Statistique de Maxwell

Complément VII.3 page i/xvi
Statistique de Maxwell-Boltzmann
La statistique de Maxwell-Boltzmann s’applique dans le domaine de la Mécanique classique { un
ensemble de particules n’interagissant pas entre elles et en équilibre { la température T.
Dans le domaine de la Mécanique quantique la statistique de Maxwell-Boltzmann laisse la place
à deux statistiques, celle de Fermi-Dirac pour les particules de spin demi-entier dites de ce fait
fermions (les électrons par exemple) et celle de Bose-Einstein pour les particules de spin entier
dites de ce fait bosons (les photons par exemple).
L’étude d’un système peut s’effectuer { partir des propriétés des particules qui le constituent,
c’est-à-dire en partant de l’échelle microscopique. Mais le grand nombre des particules étudiées
oblige à un traitement statistique. Le but de ce complément est de montrer comment la
connaissance d’une loi statistique permet d’atteindre les propriétés macroscopiques du système.
1. Enoncé
On considère un ensemble de particules n’interagissant pas entre elles et en équilibre à la
température T. D’après la statistique de Maxwell-Boltzmann, la probabilité de trouver une de ces
particules dans un état d’énergie E est proportionnelle au facteur de Boltzmann :
exp
B
E
kT
Nous allons en voir deux applications, la répartition des moments magnétiques d’une assemblée
de dipôles magnétiques et la répartition des vitesses au sein d’un gaz parfait isolé et en équilibre
thermodynamique. Ludwig Boltzmann et James Clerk Maxwell ont établi indépendamment et
par des considérations différentes cette loi de distribution des vitesses.
2. Etude d’une aiguille aimantée
a) Le problème
Bvecteur-champ magnétique appliqué
m1
m2
Figure 1 : Un matériau magnétique, ses atomes et leurs vecteurs-moments magnétiques

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Une aiguille formée d’un matériau magnétique, comme du fer par exemple, est constitué de N
atomes. Nous considérons que les interactions entre atomes sont négligeables. Chaque atome
contribue aux propriétés magnétiques de l’aiguille par son vecteur-moment magnétique m. (Plus
le moment magnétique est grand plus les effets magnétiques subis ou créés par l’atome sont
intenses.) L’aiguille est caractérisée par son vecteur-moment magnétique M qui est la somme
vectorielle des vecteurs-moments magnétiques des atomes.
Lorsque l’aiguille interagit avec un aimant, elle est soumise au champ magnétique B créé par cet
aimant. Chaque atome de l’aiguille acquiert alors une énergie potentielle magnétique Ep = -m.B.
Sous la seule action de l’aimant tous les vecteurs-moments magnétiques s’aligneraient dans le
sens du vecteur-champ magnétique car cela correspond { l’état d’énergie minimum. Mais à cause
de l’agitation thermique, toutes les orientations sont possibles. Mais avec une probabilité
proportionnelle au facteur de Boltzmann, exp(-m.B/kBT), donc d’autant plus grande que
l’énergie magnétique est plus faible.
Pour simplifier le problème, nous supposons le champ magnétique B uniforme. Et nous ne
considérons que deux orientations du vecteur-moment magnétique des atomes. Ou les vecteurs
m et B sont colinéaires et de même sens ou ils sont colinéaires et de sens contraires (ce qui
correspond respectivement aux énergies minimum et maximum).
b) Les populations N1 et N2
L’énergie potentielle magnétique peut donc prendre deux valeurs E1 = - mB et E2 = + mB. Il y a N1
atomes dans l’état d’énergie E1 et N2 dans l’état d’énergie E2. Comme il y a en tout N atomes :
12
N N N
L’énergie E1 = -mB est plus basse que l’énergie E2 = + mB donc l’état (1) est plus stable que l’état
(2). Et par conséquent les vecteurs-moments magnétiques ont tendance { s’orienter dans le sens
du champ magnétique appliqué. De ce fait, la population d’atomes doit être plus importante dans
l’état (1) que dans l’état (2).
0
- mB
+ mB
E
N2
N1
Figure 2 : Diagramme d’énergie et populations
Les probabilités de trouver un atome dans l’état d’énergie E1 ou dans l’état d’énergie E2
s’écrivent :

