chap21 0910

Chapitre 21
Matrices
Objectifs
• Définir les matrices, le vocabulaire, les opérations sur les matrices, la structure d’espace vectoriel sur Mn,p (K)
et le lien avec les applications linéaires.
• Définir le produit matriciel en rapport avec la composition des applications, étudier les propriétés de ce produit
et les applications. Structure d’algèbre sur Mn (K).
• Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn (K).
• Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires.
• Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit
matriciel). Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan.
Sommaire
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
VII)
Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Structure d’espace vectoriel sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Calcul pratique du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
4
5
7
7
8
9
10
10
10
12
12
13
14
15
15
15
16
16
16
17
18
20
K désigne un sous-corps de C.
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Matrices, liens avec les applications linéaires
Chapitre 21 : Matrices
I) Matrices, liens avec les applications linéaires
1)
Définitions
DÉFINITION 21.1
.
Soient n, p ∈ N∗ , on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, toute application
M : [[1..n]] × [[1..p]] → K. Pour (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]] , on pose M (i, j) = Mi, j (ou mi, j ), c’est le
.
coefficient de la matrice M d’indices i et j , le premier
indice est appelé indice de ligne, et le second
indice de colonne.
L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mn,p (K), on a donc
Mn,p (K) = F ([[1..n]] × [[1..p]], K)

Notations : Si M ∈ Mn,p (K), on peut écrire : M = (mi, j ) 1¶i¶n
1¶ j¶p

m1,1 · · · m1,p
 .
.. 

..
ou bien M = 
. .

mn,1 · · · mn,p
L’égalité entre deux matrices est en fait l’égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont
égales lorsqu’elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
Cas particuliers :
• Lorsque n = p on dit que la matrice est carrée, l’ensemble des matrices carrées à n lignes est noté
Mn (K) au lieu de Mn,n (K).
€
Š
• Lorsque n = 1 on dit que M est une matrice ligne : 1 2 −3 ∈ M1,3 (K).
 
2
 
• Lorsque p = 1 on dit que M est une matrice colonne : 0 ∈ M3,1 (K).
5
DÉFINITION 21.2
.
Soit M ∈ Mn,p (K), pour k ∈ [[1..p]] , on appelle k-ième vecteur colonne de M le vecteur
ck (M ) = (m1,k , . . . , mn,k ), c’est un élément de Kn . On appelle k-ième matrice colonne de M la matrice


m1,k
 . 
.
. 
Ck (M ) = 
 .  ∈ Mn,1 (K).
mn,k
Pour k ∈ [[1..n]] , on appelle k-ième vecteur ligne de M le vecteur L k (M ) = (mk,1 , . . . , mk,p ), c’est
€
Š
un élément de K p . On appelle k-ième matrice ligne de M la matrice Lk (M ) = mk,1 · · · mk,p ∈
M1,p (K).
DÉFINITION 21.3 (transposition)
.
Soit M ∈ Mn,p (K), on appelle transposée de M la matrice de M p,n (K) notée tM et définie par :
.
t M i, j = M j,i pour i ∈ [[1..p]] et j ∈ [[1..n]].
Autrement dit, la ligne i de tM est la colonne i de M .
‚
Exemple : soit M =
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1 2 3
4 5 6
Œ


1 4


∈ M2,3 (K), on a tM = 2 5 ∈ M3,2 (K).
3 6
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2
Matrices, liens avec les applications linéaires
THÉORÈME
Chapitre 21 : Matrices
21.1 (propriétés de la transposition)
Ð On a les propriétés suivantes :
Ð
Ð
.
. Ð • Mn (K) est stable pour la transposition.
Ð
Ð • t tM = M , on en déduit en particulier que la transposition est une involution dans M (K).
n
Ð
Ð
• L k (tM ) = Ck (M ) et Ck (tM ) = L k (M ).
DÉFINITION 21.4 (trace d’une matrice carrée)
.
n
P
.
Soit M ∈ Mn (K), on appelle trace de M le scalaire noté tr(M ) et défini par : tr(M ) =
Mi,i , c’est
i=1
donc la somme des coefficients diagonaux.
Matrices particulières :
• Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de Mn,p (K) dont tous les
coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement
On , c’est la matrice nulle de Mn (K).
• Matrice unité : la matrice unité de Mn (K) est la matrice carrée de taille n, notée I n et définie par
I n = (δi, j )1¶i, j¶n , c’est à dire, I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1,
les autres (coefficients
extra-diagonaux)
sont tous nuls.


1 0 0


Exemple : I3 = 0 1 0 est la matrice unité de M3 (K).
0 0 1
• Matrice diagonale : une matrice diagonale est une matrice carréedont tous les coefficients
extra
a1 0
···
0


 0 a2 0 · · · 0 
diagonaux sont nuls. C’est donc une matrice de la forme M = 
.. 
..
, une telle
 ..
.
.
.
0 ···
0
an
matrice est notée parfois M = diag(a1 , . . . , an ).
• Matrice élémentaire : une matrice élémentaire de Mn,p (K) est une matrice dont tous les coefficients
sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a donc np matrices élémentaires dans Mn,p (K), pour (i, j) ∈
[[1..n]] × [[1..p]], on note E i, j la matrice élémentaire qui possède un 1 ligne i colonne j, et des 0
ailleurs, plus précisément : (E i, j )k,l = δi,k δ j,l .
‚
Œ
0
1
0
Exemple : dans M2,3 (K), on a E 1,2 =
.
0 0 0
• Matrice triangulaire supérieure : c’est une matrice carrée dont tous les éléments situés sous la
diagonale principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires supérieures de Mn (K) est noté
Tns (K), on a donc :
M ∈ Tns (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], i > j =⇒ Mi, j = 0.
• Matrice triangulaire inférieure : c’est une matrice carrée dont tous les éléments situés au-dessus
de la diagonale principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires inférieures de Mn (K) est
noté Tni (K), on a donc :
M ∈ Tni (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], i < j =⇒ Mi, j = 0.
• Matrice symétrique : c’est une matrice qui est égale à sa transposée (elle est donc nécessairement
carrée) : M = tM . L’ensemble des matrices symétriques de taille n est noté Sn (K), on a donc :
M ∈ Sn (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], Mi, j = M j,i .
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3
Matrices, liens avec les applications linéaires
Chapitre 21 : Matrices
• Matrice antisymétrique : c’est une matrice qui est égale à l’opposé de sa transposée (elle est donc
nécessairement carrée) : M = −tM . L’ensemble des matrices antisymétriques de taille n est noté
An (K), on a donc :
M ∈ An (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], Mi, j = −M j,i ,
on en déduit en particulier que Mi,i = 0 (les coefficients diagonaux sont nuls).
2)
Structure d’espace vectoriel sur les matrices
DÉFINITION 21.5 (somme de deux matrices)
.
Soient A, B ∈ Mn,p (K), on appelle somme de A. et B la matrice de Mn,p (K) notée A + B et définie
par : ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], (A + B)i, j = Ai, j + Bi, j . On additionne entre eux les éléments ayant
les mêmes indices.
‚
Exemple :
1 2 3
4 5 6
THÉORÈME
Œ
‚
+
−1 0 1
−2 3 4
Œ
‚
=
Œ
0 2 4
.
2 8 10
21.2
.
. ÐÐ (Mn,p (K), +) est un groupe abélien. L’élément neutre
est la matrice nulle : On,p , et si A ∈ Mn,p (K),
Ð
l’opposé de A est la matrice −A définie par ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], (−A)i, j = −Ai, j .
DÉFINITION 21.6 (produit par un scalaire)
.
Soit M ∈ Mn,p (K) et soit λ ∈ K, on appelle produit
de la matrice M par le scalaire λ la matrice
.
de Mn,p (K) notée λ.M et définie par : ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], (λ.M )i, j = λ × Mi, j . C’est à dire,
chaque coefficient de M est multiplié par λ.

