Analyse fonctionnelle - Groupe d`analyse Mathématique

UNIVERSITE DE LIEGE
Facult´e des Sciences
Institut de Math´ematique
ANALYSE FONCTIONNELLE
Notes du cours de la licence
en sciences math´ematiques
Jean SCHMETS
Ann´ee acad´emique 2004–2005

ii

Introduction
Ces notes de cours constituent une introduction `a l’´etude des espaces vectoriels
topologiques localement convexes s´epar´es ou espaces vectoriels `a semi-normes s´epa-
r´es, appel´es plus simplement dans les notes espaces localement convexes ou espaces
`a semi-normes. Elles diff`erent des notes pr´ec´edentes par quelques corrections et
quelques ajouts.
J’ai choisi de privil´egier tout autant les points de vue topologique et semi-
norm´e. En th´eorie, on tend bien souvent `a privil´egier l’aspect “topologie locale-
ment convexe” et, en pratique, celui de “syst`eme de semi-normes”. Je crois qu’il
est bon d’habituer d`es le d´epart l’´etudiant `a ces deux m´ethodes ´equivalentes et
compl´ementaires.
En un cours de 30 heures agr´ement´e de 10 heures de r´ep´etitions, je ne peux
envisager que les premiers d´eveloppements de cette th´eorie et donner l’envie d’aller
plus loin. Si ce but est r´ealis´e, le lecteur trouvera dans la bibliographie de quoi ali-
menter son app´etit. Il pourra ensuite ou concommitamment consulter la litt´erature
et passer aux applications de cette th´eorie. Cela comblera mes espoirs.
J. Schmets

iv 0. Introduction

Chapitre 1
Quelques compl´ements sur les
espaces vectoriels
Convention. Dans tout ce qui suit, Kd´esigne le corps des scalaires et est toujours
´egal `a Rou `a C. En vue d’all´eger le texte, nous disons espace vectoriel `a la place
d’espace K-vectoriel, op´erateur lin´eaire `a la place d’op´erateur K-lin´eaire, . . . chaque
fois que la propri´et´e est valable pour K=Ret pour K=C.
1.1 Espaces vectoriels
Tout espace C-vectoriel Eest aussi un espace R-vectoriel, il est alors appel´e espace
R-vectoriel sous-jacent `a Eet not´e ER. La r´eciproque est bien entendu fausse.
Un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel Eest une partie non vide Lde E,
qui est un espace vectoriel pour les op´erations + et ·induites par E. Il suffit bien
sˆur d’avoir L+L⊂Let cL ⊂Lpour tout c∈K.
L’ensemble des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E:
a) contient {0}comme plus petit ´el´ement pour l’inclusion;
b) contient Ecomme plus grand ´el´ement pour l’inclusion;
c) est ferm´e pour l’intersection.
D`es lors, on peut introduire la notion d’enveloppe lin´eaire pour toute partie non
vide Ade Ecomme ´etant l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de Equi
contiennent A. C’est le plus petit sous-espace vectoriel de Econtenant A; il est not´e
span(A). On a tˆot fait de v´erifier l’´egalit´e
span(A) = (J
X
j=1
cjej:J∈N0;c1, . . . , cJ∈K;e1, . . . , eJ∈A).