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12
12
NN
P E P E
NN
Les atomes ne pouvant être que dans un de ces états, la somme de ces probabilités est égale à 1.
c) La statistique de Maxwell-Boltzmann
En appliquant la statistique de Maxwell-Boltzmann, nous pouvons écrire autrement ces
probabilités. Nous notons A la constante de proportionnalité :
1
1exp exp
BB
EmB
P E A A
k T k T
2
2exp exp
BB
EmB
P E A A
k T k T
Comme prévu, la probabilité pour un atome d’être dans l’état d’énergie E1 est plus grande que
celle d’être dans l’état d’énergie E2. Par exemple, l’énergie kBT est de l’ordre de 0,4. 10-20 J
(environ 1/40 eV) { température ambiante. Lorsque l’énergie mB est du même ordre de
grandeur les exponentielles valent respectivement environ 2,72 et 0,37.
d) La détermination de la constante de proportionnalité A
La somme de ces probabilités doit être égale à 1 :
12
1
exp exp 1
11
exp exp 2cosh
BB
B B B
P E P E
mB mB
AA
k T k T
AmB mB mB
k T k T k T
Les probabilités sont donc :
12
exp exp
exp exp exp exp
BB
B B B B
mB mB
k T k T
P E P E
mB mB mB mB
k T k T k T k T
Dans l’exemple numérique précédent P(E1) = 88% et P(E2) = 12%.

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e) Conséquence n°1 : Les nombres d’atomes dans chaque état
Nous pouvons en déduire le nombre d’atomes dans l’état d’énergie E1 ou dans l’état d’énergie E2 :
12
exp exp
exp exp exp exp
BB
B B B B
mB mB
NN
k T k T
NN
mB mB mB mB
k T k T k T k T
En considérant 1 mole de matériau, N = 6,02. 1023, dans l’exemple numérique précédent
N1 = 5,3. 1023 et N2 = 0,72. 1023.
f) Conséquence n°2 : Le vecteur-moment magnétique de l’aiguille
Le vecteur-moment magnétique de l’aiguille est la somme vectorielle des vecteurs-moments
magnétiques des atomes :
1 1 2 2
12
M N m N m
M N m N m
exp exp sinh
exp exp cosh
tanh
B B B
B B B
B
mB mB mB
k T k T k T
M Nm Nm
mB mB mB
k T k T k T
mB
M Nm
kT
Si tous les vecteurs-moments magnétiques étaient orientés dans le sens du champ magnétique
appliqué, le vecteur-moment magnétique de l’aiguille vaudrait Nm. Dans l’exemple numérique
choisi, il vaut environ 0,76 Nm.
Nous pouvons en déduire le moment magnétique moyen par atome :
1tanh
B
mB
m M m
N k T
Ce résultat peut aussi être trouvé à partir des probabilités :
1 1 2 2 1 1 2 2
1( ) ( )
exp exp
tanh
exp exp
BB
B
BB
m N m N m P E m P E m
N
mB mB
k T k T mB
m m m
kT
mB mB
k T k T
Ce mode de calcul d’une moyenne nous servira, en le généralisant, dans le paragraphe 3.

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g) Conséquence n°3 : L’énergie potentielle magnétique de l’aiguille
L’énergie potentielle magnétique de l’aiguille est la somme des énergies potentielles
magnétiques des atomes :
1 1 2 2
12
(aiguille)
(aiguille)
E N E N E
E N mB N mB
exp exp sinh
(aiguille)
exp exp cosh
(aiguille) tanh
B B B
B B B
B
mB mB mB
k T k T k T
E NmB NmB
mB mB mB
k T k T k T
mB
E NmB
kT
Si tous les vecteurs-moments magnétiques étaient orientés dans le sens du champ magnétique
appliqué, l’énergie potentielle magnétique de l’aiguille vaudrait -NmB. Dans l’exemple
numérique choisi, elle vaut environ - 0,76 NmB.
Nous pouvons en déduire l’énergie moyenne par atome :
(aiguille) tanh
B
E mB
E mB
N k T
Nous pouvons retrouver ce résultat en utilisant les probabilités :
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
exp exp
tanh
exp exp
BB
B
BB
E N E N E P E E P E E P E P E mB
N
mB mB
k T k T mB
E mB mB
kT
mB mB
k T k T
Notons encore une fois que ce mode de calcul d’une moyenne nous servira, en le généralisant,
dans le paragraphe 3.
3. Etude des vitesses des molécules d’un gaz parfait
a) Probabilités
Les molécules du gaz parfait n’interagissent pas entre elles, le gaz est en équilibre { la
température T, donc la statistique de Maxwell-Boltzmann s’applique.
Dans l’exemple précédent l’énergie ne pouvait prendre que deux valeurs distinctes tandis que
l’énergie cinétique des molécules varie de façon continue. De plus, il est impossible de
dénombrer les molécules ayant exactement une composante de vitesse vx = 500 m.s-1. Il est