 

1 2
2
4

 

8 .
Exemple : 2 · 3 4 =  6
5 6
10 12
Propriétés : On peut vérifier facilement : soient A, B ∈ Mn,p (K), soient λ, µ ∈ K :
• 1.A = A.
• λ.(A + B) = λ.A + λ.B.
• (λ + µ).A = λ.A + µ.A.
• (λµ).A = λ.(µ.A).
On peut donc énoncer le résultat suivant : (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel.
THÉORÈME
21.3 (dimension de Mn,p (K))
Ð
Ð Mn,p (K) est un K-e.v de dimension np, et les matrices élémentaires (E i, j ) 1¶i¶n constituent une base
Ð
1¶ j¶p
Ð
Ð de Mn,p (K). Cette base est appelée base canonique de Mn,p (K), car les coordonnées d’une matrice
.
. ÐÐ M ∈ M (K) dans cette base sont les coefficients
de M , c’est à dire :
n,p
Ð
Ð
X
Ð
Ð
M=
Mi, j .E i, j .
Ð
1¶i¶n
Ð
1¶ j¶p
Exercice : montrer que Tns (K), Tni (K), Sn (K) et An (K) sont des s.e.v de Mn (K). Pour chacun d’eux donner
une base et la dimension.
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Matrices, liens avec les applications linéaires
THÉORÈME
Chapitre 21 : Matrices
21.4 (propriétés de la transposition et de la trace)
Ð
Ð On a les propriétés suivantes :
.
.Ð
Ð • La transposition est linéaire, plus précisément, c’est un isomorphisme de Mn,p (K) sur M p,n (K).
Ð
Ð
• La trace est une forme linéaire non nulle sur Mn (K).
Exercice : montrer que la transposition dans Mn (K) est une symétrie, déterminer ses éléments caractéristiques.
3)
Matrice d’une application linéaire
Soit E un K-e.v de dimension p, soit B = (e1 , . . . , e p ) une base de E. Soit F un K-e.v de dimension n
et soit B0 = (u1 , . . . , un ) une base de F . Soit f ∈ L (E, F ), on sait que f est entièrement déterminée par
la donnée de f (e1 ), . . . , f (e p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées
dans la base B0 de F . Notons coord
( f (e j )) = (a1, j , . . . , an, j ) pour j ∈ [[1..p]], c’est à dire :
0
B
∀ j ∈ [[1..p]], f (e j ) =
n
X
ai, j ui .
i=1
On obtient ainsi une matrice A = (ai, j ) 1¶i¶n cette matrice est définie par : c j (A) = coord
( f (e j )).
0
B
1¶ j¶p
DÉFINITION 21.7
.
Soit f ∈ L (E, F ), soit B = (e1 , . . . , e p ) une base de E et soit B0 = (u1 , . . . , un ) une base de F , on
appelle matrice de f relative aux bases B et B
. 0 la matrice de Mn,p (K) notée mat0 ( f ) et définie
B,B
par : pour j ∈ [[1..p]] , le j -ième vecteur colonne de cette matrice est coord
( f (e j )), autrement dit, le
0
B
coefficient de la ligne i colonne j est la coordonnée sur ui du vecteur f (e j ).
Construction de cette matrice :

f (e1 ) . . .
↓
a
 1,1
..
mat( f ) = 
 .
B,B0
an,1
···
..
.
···
f (e p )
↓

a1,p → u1
.. 
..

. 
.
an,p → un
Exemples :
a) Soit B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de K3 et soit B0 = (u, v) la base canonique de K2 , soit
f ∈ L (K3 , K2 ) définie
par ∀ (x, y, z) ∈ K3 , f (x, y, z) = (2x − y + z, x + 2 y − 3z). Déterminons

 f (e1 ) = f (1, 0, 0) = (2, 1) = 2u + v
f (e2 ) = f (0, 1, 0) = (−1, 2) = −u + v , donc la matrice de f est :
A = mat0 ( f ), on a

B,B
f (e3 ) = f (0, 0, 1) = (1, −3) = u − 3v
‚
A=
Œ
2 −1 1
.
1 2 −3
b) Avec les notations précédentes, déterminons l’application linéaire g : K3 → K2 donnée par :
Œ
‚
6 −2 1
.
mat(g) =
4 5 −1
B,B0
On a g(x, y, z) = x g(e1 )+ y g(e2 )+z g(e3 ) = x(3, 4)+ y(−2, 5)+z(1, −1) = (3x −2 y +z, 4x +5 y −z).
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Matrices, liens avec les applications linéaires
Chapitre 21 : Matrices
Cas particuliers des endomorphismes : lorsque l’espace d’arrivée est le même que celui de départ ( F = E ),
on choisit en général la même base à l’arrivée qu’au départ (B0 = B), on note alors mat( f ) = mat( f ),
B,B
B
c’est une matrice carrée.
Exemples :
a) Soit E = K3 [X ] et soit B la base canonique de E :
– On note D la dérivation dans E, calculer mat(D).
B
– Soit ∆ définie par ∆(P) = P(X + 1) − P(X ), calculer mat(∆).
B
– Soit P0 = 1, P1 = X , P2 =
X (X − 1)
2
une base de E et calculer mat
(∆).
0
et P3 =
X (X − 1)(X − 2)
6
, montrer que B0 = (P0 , P1 , P2 , P3 ) est
B
b) Calculer la matrice de la transposition dans la base canonique de M2 (K).
THÉORÈME
21.5 (caractérisation de l’identité et de l’application nulle)
Ð
Ð Soit E un e.v de dimension n et soit B une base de E :
Ð
Ð • Soit f ∈ L (E), alors f = id E ⇐⇒ mat( f ) = I n .
.
B
. ÐÐ
0
Ð • Soit F un e.v de dimension p et soit B une base de F , soit f ∈ L (E, F ), alors :
Ð
Ð
Ð
f = 0 ⇐⇒ mat0 ( f ) = Op,n .
Ð
B,B
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
.Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
THÉORÈME
21.6
Soient E, F deux K-e.v, soit B une base de E et soit B0 une base de F , soient f , g ∈ L (E, F ) et soit
λ ∈ K. On a :
mat0 ( f + g) = mat0 ( f ) + mat.0 (g) et mat0 (λ. f ) = λ. mat0 ( f ).
B,B
B,B
B,B
B,B
B,B
Autrement dit, l’application : mat0 : L (E, F ) → Mn,p (K) (avec n = dim(F ) et p = dim(E)), est une
B,B
application linéaire. Plus précisément, cette application est un isomorphisme.
THÉORÈME
21.7
Ð Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, soit F un K-espace vectoriel de dimension n, et soit
Ð
Ð u ∈ L (E, F ) une application linéaire de rang r , alors il existe une base B de E et une base B0 de F
Ð
Ð telles que mat(u) = J
n,p,r où Jn,p,r désigne la matrice de M n,p (K) définie par :
Ð
B,B0
Ð
Ð
Ð


Ð
1
0
·
·
·
0
Ð


. ÐÐ
... 
0 . . . .


Ð

 ..
Ð


1
.
Ð
J
=


n,p,r
Ð
0 · · ·
0 · · · 0
Ð


Ð
 ..

..
Ð
.

