Généralités sur les fonctions A/ Intervalle

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- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -

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Généralités sur les fonctions

Chapitre :

Date :

A/ Intervalle

1) Activité

Sur l’axe ci-dessous gradué en centimètre de 0 à 10, placer les point M et N d’abscisses respectives 2 et 5.

Indiquer en rouge la partie de l’axe qui correspond aux nombres x tels que 2 ≤ x ≤ 5

Les nombre 2 et 5 font partie de l’intervalle I note [ 2 ; 5 ]

2) A retenir

L’intervalle

est l’ensemble de nombre tel que :

Remarque :

Le signe + ∞ se lit « plus l’infini » et le signe - ∞ se lit « moins l’infini ».

Lorsque l’on utilise des crochets pour désigner un intervalle, leur orientation indique si les valeurs

extrêmes font partie ou non de l’intervalle.

3) Exemples

] 0 ; 10 [ est équivalent à 0 < x < 10

(0 et 10 ne font pas partie de l’intervalle)

[ – 2 ; 2 ] est équivalent à -2 ≤ x ≤ 2

(– 2 et 2 font partie de l’intervalle)

...........................................................................................................................................................

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

10

– 2

2

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B/ Notion de fonction

1) Activité

Pour réaliser une enseigne, on découpe un orifice carré de côté x cm

dans une plaque rectangulaire de longueur 2 m et largeur 1 m

comme l'indique la figure.

a) Calculer l'aire hachurée A pour

x = 0,25 m

x = 0,5 m

x= – 0,75 m

b) Exprimer l'aire hachurée A de l'enseigne en fonction de x.

Calculer A pour x = 0,83 m.

À chaque valeur de x correspond une valeur unique A de l'aire :

on dit que l'aire de l'enseigne est fonction de la variable x.

Soit f la fonction qui à chaque valeur de x fait correspondre A.

La nature du problème impose d'avoir 0 ≤ x ≤ 1 ; on dit que la fonction f est définie sur l'intervalle [ 0 ; 1 ].

2) A retenir

...........................................................................................................................................................

1

x

2

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3) Exemple

La fonction f qui à toute valeur de x fait correspondre x² – 1 est notée :

f : x x² – 1 (lire : x donne x² – 1) ou f(x) = x² – 1 (lire : f de x égale x² – 1).

L'image de 2 est f(2) = 22 – 1 = 3.

Pour les valeurs positives de la variable, l'antécédent de 3 est 2.

C/ Représentation graphique

1) Activité

La fonction f qui à chaque valeur de x de l'intervalle [ 0 ; 1 ]

fait correspondre l'aire A est f : x 2 – x².

A l'aide d'un ordinateur muni d'un logiciel traceur de courbes,

on a obtenu le graphique ci-contre.

a) Retrouver graphiquement l'aire de l'enseigne pour

x = 0,25 m

x = 0,5 m

x = 0,75 m

b) Pour quelle valeur de x a-t-on A = 1,6 m² ?

2) A retenir

...........................................................................................................................................................

0

1

x

0

1

2

y

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3) Exemple

La courbe ci-contre est la représentation graphique de la fonction

f : x x² — 2 définie dans l'intervalle [ – 2 ; 2 ]. On la note Cf.

D/ Sens de variation d’une fonction

1) Activité

Sur le graphique ci-contre, on peut partager l'intervalle [ 0 ; 30 ]

en trois intervalles [ 0 ; 10 ], [ 10 ; 25 ] et [ 25 ; 30 ].

Lorsque x augmente de 0 à 10, l'observation du graphique

suggère que la fonction augmente.

Entre quelles valeurs la fonction augmente-t-elle ?

Dans ce cas, on dit que la fonction est croissante

sur l'intervalle [ 0 ; 10 ].

Que peut-on dire de la fonction lorsque x augmente de 10 à 25 ?

La valeur de la fonction ne varie pas sur l'intervalle [ 10 ; 25 ], on dit que la fonction est constante

sur cet intervalle.

Lorsque x augmente de 25 à 30, l'observation du graphique suggère que la fonction diminue.

Entre quelles valeurs la fonction diminue-t-elle ?

Dans ce cas, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle [ 25 ; 30 ].

0

1

Cf

0

1

x

y

0

10

20

30

x

0

10

20

y

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2) A retenir

3) Exemples

- Au démarrage, la vitesse d'un TGV augmente de 0 à 300 km/h.

La vitesse est une fonction croissante du temps pendant la phase d'accélération.

- Au freinage, la vitesse du TGV diminue de 300 km/h à 0.

La vitesse est une fonction décroissante du temps pendant la phase de ralentissement.

- L'affranchissement d'une lettre de 0 à 20 g (tarif normal) est 0,50 € quel que soit le

poids de la lettre dans cet intervalle.

L'affranchissement est une fonction constante du poids sur l'intervalle [ 0 ; 20 ].

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