ELCINQ_02 Loi des noeuds en termes de potentiels en continu

G.P.
Questions de cours électrocinétique
Loi des nœuds en termes de potentiels en continu:
Rappeler la loi des nœuds.
Comment peut-on l' « appliquer en termes de potentiels » à un circuit (cf. théorème de
Millman). Indiquer les cas possibles.
L'appliquer au circuit suivant afin de déterminer la tension V.
Proposer une autre méthode de résolution.
I1
R2
E2
V'
E3
V
R1
R4
R3
Réponse:
Loi des nœuds:
La somme des intensités arrivant à un nœud est nulle.
Application en termes de potentiels dans le cas général:
Il est plus facile de comptabiliser les nœuds que les mailles indépendantes dans un réseau
électrique. Ces nœuds sont repérés par leur potentiel par rapport à une référence de potentiel
arbitrairement nul appelée masse.
N
i1
R1
V1
R2
V
i2
i
V2
R
La loi s'écrit donc:
i 1i 2i=0
1
1
1
V 2−V   0−V  =0
R1
R2
R
finalement, on obtient la loi « de type barycentrique »:
V 1−V 
G.P.
Questions de cours électrocinétique
V1
V=
1
1
1
V 2 0
R1
R2
R
1
1 1
 
R1 R 2 R
Il faut prévoir le cas où le courant dans une branche est imposé (par un générateur de courant par
exemple)
I1
N
R2
i2
i
V
V2
R
I 1 i 2i=0
I 1 V 2−V 
1
1
0−V  =0
R2
R
d'où V
Il faut prévoir le cas où l'une des branches comporte un générateur de tension en plus d'une
résistance
N
i1
R1
R2
E1
V1
V
i2
i
V2
R
il vaut mieux inverser résistance et générateur sur le schéma:
N
i1
E1
V1
V1+ E1
R1
R2
V
i
V2
R
La loi des nœuds s'écrit:
i2
G.P.
Questions de cours électrocinétique
i 1i 2i=0
1
1
1
V 2 −V  0−V  =0
R1
R2
R
V 1E 1−V 
d'où V
Résolution du circuit proposé:
premier nœud:
I 1 0−V ' 
1
1
V −E 2−V '  =0
R1
R2
deuxième nœud:
V '  E 2−V 
1
1
1
0−V   E 3−V  =0
R2
R4
R3
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues V et V ' donnerait V .
Autre méthode de résolution:
On détermine le générateur de Thévenin équivalent aux générateurs 1 et 2 en série
R1I1+E2
E3
V
R4
R1+R2
R3
On détermine le générateur équivalent aux deux générateurs de Thévenin à considérer comme en
parallèle pour R4 .
Ieq
V
Req
on obtient pour le générateur de Norton par exemple:
1
1
1
=

Req R1R2 R3
R4
G.P.
Questions de cours électrocinétique
I eq=
E 2R 1 I 1 E 3

R1R 2
R3
La tension demandée est donc puisque le courant passe dans deux résistances en parallèle:
V=
R 4 Req
I
R 4Req eq
Réponse:
On trouve finalement: V =
en posant G12=
 R1 I 1E 2 G 12 E 3 G 3
G 12G 3G 4
1
1
1
, G 3=
, G 4=
R4
 R1 R2 
R3