.
Ð
Ð
0
·
·
·
0
Ð
Ð
Ð
Il y a r fois le scalaire 1 sur la diagonale.
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6
Produit matriciel
Chapitre 21 : Matrices
II) Produit matriciel
Matrice d’une composée : Soient B = (e1 , . . . , eq ) une base de E, B0 = (u1 , . . . , u p ) une base de F , et B00 =
(v1 , . . . , vn ) une base de G, soit f ∈ L (E, F ), g ∈ L (F, G), on pose B = mat0 ( f ) ∈ M p,q (K), A = mat
(g) ∈
0
00
B,B
B ,B
Mn,p (K) et C = mat00 (g ◦ f ) ∈ Mn,q (K). Il s’agit de calculer g ◦ f (e j ) dans la base B00 , on a : f (e j ) =
B,B
‚
Œ
p
p
p
p P
n
n
P
P
P
P
P
Bk, j Ai,k vi , c’est à dire : g ◦ f (e j ) =
Ai,k Bk, j vi .
Bk, j uk , donc : g ◦ f (e j ) =
Bk, j g(uk ) =
k=1
k=1
k=1 i=1
On doit donc avoir : C ∈ Mn,q (K) avec Ci, j =
p
P
i=1
k=1
Ai,k Bk, j . On voit que l’opération à effectuer sur les
k=1
matrices A et B pour obtenir C n’est pas aussi simple que pour la somme. Nous allons définir cette opération
comme étant le produit entre les deux matrices A et B.
1)
Définition
DÉFINITION 21.8
Soient A ∈ Mn,p (K), soit B ∈ M p,q (K), on appelle produit de A par B la matrice de Mn,q (K) notée
A × B et définie par :
p
.
X
∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..q]], [A × B]i, j =
Ai,k Bk, j .
.
k=1
On retient ceci en disant que le coefficient [A × B]i, j est le résultat du « produit de la ligne i de A
avec la colonne j de B ».
Disposition des calculs :


a1,1
 .
 ..

A=
 ai,1
 ..
 .
an,1
b
· · · b1, j · · ·
 1,1
..
..

B = .
.
b p,1 · · · b p, j · · ·

· · · a1,p
···
···
.
.. 
.
..
.
. 
 .


· · · ai,p   · · · [AB]i, j · · ·
..  ..
..
.  .
.
· · · an,p
···
···

b1,q
.. 

. 
b p,q

..
.

 = A× B

..
.
Remarques :
• Le produit A × B n’est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B.
• Dans Mn (K) le produit matriciel est interne.
• En général A × B 6= B × A, il se peut même que A × B soit défini, mais pas B × A.
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7
Produit matriciel
Chapitre 21 : Matrices
Exemples :
€

0 1
Š

 €
1 −1 3 × −1 2 = 7 2
2 1
€
 
1
  € Š
1 −1 2 × 2 = 5
3
‚
2)

Š
 


1
1 −1 3
€
Š
 


2 × 1 −1 3 = 2 −2 6
3
3 −3 9
‚
Š
1 2
−2 1
Œ

1 2
−2 1
Œ
‚
×
0 1 1
−1 0 1
Œ
‚
=
Œ
−2 1
3
−1 −2 −1




‚
Œ
0 1
−2 1
1 2




= −5 4
−1 2 ×
−2 1
0 1
0 5

0 1


× −1 2 n’est pas défini
0 1
Retour aux applications linéaires
THÉORÈME
21.8
Ð
Ð Soit B une base de E , soit B0 une base de F et soit B00 une base de G , soit f ∈ L (E, F ) et soit
Ð
Ð g ∈ L (F, G) avec A = mat (g) et B = mat( f ), alors
. :
.Ð
B0 ,B00
B,B0
Ð
Ð
Ð
Ð
mat (g ◦ f ) = A × B = mat
(g) × mat0 ( f ).
Ð
B,B00
B0 ,B00
B,B
Cas particulier des endomorphismes : Soit E un K-e.v, soit B une base de E et soient u, v ∈ L (E) avec
A = mat(u) et B = mat(v), on a alors mat(u ◦ v) = mat(u) × mat(v) = A × B , en particulier :
B
B
B
B
B
•
˜n
∀ n ∈ N, mat(un ) = mat(u) = An .
B
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
.Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
THÉORÈME
B
21.9 (relation fondamentale)
Soit B = (e1 , . . . , e p ) une base de E , soit B0 = (u1 , . . . , un ) une base de F et soit f ∈ L (E, F ). Pour
x ∈ E , on pose X la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B, ce que l’on note :
0
X = Coord(x) ∈ M p,1 (K)) et Y la matrice colonne
. des coordonnées de y = f (x) dans la base B :
B
Y = Coord( f (x)) ∈ Mn,1 (K). En posant A = mat0 ( f ), on a alors la relation suivante :
B0
B,B
Y = A × X i.e. Coord( f (x)) = mat0 ( f ) × Coord(x).
B0
B,B
B
Exemples :
a) Soient B la base canonique de K3 et B0 la base‚canonique deŒK2 , soit f ∈ L (K3 , K2 ) définie par sa
1 −2 3
, calculer f (x, y, z).
matrice dans les bases B et B0 : mat0 ( f ) = A =
2 1 −5
B,B
 
x
x − 2 y + 3z
 
Réponse : On a Coord(x, y, z) = X =  y , d’où Coord
(
f
(x,
y,
z))
=
A×X
=
, donc f (x, y, z) =
2x + y − 5z
B
B0
z
(x − 2 y + 3z, 2x + y − 5z) car B0 est la base canonique de K2 .
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8
Produit matriciel
Chapitre 21 : Matrices
b) Soit B = (i, j, k) la base canonique de K3 , on pose B0
= (i, i + j, i +j + k), on vérifie que B0 est une
1 −1 0


0 2 −1, calculer f (x, y, z).
base de K3 . Soit f ∈ L (K3 ) défini par mat
(
f
)
=
A
=

B0
0 0
1
Réponse : On a (x, y, z) = x i + y j + zk = z(i + j + k) + ( y − z)(i + j) + (x − y)i, donc Coord
(x, y, z) = X =
B0




