analysis 289p hitta amara exercices with hints 2008

Universit´ e 8 Mai 1945 - Guelma
Dr HITTA Amara
Cours Alg` ebre et Analyse I
Conform´ ement aux programmes
LMD : DEUG I–MI/ST– 2008/2009
Math´ ematiques et informatique
Exercices Corrig´ es
Facult´ e des Sciences et de l’Ing´ enierie
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Chapitre 1
Th´eorie des Ensembles et relations
1.1 Op´erations sur les ensembles
D´efinition. Un ensemble Fest inclus dans un ensemble E, lorsque tout ´el´ement de F
appartient `a Eet on ´ecrit F⊂E. Si F⊂Eet E6=F, l’inclusion est dite stricte ou
que Fest une partie propre de Eet on note F(E.
FE
Lorsqu’il existe au moins un ´el´ement de Fn’appartenant pas `a Ealors Fn’est pas inclus
dans Eet on ´ecrit F6⊂ E.
D’autre part, deux ensembles Eet Fsont ´egaux si et seulement si chacun est inclu dans
l’autre, c’est `a dire :
E=Fsi et seulement si E⊂Fet F⊂E.
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On admet, par ailleurs, l’existence d’un ensemble unique n’ayant aucun ´el´ement appel´e
ensemble vide et contenu dans n’importe quel ensemble. On le note ∅. Les symboles ∈
et ⊂sont de nature diff´erente :
①Le symbole ∈est une relation entre un ´el´ement et un ensemble; x∈E.
②Le symbole ⊂exprime l’inclusion d’un ensemble dans un autre; {x} ⊂ E.
☞Exemple 1.1.1 On a {x∈Z;x2= 1}={−1,+1} ⊂ Z. D’autre part, 2 ∈Npar
contre {2} ⊂ N. Comme Z⊂Ret Z6=Ralors Z ( R.◆
Certains ensembles de r´ef´erence sont form´es par construction `a partir de l’ensemble des
entiers naturels N:
•L’ensemble Z, des entiers relatifs, est construit pour r´esoudre les ´equations de la
forme x+a=b, (a, b)∈N2et a > b.
•La consid´eration de l’´equation ax =b,aet b∈Z∗, nous conduit `a une extension de
Zpar l’ensemble Qdes nombres rationnels :
En effet, un probl`eme aussi simple que la r´esolution de l’´equation xn=a,a∈Q∗
+et
n∈N,n’admet pas de solutions en g´en´eral dans Q. Plus pr´ecis´ement, pour n= 2 :
☞Exemple 1.1.2 L’´equation x2= 2 n’admet pas de solutions dans Q.◆
•Mais, on sait former deux suites de nombres de rationnels l’une croissante, not´ee
(xn) : x1= 1,4, x2= 1,41, x3= 1,414,··· et l’autre d´ecroissante, not´ee (yn) :
y1= 1,5, y2= 1,42, y3= 1,415,··· telles que 2 −x2
net y2 n−2 soient aussi petits
qu’on le veut pour nsuffisament grand avec x2
n<2< y2 n.Ces deux suites de nombres
rationnels d´efinissent un mˆeme nombre d´esign´e par √2.
Reste `a montrer que √2n’est pas un nombre rationnel.
☞Exemple 1.1.3 √2/∈Q:Supposons qu’il s’ecrit sous forme rationnel c’est-
`a-dire √2 = p/q o`u pet qsont premiers entre eux, donc p2= 2q2, 2 divise pcar
pet p2ont la mˆeme parit´e. Il en r´esulte que 4 divise p2. Il existe alors p′tel que
p2= 4p′, d’o`u q2= 2p′c’est-`a-dire 2 divise pet qce qui contredit le fait qu’ils sont
premiers entre eux. De mˆeme √2 + √3/∈Qcar si √2 + √3 = rest rationnel,
alors √3 = √2 + (1/r) donc 3 = 2 + 2(1/r)√2 + (1/r2) et √2 serait rationnel.
Contradiction. ◆
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•Un autre exemple int´eressant est `a signaler. Il s’agit du calcul de la circonf´erence
Cd’un cercle de diam`etre d∈Q, qui n’est pas un ´el´ement de Qc’est-`a-dire que
C/d =π /∈Q. De plus π2/∈Qcar πne peut ˆetre solution d’aucune ´equation
de la forme x2=q,q∈Q. En fait πne v´erifie aucune ´equation polynˆomiale `a
cœfficients rationnels de la forme a0xn+a1xn−1+···+an−1x+an= 0 o`u a06= 0 et
a1,···, an∈Q.
Un nombre v´erifiant une ´equation de la forme pr´ec´edente est dit . Dans le cas
contraire, il est dit nombre transcendant :
Les rationnels et les irrationnels forment l’ensemble R.
☞Exemple 1.1.4 Le nombre πest transcendant. Les nombres √3 et 4/5 sont des
nombres alg´ebriques puisqu’ils sont solutions respectives des ´equations x2−3 = 0
et 5x−4 = 0. Le nombre √2 + √3 est un nombre alg´ebrique car il est solution de
x4−10x2+ 1 = 0. ◆
Il existe, par ailleurs, un proc´ed´e dˆu au Math´ematicien Allemand R. Dedekind, utilis´e
pour passer des nombres rationnels aux nombres r´eels. C’est la notion de coupure dans
l’ensemble Q.
On construit, enfin, l’ensemble Cdes nombres complexes, pour donner un sens aux racines
des ´equations du second degr´e dont le d´escriminant est n´egatif et qui n’ont pas, de ce fait,
de solutions dans R. En r´ecapitulant, on a les inclusions suivantes
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
A partir d’un ensemble E, on peut ´edicter certaines r`egles permettant de construire de
nouveaux ensembles. Ainsi, on peut classer tous les ´el´ements de Een sous-ensembles.
Cette op´eration s’appelle partition de l’ensemble E. On forme un nouveau ensemble
appel´e ensemble des parties de E, not´e P(E), caract´eris´e par la relation suivante :
A∈P(E) si et seulement A⊆E.
L’ensemble P(E) n’est pas vide, car il contient au moins Eet l’ensemble vide.
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