2
0−V1
R4
 E3−V1
R3
=0
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues
V
et
V '
donnerait
V
.
Autre méthode de résolution:
On détermine le générateur de Thévenin équivalent aux générateurs 1 et 2 en série
On détermine le générateur équivalent aux deux générateurs de Thévenin à considérer comme en
parallèle pour
R4
.
on obtient pour le générateur de Norton par exemple:
1
Req
=1
R1R2
1
R3
R4R3
E3
V
R1I1+E2
R1+R2
R4
V
Req
Ieq

G.P. Questions de cours électrocinétique
Ieq=E2R1I1
R1R2
E3
R3
La tension demandée est donc puisque le courant passe dans deux résistances en parallèle:
V=R4Req
R4Req
Ieq
Réponse:
On trouve finalement:
V=R1I1E2G12E3G3
G12G3G4
en posant
G12=1
R1R2
,
G3=1
R3
,
G4=1
R4