x−y
x − 2y + z




y
−
z
,
d’où
Coord
(
f
(x,
y,
z))
=
A
×
X
=


 2 y − 3z , c’est à dire f (x, y, z) = (x − 2 y + z)i + (2 y −
B0
z
z
3z)(i + j) + z(i + j + k), et donc f (x, y, z) = (x − z, 2 y − 2z, z).
c) Soient A, B ∈ Mn,p (K) telles que ∀ X ∈ M p,1 (K), AX = BX , montrer que A = B.
Réponse : Soit B la base canonique de K p et B0 la base canonique de Kn , soit f ∈ L (K p , Kn ) l’application
linéaire définie par mat0 ( f ) = A− B. Pour x ∈ K p , posons X = Coord(x), on a alors Coord
( f (x)) = (A− B)X =
0
B
B,B
B
On,1 , ce qui montre que f est l’application nulle, donc sa matrice est nulle, ce qui donne A = B.
DÉFINITION 21.9 (application linéaire canoniquement associée)
.
. canoniquement associée à A l’application linéaire
Soit A ∈ Mn,p (K), on appelle application linéaire
fA ∈ L (K p , Kn ) dont la matrice dans les bases canoniques de K p et Kn , est A.
3) Propriétés du produit matriciel
• « Associativité » : Si A ∈ Mn,p (K), B ∈ M p,q (K) et C ∈ Mq,r (K), alors :
A × (B × C) = (A × B) × C ∈ Mn,r (K).
• « Élément neutre » : Soit A ∈ Mn,p (K), on a : A × I p = A et I n × A = A.
• « Distributivité » : Soient A, B ∈ Mn,p (K), soit C ∈ M p,q (K) et D ∈ M r,n , on a :
(A + B) × C = A × C + B × C et D × (A + B) = D × A + D × B.
• Transposée d’un produit : Si A ∈ Mn,p (K) et B ∈ M p,q (K) alors : t(A × B) = tB × tA.
Exemple : Calculer le produit entre deux matrices carrées élémentaires de même taille.
Réponse : Soient E i, j , E k,l deux matrices élémentaires de Mn (K), soient (r, s) ∈ [[1..n]] 2 :
[E i, j × E k,l ] r,s =
n
X
[E i, j ] r,p [E k,l ] p,s =
p=1
n
X
δi,r δ p, j δ p,k δl,s = δ j,k δi,r δl,s = δ j,k [E i,l ] r,s ,
p=1
on a donc E i, j × E k,l = δ j,k E i,l .
THÉORÈME
21.10 (structure de M (K))
n
.
.Ð
Ð On a le résultat suivant : (Mn (K), +, ×, .) est une K-algèbre (non commutative si n ¾ 2).
Remarques :
Œ
Œ ‚
0 0
0 0
= O2 . De ce fait,
×
• L’algèbre Mn (K) n’est pas intègre lorsque n ¾ 2. Par exemple :
1 1
1 0
Œ
‚
0 0
.
il y a dans Mn (K) des éléments nilpotents, par exemple : A =
1 0
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‚
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9
Matrices carrées inversibles
Chapitre 21 : Matrices
• On peut utiliser dans Mn (K) les règles du calcul algébrique, en prenant garde toutefois au fait que le
produit n’est pas commutatif. Par exemple, si A, B ∈ Mn (K) commutent (i.e. AB = BA), alors on peut
utiliser le binôme de Newton pour calculer (A+ B)n . Mais si AB 6= BA on peut néanmoins développer,
2
2
par exemple :
(A + B)2 =
A + AB + BA + B .
1 1 0


Exemple : soit A = 0 1 1. En écrivant A = I3 + J, calculer An pour n ∈ N.
0 0 1

0 1

Réponse : On a A = I3 + J avec J = 0 0
0 0
J × I3 , on peut utiliser le binôme de Newton :


0
0


1, de plus J 2 = K = 0
0
0

n
X
1
n(n − 1)
An =
K =
Ckn J k = I3 + nJ +
0
2
k=0
0
n

1

0, et J 3 = O3 . Comme I3 × J =
0
0
0
0
n(n − 1)
2
n
1
1
0


.

III) Matrices carrées inversibles
1)
Définition
L’ensemble (Mn (K), +, ×) a une structure d’anneau, on peut donc s’intéresser aux éléments inversibles
de cet anneau. C’est à dire aux matrices M ∈ Mn (K) pour lesquelles il existe une matrice N ∈ Mn (K) telle
que M × N = N × N = I n . Si M ∈ Mn (K) est inversible, son inverse sera noté M −1 .
.
DÉFINITION 21.10
.
Le groupe multiplicatif des inversibles de l’anneau (Mn (K), +, ×) est noté GLn (K).
Remarques : puisque (GLn (K), ×) est un groupe, on a :
• le produit de deux matrices inversibles est inversible.
• Si M , N ∈ GLn (K), alors (M × N )−1 = N −1 × M −1 .
Cas particuliers :
• Matrices diagonales inversibles : Soit D = diag(a1 , . . . , an ) ∈ Mn (K), alors D est inversible ssi les
1
1
coefficients diagonaux sont tous non nuls, auquel cas on a : D−1 = diag( , . . . , ).
a1
an
r
P
• Polynômes de matrices : Soit P ∈ K[X ] et A ∈ Mn (K), si P =
ak X k , alors la matrice P(A) est
P(A) =
r
P
k=1
ak Ak (la substitution de X par A est un morphisme d’algèbres), on a alors le résultat
k=1
suivant : Si P(A) = On et si P(0) 6= 0, alors A est inversible.
2)
Retour aux applications linéaires
THÉORÈME
21.11
Ð
Ð Soient E et F deux K-e.v de même dimension n, soit B une base de E et B0 une base de F , soit
Ð
.
F si et seulement si mat0 (u) ∈ GLn (K), si c’est le
. ÐÐ u ∈ L (E, F ), alors u est un isomorphisme de E vers
B,B
Ð
−1
Ð
Ð cas, alors : mat(u−1 ) = mat(u)
.
Ð
B0 ,B
B,B0
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Matrices carrées inversibles
Chapitre 21 : Matrices
Cas des endomorphismes : Si E est un K-espace vectoriel de dimension n et B une base de E, alors on
sait déjà que l’application mat : L (E) → Mn (K) est un isomorphisme d’espaces vectoriels, mais comme
B
(L (E), +, ◦, .) et (Mn (K), +, ×; .) sont des K-algèbres et que mat(u◦v) = mat(u)×mat(v) et mat(id E ) = I n ,
B
B
B
B
on peut affirmer que l’application mat est un isomorphisme d’algèbres. En particulier celui-ci induit un
B
isomorphisme de groupes : mat : GL(E) → GLn (K).
B
THÉORÈME
21.12 (caractérisations des matrices carrées inversibles)
Ð
Ð Soit A ∈ Mn (K), alors les assertions suivantes sont équivalentes :
Ð
Ð
a) A est inversible.
Ð
Ð
Ð
b) Il existe une matrice B ∈ Mn (K) telle que .BA = I n .
.Ð
Ð
Ð
c) L’équation AX = On,1 d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet une unique solution X = On,1 .
Ð
Ð
Ð
d) ∀ Y ∈ Mn,1 (K), l’équation AX = Y d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet une unique solution.
Ð
Ð
Ð
e) ∀ Y ∈ Mn,1 (K), l’équation AX = Y d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet au moins une solution.
Il découle en particulier de ce théorème que si BA = I n alors AB = I n (car A ∈ GLn (K) et donc B = A−1 ),
ce qui est remarquable.
Exemples :
a) Si A ∈ GLn (K), montrer que tA est inversible et que (tA)
t
−1
t
= (A−1 ).
t
Réponse :Posons B = (A−1 ), alors B × tA = (A × A−1 ) = tI n = I n , donc tA est inversible et son inverse est B.


1 λ −1


b) Soit A = 0 2 1 , déterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c’est le cas, calculer
1 0 1
−1
A .
 
 
a
x
 
 
Réponse Soit X =  y  et soit Y =  b, résolvons l’équation AX = Y :
c
z

 x + λy − z = a
2y + z = b
AX = Y ⇐⇒

x +
z = c

 x + λy − z = a
2y + z = b
⇐⇒

− λ y + 2z = c − a (L3 ← L3 − L1 )

λy
= a
 x − z +
z +
2y
= b
⇐⇒
.

− (4 + λ) y = c − a − 2b (L3 ← L3 − 2L2 )
D’où la discussion :
– Si λ = −4 : alors le système n’a pas de solution lorsque c − a − 2b 6= 0, la matrice A n’est donc pas inversible.
– Si λ 6= −4 : le système admet une unique solution qui est :

a + 2b − c
y =


4+λ





−2a + λb + 2c
.
z =

4+λ






2a − λb + (λ + 2)c
x =
4+λ
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Changement de bases
Chapitre 21 : Matrices
Or on sait que cette unique solution est X = A−1 Y , on en déduit alors que :


2
−λ
λ
+
2
1 

2
−1  .
A−1 =
1
4 + λ −2 λ
2
c) soit T ∈ Mn (K) une matrice triangulaire supérieure, montrer que T ∈ GLn (K) ssi ses éléments
diagonaux sont tous non nuls, si c’est le cas, montrer que T −1 est également triangulaire supérieure.

 
x1
y
 .1 
.



