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Bcpst 2
1
Théorème de dérivation d'une fonction composée :
Le théorème :
Th : Si f est dérivable en x
0
et si g est dérivable en f(x
0
),
alors
g f
est dérivable en x
0
et
0 0 0
( )'( ) '( ( )). '( )
g f x g f x f x
=
NB : Ce théorème donne des conditions suffisantes de dérivabilité d’une fonction composée,
il y a des cas où il ne permet pas de conclure, comme par exemple la dérivabilité de
(
)
cos
x x
֏ en 0.
Application : formules de dérivation les plus souvent utilisées :
• Soient a et b deux réels .Soit f une fonction dérivable sur I .Alors la fonction
: ( )
g x f ax b
+
֏
est dérivable en tout point x de I tel que f est dérivable en ax+b et on
a alors
(
)
(
)
' '
g x a f ax b
= +
.
• Si ∀x∈D
f
,
( ) ( )
f x u x
= , alors f est dérivable en tout point x de D
f
où u est
dérivable et
(
)
0
u x
>
et on alors
(
)
( )
'
'( ) 2
u x
f x
u x
=.
•
Si ∀x∈Df ,
( ) ln ( )
f x u x
= , alors f est dérivable en tout point x de Df où u est
dérivable et on alors
(
)
( )
'
'( )
u x
f x
u x
=.
• Si ∀x∈D
f
,
( )
( )
u x
f x e
= , alors f est dérivable en tout point x de D
f
où u est dérivable et
on alors
'( )
f x
=
(
)
(
)
'
u x
u x e
.
• Si ∀x∈D
f
,
( ) arctan( ( ))
f x u x
=
, alors f est dérivable en tout point x de D
f
où u est
dérivable et on alors
'( )
f x
=
(
)
( )
2
'
1
u x
u x
+.
• Si n est entier non nul ( éventuellement négatif), et si ∀x∈D
f
,
( ) ( ( ))
n
f x u x
= , alors f
est dérivable en tout point x de D
f
où u est dérivable et on alors
'( )
f x
=
(
)
(
)
1
'
n
n u x u x
−
.
• Si α est un réel non entier, et si ∀x∈D
f
,
( ) ( ( ))
f x u x
α
= , alors f est dérivable en tout
point x de D
f
où u est dérivable et on alors
'( )
f x
=
(
)
(
)
1
'
n u x u x
α −
.
( remarque : ici, x∈D
f
implique que
(
)
0
u x
>
.)

Bcpst 2
2
Et maintenant, testez-vous !
Donner l’intervalle ou la réunion d’intervalles sur lequel le théorème de dérivation d’une
composée s’applique ainsi que la valeur de la dérivée sur cet ensemble.
(Réponses sur la page suivante, ne pas guetter avant d’avoir fini !!)
(
)
(
)
cos 3
f x x
=
( )
2
x
f x e
= −
( )
2
1
1
f x
x
=+
( )
2
1
expf x
x
=
(
)
(
)
ln 1 2
f x x
= −
( )
( )
, tan
2 2
x f x x
π π
∀ ∈ − =
(
)
(
)
cos
n
f x x
=, où n est un entier naturel
( )
2
arctan
1
x
f x x
+
=
−
( )
3
1
sin 2
4
f x x
π
=
+
(
)
(
)
(
)
ln ln 5 6
f x x= +

Bcpst 2
3
*
(
)
(
)
cos 3
f x x
=
Dérivable sur R
(
)
(
)
' 3sin 3
f x x
= −
*
( )
2
x
f x e
= −
Dérivable sur
]
[
ln2,
+∞
( )
'
2 2
x
x
e
f x e =
−
*
( )
( )
1
2
2
2
11
1
f x x
x
−
= = +
+
Dérivable sur R
( )
( ) ( )
3
22
2 2
1
' 2 1
21 1
x
f x x x
x x
−
−
= − + =
+ +
*
( )
2
1
expf x
x
=
Dérivable sur R
*
( )
2
1
3
2
'
x
f x e
x
−
=
*
(
)
(
)
ln 1 2
f x x
= −
Dérivable sur
1
,
2
−∞
( )
2
'
1 2
f x
x
−
=−
*
( )
( )
, tan
2 2
x f x x
π π
∀ ∈ − =
Dérivable sur
{ }
, \ 0
2 2
π π
−
,
( )
(
)
(
)
2
1
' 1 tan
2
f x x
x
= +
*
(
)
(
)
cos
n
f x x
= , où n est un entier naturel
Dérivable sur R ;
(
)
(
)
(
)
1
' cos sin
n
f x n x x
−
= −
*
( )
2
arctan
1
x
f x x
+
=
−
Dérivable sur R \{1}
( ) ( )
'
2
2 2 2
3
213
1
'
2 2 5
2 2
1 1
1 1
xx
x
f x x x
x x
x x
−
+
  −−
−
= = =
+ +
+ +
+ +
− −
*
( )
3
1
sin 2
4
f x x
π
=
+
Dérivable sur R\
2 8
k
π π
−
( )
4
6
'sin 2
4
f x x
π
−
=
+

Bcpst 2
4
*
(
)
(
)
(
)
ln ln 5 6
f x x= +
Dérivable sur
]
[
1,
− +∞
( ) ( ) ( )
5
'
5 6 ln 5 6
f x x x =
+ +