Réponse : Supposons les coefficients diagonaux tous non nuls, soit X =  ..  et Y =  .. 
, lorsqu’on résout
yn
xn
le système T X = Y (d’inconnue X ) par substitutions remontantes, on obtient une solution de la forme :

x n = bn,n yn

 x n−1 = bn−1,n−1 yn−1 + bn−1,n yn
.
X=
..


.
x 1 = b1,1 y1 + · · · + b1,n yn

Il y a une seule solution, donc T est inversible, on sait alors que X = T −1 Y , donc les coefficients de la matrice
T −1 sont les coefficients bi, j ci-dessus, ce qui prouve que T −1 est triangulaire supérieure.
Réciproquement, si T est inversible, alors T −1 T = I n , notons ai j les coefficients de T −1 , alors on doit avoir :
a11 a1 = 1, donc a1 6= 0. Puis a21 a1 = 0 donc a21 = 0, puis a22 a2 = 1 donc a2 6= 0. On montre ainsi de proche
en proche que T −1 est triangulaire supérieure et que les coefficients diagonaux de T sont tous non nuls.
IV) Changement de bases
1)
Matrice de passage
DÉFINITION 21.11
Soit E un K-espace vectoriel, soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E , soit S = (x 1 , . . . , x p ) une famille
de vecteurs de E , on appelle matrice du système S dans la base B, la matrice A ∈ Mn,p (K) définie
par : ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], ai, j est la coordonnée sur ei de x j . Autrement dit, pour j ∈ [[1..p]] ,
le j -ième vecteur colonne de A est C j (A) = coord(x j ). Cette matrice est notée PB,S et appelée matrice
B
.
de passage de B à S , elle exprime les vecteurs de
. S dans la base B :

PB,S
x1 · · ·
↓ ···
xp
↓
→ vecteurs de S

a1,1 · · · a1,p → coordonnée sur e1 premier vecteur de B
 .
.. 

..
...
=
. 

an,1 · · · an,p → coordonnée sur en dernier vecteur de B
Exemples :
a) Soit B la base canonique de K3 , soit x 1 = (1, −1,
0) et
1

de la base B au système S = (x 1 , x 2 ) est PB,S = −1
0
x2 =
 (2, −1, 3), alors la matrice de passage
2

−1.
3
b) Soit B = (i, j, k) la base canonique de K3 , soit B0 = (i, i + j, i + j + k), on vérifie que B0 est une base
0
de K3 . Déterminons la matrice du système S précédent dans la base B
x 1 = i − j = 2i − (i + j)
 : on a 
2 3


et x 2 = 2i − j + 3k = 3(i + j + k) − 4(i + j) + 3i, on a donc PB0 ,S = 1 −4.
0 3
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12
Changement de bases
Chapitre 21 : Matrices
Interprétations de la matrice de passage :
a) Dans le cas où p =
6 n : soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E et soit S = (x 1 , . . . , x p ) une famille de
p vecteurs de E. Soit B0 = (u1 , . . . , u p ) la base canonique de K p , on définit l’application linéaire
f : K p → E en posant pour i ∈ [[1..p]], f (ui ) = x i , alors : PB,S = mat
( f ).
0
B ,B
b) Dans le cas où p = n : on a S = (x 1 , . . . , x n ), soit u ∈ L (E) défini par ∀ i ∈ [[1..n]], u(ei ) = x i , on a
alors : PB,S = mat(u).
B
THÉORÈME
21.13 (caractérisation des bases)
.
. ÐÐ Soit B une base de E , et soit B0 = (x , . . . , x ) une
famille de n vecteurs de E , alors B0 est une base
1
n
Ð
0
de E ssi la matrice de passage de B à B est inversible ,i.e. PB,B0 ∈ GLn (K).
Interprétation de la matrice de passage entre deux bases : Soient B et B0 deux bases de E, en considérant l’application id E : (E, B0 ) → (E, B) avec B0 comme base au départ et B comme base à l’arrivée, on
a la relation : PB,B0 = mat
(id E ).
0
B ,B
THÉORÈME
21.14 (application)
. ”
.Ð
—−1
Ð Soient B, B0 , B00 trois bases de E , on a : P 0 = P
et PB,B00 = PB,B0 × PB0 ,B00 .
B ,B
B,B0
2) Formules du changement de bases
Soient B et B0 deux bases de E, pour tout vecteur x ∈ E on peut calculer ses coordonnées dans la base
B : X = Coord(x), ou bien ses coordonnées dans la base B0 : X 0 = Coord(x), on cherche le lien entre X et
X 0.
B0
B
Considérons l’identité : id E : (E, B0 ) → (E, B), on sait que mat
(id E ) = PB,B0 , mais on a id E (x) = x,
0
B ,B
d’où Coord(id E (x)) = PB,B0 × Coord(x), ce qui donne la relation : X = PB,B0 × X 0 , et donc X 0 = PB0 ,B ×
B
B0
”
—−1
X = PB,B0
× X , on peut donc énoncer :
THÉORÈME
21.15 (formules du changement de bases)
Ð
0
(x), on a les
. pose X = Coord(x) et X 0 = Coord
. ÐÐ Soient B et B deux bases de E , soit x ∈ E , on
B
B0
Ð
Ð formules suivantes : X = PB,B0 × X 0 et X 0 = PB0 ,B × X .
Exercice : soit B la base canonique de K3 [X ], on pose B0 = (1, X , X (X − 1), X (X − 1)(X − 2)), montrer
que B0 est une base de K3 [X ] et pour P ∈ K3 [X ] calculer coord
(P).
0

B

1 0 0
0


0 1 −1 2 
Réponse : La matrice de passage de B à B0 est A = 
, cette matrice est triangulaire et ses
0 0 1 −3
0 0 0
1
éléments diagonaux sont tous non nuls, elle est donc inversible, ce qui prouve que B0 est une base
On a
deK3 [X
].
x
a
   
 y   b
−1
−1
la relation Coord
(P)
=
A
×
Coord
(P),
il
faut
donc
calculer
A
,
on
peut
résoudre
l’équation
A
×
  =  , ce
B
B0
z  c
t
d
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Changement de bases
Chapitre 21 : Matrices

a
1

b+c+d
0

, on en déduit que A−1 = 
c + 3d
0
d
0

a


b + c + d
alors Coord
(P)
=

.
B0
 c + 3d 
d

x
 y
qui donne
 z
t
3)
=
=
=
=

0
1
0
0
0
1
1
0

0

1
. Finalement, si P = a + bX + cX 2 + d X 3 ,
3
1
Changement de bases et applications linéaires
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit B1 une base de E et soit B2 une base de F . Si u ∈ L (E, F )
on peut calculer A = mat (u). Si on prend une autre base dans E : B01 et une autre base dans F , B02 , alors
B1 ,B2
on peut calculer A0 = mat
(u), on cherche le lien entre ces deux matrices.
0
0
B1 ,B2
Soit x ∈ E et y = u(x), on pose X = Coord(x), Y = Coord(u(x)), X 0 = Coord(x) et Y 0 = Coord(u(x)).
B1
B2
0
0
B01
B02
On a la relation Y = A × X = A × PB1 ,B01 × X , d’autre part Y = PB02 ,B2 × Y , d’où finalement Y 0 =
PB02 ,B2 × A × PB1 ,B01 × X 0 , c’est à dire Y 0 = PB−1,B0 × A × PB1 ,B01 × X 0 , mais de plus Y 0 = A0 × X 0 , l’égalité
2
2
ayant lieu pour toute colonne X 0 , on a : A0 = PB−1,B0 × A × PB1 ,B01 , on peut donc énoncer :
2
THÉORÈME
2
21.16 (effet d’un changement de bases sur la matrice d’une application
Ð linéaire)
Ð Soient B1 , B01 deux bases de E et P = PB1 ,B0 la. matrice de passage, soient B2 , B02 deux bases de F
1
.Ð
Ð et soit Q = PB ,B0 la matrice de passage, soit u ∈ L (E, F ), on pose A = mat (u), A0 = mat (u), on a
2
Ð
2
B1 ,B2
B01 ,B02
Ð
Ð
Ð alors la relation : A0 = Q−1 × A × P.
THÉORÈME
21.17 (cas des endomorphismes)
Ð
0
. ÐÐ Soient B, B deux bases de E et soit P = PB,B.0 la matrice de passage, soit u ∈ L (E), si on pose
Ð
(u), alors on a la relation : A0 = P −1 × A × P.
Ð A = mat(u) et A0 = mat
0
B
B
‚
Exercice : soit B = (i, j) la base canonique de K2 et soit u ∈ L (K2 ) défini par mat(u) =
B
0
Œ
2 −1
. On
−1 2
pose e1 = (1, 1) et e2 = (1, −1), montrer que B = (e1 , e2 ) est une base de K , et calculer la matrice de u
dans la base B0 . En déduire l’expression de un (x, y).
2
1 1 1
1
,
, cette matrice est inversible et P −1 =
−1
2 1 −1
1 0
on en déduit que B0 est bien une base de K2 et que mat
(u) = A0 = P −1 × A × A =
. On en déduit que
0 3
B0
1 1 + 3n 1 − 3n
1 0
0n
n
0
−1 n
0n
−1
n
A =
, or
, on a alors A = [P × A × P ] = P × A × P ce qui donne : A =
n
1 + 3n
0 3n
2 1−3
n
n
A = mat(u ), par conséquent :
Réponse : La matrice de passage de B à B0 est P =
1
1
B
∀ (x, y) ∈ K2 , un (x, y) =
1
2
(1 + 3n )x + (1 − 3n ) y; (1 − 3n )x + (1 + 3n ) y .
DÉFINITION 21.12
.
. B sont semblables ssi il existe une matrice carrée
Soient A, B ∈ Mn (K), on dit que les matrices A et
−1
inversible P ∈ GLn (K) telle que A = P × B × P .
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14
Rang d’une matrice
Chapitre 21 : Matrices
Remarques :
• Les matrices d’un endomorphisme dans deux bases sont semblables.
• Deux matrices sont semblables lorsque ce sont deux matrices d’un même endomorphisme exprimées
dans deux bases (P étant la matrice de passage).
• La relation « ..est semblable à .. » est une relation d’équivalence dans Mn (K).
4)
.Ð
.Ð
Trace d’un endomorphisme
THÉORÈME
21.18
THÉORÈME
21.19 (conséquence)
.
Soient A, B ∈ Mn (K), on a la propriété : tr(A × B) = tr(B × A).
.
Si A ∈ Mn (K) et si P ∈ GLn (K), alors : tr(A) = tr(P −1 × A × P).
Soit E un espace vectoriel de dimension n, soient B et B0 deux bases de E, et soit u ∈ L (E), on note
(u), on sait alors que A0 = P −1 × A × P avec P = PB,B0 la matrice de passage,
A = mat(u) et A0 = mat
0
B
B
d’après le théorème précédent, on peut affirmer que tr(A) = tr(A0 ).
DÉFINITION 21.13
.
. trace de l’endomorphisme u le scalaire noté tr(u)
Soit u ∈ L (E) et soit B une base de E , on appelle
et défini par : tr(u) = tr(mat(u)), ce scalaire est indépendant de la base B choisie.
B
THÉORÈME
21.20
Ð
. ÐÐ L’application trace, tr : L (E) → K, est une forme. linéaire non nulle sur L (E), qui vérifie :
Ð
Ð
∀ u, v ∈ L (E), tr(u ◦ v) = tr(v ◦ u).
Exercice : soit E un espace vectoriel de dimension n, et soit p ∈ L (E) un projecteur, montrer que tr(p) =
rg(p).
Réponse : Soit r = rg(p), on a E = Im(p) ⊕ ker(p), soit (e1 , . . . , e r ) une base de Im(p) et soit (e r+1 , . . . , en ) une
base de ker(p), alors B = (e1 , . . . , en ) est une base de E et il est clair que mat(p) = Jn,n,r (car Im(p) = ker(p − id E )),
d’où tr(p) = tr(Jn,n,r ) = r = rg(p).
V)
1)
B
Rang d’une matrice
Définition
DÉFINITION 21.14
.
. la matrice A, le rang dans Kn du système constitué
Soit A ∈ Mn,p (K) une matrice, on appelle rang de
par ses p vecteurs colonnes, notation : rg(A) = rg(C1 (A), . . . , C p (A)).
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15
Opérations élémentaires sur les matrices
THÉORÈME
Chapitre 21 : Matrices
21.21
.
.Ð
Ð Soit u ∈ L (E, F ), soit B une base de E , soit B0 une base de F , et soit A = mat0 (u), alors rg(u) = rg(A).
B,B
THÉORÈME
21.22 (conséquence)
Ð
. ÐÐ Soit E un espace vectoriel de dimension n, soit. S = (x 1 , . . . , x p ) une famille de p vecteurs de E et
Ð soit B une base de E , alors le rang de la famille S est égal au rang de la matrice de ce système
Ð
dans la base B.
Calculer le rang d’une application linéaire, ou d’une famille de vecteurs,
revient à calculer le rang d’une matrice.
2)
Propriétés du rang d’une matrice
Les propriétés suivantes découlent de celles du rang des applications linéaires.
a) Soit f ∈ L (E, F ), soit B une base de E avec dim(E) = p, soit B0 une base de F avec dim(F ) = n, et
soit A = mat0 ( f ) ∈ Mn,p (K), on a :
B,B
i) rg(A) ¶ min(n, p).
ii) rg(A) = n ⇐⇒ f est surjective.
iii) rg(A) = p ⇐⇒ f est injective.
b) Si A ∈ Mn (K), alors A ∈ GLn (K) ⇐⇒ rg(A) = n.
c) Si A ∈ Mn,p (K), B ∈ M p,q (K), alors rg(A × B) ¶ min(rg(A), rg(B)).
d) Si A ∈ GLn (K), B ∈ Mn,p (K), alors rg(A × B) = rg(B).
e) Si A ∈ Mn,p (K), B ∈ GL p (K), alors rg(A × B) = rg(A).
.Ð
THÉORÈME
21.23
.
Soit A ∈ Mn,p (K), alors : rg(A) = r ⇐⇒ ∃ U ∈ GLn (K), ∃ V ∈ GL p (K), UAV = Jn,p,r .
Exercice : montrer qu’une matrice A ∈ Mn,p (K) et sa transposée ont le même rang.
Réponse : Il existe U ∈ GLn (K), V ∈ GL p (K) telles que UAV = Jn,p,r avec r = rg(A). On a alors tV tAtU = tJn,p,r =
J p,n,r , ce qui donne le résultat.
VI) Opérations élémentaires sur les matrices
1)
Définition
DÉFINITION 21.15
Soit A ∈ Mn,p (K), on appelle opérations élémentaires sur A les opérations suivantes :
.
• Permuter deux lignes de A (ou deux colonnes), notation : L i ↔ L j (respectivement Ci ↔ C j ).
.
• Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation : L i ← αL i (respectivement Ci ← αCi ).
• Ajouter à une ligne (ou une colonne) un multiple d’une autre ligne (respectivement une autre
colonne), notation : L i ← L i + αL j , avec i 6= j (respectivement Ci ← Ci + αC j )).
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16
Opérations élémentaires sur les matrices
THÉORÈME
21.24
THÉORÈME
21.25
Chapitre 21 : Matrices
Ð
.
A ∈ Mn,p (K) revient à multiplier A à gauche
. ÐÐ Effectuer une opération élémentaire sur une matrice
Ð par une matrice inversible pour les opérations sur les lignes (à droite pour une opération sur les
Ð
colonnes).
.Ð
.
Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice.
2) Calcul pratique du rang d’une matrice
La méthode découle du résultat qui dit que si U × A × V = Jn,p,r avec U, V inversibles, alors rg(A) = r.
La méthode consiste à transformer la matrice A en la matrice Jn,p,r à l’aide des opérations élémentaires
sur les lignes ou les colonnes (méthode de Gauss), à chaque étape, la matrice obtenue a le même rang
que A, plus précisément, à chaque étape la nouvelle matrice s’écrit sous la forme Uk × A × Vk avec Uk , Vk
inversibles.
À l’étape n˚k, le principe est le suivant :
a) On choisit un pivot (i.e. un coefficient non nul) dans les lignes L k à L n et dans les colonnes Ck à C p .
b) On amène le pivot à sa place, c’est à dire sur la ligne L k dans la colonne Ck en échangeant éventuellement deux lignes et/ou deux colonnes.
c) On fait des éliminations en dessous du pivot et au-dessus du pivot pour faire apparaître des 0, avec
les opérations du type : L i ← L i + αL k .
Le processus s’arrête lorsqu’il n’y a plus de pivot, il reste alors à diviser
correspondant (s’il yen a un) pour
faire apparaître un 1 à la place.
3 1
1


2 
Exemple : soit A =  1 0
−1 2 −12
Étape 1 : premier pivot : 1 (ligne L1 colonne C2 )



1 3
1
1



0
1
2
C1 ↔ C2 donne 
 , L3 ← L3 − 2L1 donne 0
2 −1 −12
0
chaque ligne par le pivot

3
1

1
2 .
−7 −14
Étape 2 : deuxième pivot : 1 (ligne L2 colonne C2 )




1 0 −5
1 0
−5




2  , L3 ← L3 + 7L2 donne 0 1 2  .
L1 ← L1 − 3L2 donne 0 1
0 0 0
0 −7 −14
Étape 3 : pas de troisième pivot.



1 0 0
1 0 0




donne 0 1 2 , C3 ← C3 − 2C2 donne 0 1 0 .
0 0 0
0 0 0

C3 ← C3 + 5C1
Donc rg(A) = 2, on remarquera que les deux dernières opérations ne sont pas indispensables pour
conclure.
Exercice : avec la matrice A précédente, déduire de la méthode deux matrices inversibles U et V telles que
UAV = J3,3,2 .
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Opérations élémentaires sur les matrices
Chapitre 21 : Matrices
Réponse : On a effectué les opérations suivantes :

 
 


1 0 0
1 −3 0
1 0 0
0

 
 


0
1
0
0
1
0
0
1
0
×
×
×
A
×

 
 

1
0 7 1
0 0 1
−2 0 1
0
Ce qui donne :

1

U = 0
−2
−3
1
7
1
0
0


0
0


0 et V = 1
1
0
 
0
1
 
0 ×  0
1
0
0
1
0
 
5
1
 
0 ×  0
1
0
0
1
0

0

−2 .
1

−2

5 .
1
1
0
0
Remarque : Pour inverser les matrices U et V , il suffit de reprendre les opérations à l’envers.
Exemple : variante. Il peut être parfois avantageux de n’effectuer que des transformations sur les colonnes,
les éliminations se font alors à gauche et à droite du pivot avec les opérations du type Ci ← Ci + αCk (à
l’étape k). Voici quel peut être l’intérêt :
Soit B = (i, j, k) une base de E et soit u ∈ L (E) défini par mat(u) = A (la matrice précédente), calculons
B
le rang de A (donc le rang de u) en utilisant la variante :
Étape 1 : premier pivot 1 (ligne L1 colonne C2 )


1 3
1


2 
C1 ↔ C2 donne 0 1
2 −1 −12




1 0
1
1 0
0




2  , C3 ← C3 − C1 donne 0 1
2 .
C2 ← C2 − 3C1 donne 0 1
2 −7 −12
2 −7 −14
Étape 2 : deuxième pivot 1 (ligne L2 colonne C2 )


1 0 0


C3 ← C3 − 2C2 donne 0 1 0 , (on termine avec L3 ← L3 − 2L1 puis L3 ← L3 + 7L2 ).
2 −7 0
À l’étape 1, la première matrice obtenue est celle du système (u( j), u(i), u(k)), la deuxième est la matrice
du système (u( j), u(i − 3 j), u(k)) et la troisième est celle du système (u( j), u(i − 3 j), u(k − j)). À la fin de
l’étape 2 on a la matrice du système (u( j), u(i − 3 j), u(−2i + 5 j + k)), on en déduit que non seulement
le rang de u est égal à 2, mais en plus ker(u) = Vect −2i + 5 j + k et Im(u) = Vect u( j), u(i − 3 j) =
Vect u( j), u(i) .
3)
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
Soit A ∈ Mn (K), supposons qu’en r opérations sur les lignes de A on obtienne la matrice I n , on a alors
une relation du type G r × · · · × G1 × A = I n , où Gi est la matrice correspondant à l’opération numéro i.
On peut alors en déduire que la matrice A est inversible et que son inverse est A−1 = G r × · · · × G1 , pour
obtenir cette matrice, il suffit d’effectuer les mêmes opérations (dans le même ordre) sur la matrice I n en
même temps que sur A. La méthode consiste donc à écrire la matrice A suivie de la matrice I n :
a1,1
..
.
an,1
A
···
···
In
a1,n
..
.
1
an,n
O
O
..
.
1
Les opérations sont effectuées sur toute la longueur de chaque ligne. L’objectif est d’obtenir la matrice
I n à la place de A, alors on pourra conclure que A est inversible, et là où il y avait I n on aura A−1 , on utilise
la méthode de Gauss-Jordan1 :
À l’étape k :
1
JORDAN Camille (1838 – 1922) : mathématicien français dont l’œuvre considérable touche tous les domaines des mathématiques.
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Opérations élémentaires sur les matrices
Chapitre 21 : Matrices
• On choisit un pivot (i.e. un coefficient non nul) dans les lignes L k . . . L n et dans la colonne Ck .
• On amène le pivot à sa place : ligne L k (en échangeant éventuellement deux lignes).
• On fait les éliminations (pour faire apparaître des zéros) en dessous et au-dessus du pivot avec les
opérations : L i ← L i + αL k .
Il y a donc au plus n étapes.
Il y a deux cas possibles au cours du processus :
• Si à chaque étape on peut trouver un pivot, alors après l’étape n, il ne reste plus qu’à diviser chaque
ligne par le pivot correspondant pour obtenir la matrice I n : c’est le cas où la matrice A est inversible.
• Si au cours de l’étape k on ne peut pas trouver de pivot dans la colonne Ck et dans les lignes L k . . . L n ,
alors on est dans la situation suivante, à l’issue de l’étape k − 1 :
∗ ··· ··· ∗
..
..
0
0
.
.
..
..
..
.
pk−1 ∗ ∗ ∗ .
.
..
..
..
.
0
0 ∗ ∗ .
.
..
..
.. .. .. ..
..
.
.
. . . .
.
0 ···
0
0 ∗ ∗ ∗ ··· ··· ∗
p1 , . . . , pk−1 désignent les pivots des k − 1 étapes précédentes, ces pivots étant non nuls, il est facile
de voir qu’avec des opérations sur les colonnes, on peut faire apparaître des zéros dans la colonne
k sur les lignes L1 . . . L k−1 , sans changer les coefficients des lignes L k . . . L n de cette même colonne.
La matrice ainsi obtenue possède une colonne nulle, donc son rang est inférieur ou égal à n − 1, or
cette matrice 
a le même rang
 que A, donc nous sommes dans le cas où A est non inversible.
2 4 2
2 4 2 1 0 0


Exemple : soit A = 0 1 1 , appliquons la méthode de Gauss-Jordan : 0 1 1 0 1 0 .
2 2 -1 0 0 1
2 2 −1
Étape 1 : pivot p1 = 1, ligne L1 colonne C1 , éliminations : L3 ← L3 − L1 , ce qui donne :
p1
0
..
.
0
∗
..
.
∗
..
.
2 4
2
0 1
1
0 −2 −3
∗
..
.
1 0 0
0 1 0
−1 0 1
Étape 2 : pivot p2 = 1, ligne L2 , colonne C2 , éliminations : L1 ← L1 − 4L2 et L3 ← L3 + 2L2 , ce qui donne :
2 0 −2
0 1 1
0 0 −1
1 −4 0
0
1 0
−1 2 1
Étape 3 : pivot p3 = −1, ligne L3 , colonne C3 , éliminations : L1 ← L1 − 2L3 et L2 ← L2 + L3 , ce qui donne :
2 0 0
0 1 0
0 0 −1
3 −8 −2
−1 3
1
−1 2
1

3/2 −4 −1


1 .
En conclusion, la matrice A est inversible et son inverse est : A−1 =  −1 3
1 −2 −1

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19
Exercices
Chapitre 21 : Matrices
VII) Exercices
ÆExercice 21.1
Soit E = R4 [X ], soit f : E → E définie par f (P) = (X − 1)P 0 − P.
a) Vérifier que f est linéaire et calculer sa matrice dans la base canonique de E.
b) Calculer, le rang de f , une base de ker( f ), une base de Im( f ).
c) Déterminer f 2 , une base de ker( f 2 ), une base de Im( f 2 ).
ÆExercice 21.2
−
→
Soient E = R3 , F = Vect [[] −
e→
1 ] où e1 = (1, 1, 1), et G le plan d’équation 2x − y + z = 0. Montrer
que F et G sont supplémentaires et déterminer la matrice dans la base canonique de la projection
sur G parallèlement à F , puis la matrice de la symétrie par rapport à G et parallèlement à F .
ÆExercice 21.3
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, soit
 f
0

qu’il existe une base B de E telle que mat( f ) = 1
B
0
∈
0
0
0
2
L (E)
 telle que f 6= 0 et f = 0. Montrer
0

0 .
0
ÆExercice 21.4
a) Soit E = { f : x 7→ P(x)e x / P ∈ Kn [X ]}, on note B la base naturelle de E. Calculer la matrice
de la dérivation dans la base B, étudier son inversibilité.
2
b) Étudier les polynômes P de degré inférieur ou égal à 3 tels que la fonction x 7→ P(x)e x ,
2
admette une primitive de la forme x 7→ Q(x)e x où Q désigne un polynôme.
ÆExercice 21.5


a − b b − c 2c


a + b −b / a, b, c ∈ K}, montrer que E est un K-espace vectoriel, calculer
Soit E = { 2a
b
c
a
sa dimension. Est-ce une algèbre ?
ÆExercice 21.6


a b c


Soit E = {0 a b / a, b, c ∈ K}, montrer que E est une K-algèbre, calculer sa dimension.
0 0 a
Déterminer U(E) le groupe des inversibles de E. Pour M ∈ E, calculer M n (n ∈ N).
ÆExercice 21.7

0 −2 −2
1

a) Soit A = 2 0 −1, on pose B = A2 , C = A3 , U = A4 . Montrer que ({U, A, B, C}, ×) est
3
2 1
0
un groupe multiplicatif. Montrer que ces quatre matrices ont le même rang.

b) Soit G une partie de Mn (K), on suppose que (G, ×) est un groupe, on note E son élément
neutre. Montrer que E est un projecteur. Montrer que les endomorphismes canoniquement
associés aux éléments de G ont tous le même noyau, la même image et que ces deux s.e.v
sont supplémentaires dans Kn .
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20
Exercices
Chapitre 21 : Matrices
ÆExercice 21.8
On considère trois suites réelles (an ), (bn ) et (cn ) qui vérifient pour tout entier n ∈ N :

 an+1 = bn + cn
b
= an + cn . Déterminer l’expression de an , bn et cn en fonction de a0 , b0 , c0 et de n.
 n+1
cn+1 = an + bn


0 1 1


On pourra introduire les matrices : A = 1 0 1, et B = A + I3 .
1 1 0
ÆExercice 21.9
Soient A, B ∈ Mn (K) définies par ai, j = δi+1, j et bi, j = δi, j + δi+1, j . Calculer Ap , en déduire B p .
ÆExercice 21.10
Soit F = Tns (K) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures dans Mn (K). Montrer que F est
une sous-algèbre de Mn (K), calculer sa dimension, et déterminer le groupe des inversibles.
ÆExercice 21.11
Soit ϕ une forme linéaire sur Mn (K) qui vérifie :
∀ A, B ∈ Mn (K), ϕ(A × B) = ϕ(B × A).
Montrer qu’il existe un scalaire λ tel que ∀ A ∈ Mn (K), ϕ(A) = λtr(A).
ÆExercice 21.12

a

Pour a, b, c ∈ C, on note M (a, b, c) =  c
b
{M (a, b, c, ) / a, b, c ∈ C}.
b
a
c



c
0 1 0



b, on pose I = I3 J = 0 0 1, et E =
a
1 0 0
a) Calculer J n pour n ∈ N. Montrer que E est un C-espace vectoriel de dimension 3 et que
B = (I, J, J 2 ) est une base de E.
b) Montrer que E est une sous-algèbre commutative de M3 (C).
c) Soit P ∈ C[X ], montrer qu’il existe a, b, c ∈ C tels que P(J) = M (a, b, c), en déduire que
E = {M ∈ M3 (C) / ∃ P ∈ C[X ], M = P(J)}.
Soient U la base canonique de C3 , et u l’endomorphisme de C3 canoniquement associé à J.
d) Montrer que ker(u−id), ker(u− jid) et ker(u− j 2 id) sont trois droites vectorielles, on les note
respectivement D1 , D2 , D3 . Pour i ∈ [[1..3]], on pose −
e→
i le vecteur de Di dont la première
−
→
−
→
−
→
0
composante vaut 1, et on pose U = (e1 , e2 , e3 ). Montrer que U 0 est une base de C3 .
e) Soit P la matrice de passage de U à U 0 , sans calculer P −1 , déterminer D la matrice de u dans
la base U 0 .
f) Montrer que P −1 × M (a, b, c) × P est une matrice diagonale, en déduire [M (a, b, c)]n , pour
n ∈ N, en fonction de a, b, c, n et P.
g) Montrer que la matrice M (a, b, c) est inversible ssi les complexes 1, j, j 2 ne sont pas racines
du polynôme a + bX + cX 2 .
h) Montrer que M (a, b, c) est inversible ssi PGCD(a + bX + cX 2 , X 3 − 1) = 1. En déduire que
lorsque M (a, b, c) est inversible, alors son inverse est dans E.
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC
Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)
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