Généralités sur les fonctions A/ Intervalle

Chapitre :
NOM :
Généralités sur les fonctions
Prénom :
Date :
Classe :
A/ Intervalle
1) Activité
Sur l’axe ci-dessous gradué en centimètre de 0 à 10, placer les point M et N d’abscisses respectives 2 et 5.
Indiquer en rouge la partie de l’axe qui correspond aux nombres x tels que 2 ≤ x ≤ 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Les nombre 2 et 5 font partie de l’intervalle I note [ 2 ; 5 ]
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
2) A retenir
L’intervalle
est l’ensemble de nombre tel que :
Remarque :
Le signe + ∞ se lit « plus l’infini » et le signe - ∞ se lit « moins l’infini ».
Lorsque l’on utilise des crochets pour désigner un intervalle, leur orientation indique si les valeurs
extrêmes font partie ou non de l’intervalle.
3) Exemples
] 0 ; 10 [ est équivalent à 0 < x < 10
(0 et 10 ne font pas partie de l’intervalle)
[ – 2 ; 2 ] est équivalent à -2 ≤ x ≤ 2
(– 2 et 2 font partie de l’intervalle)
0
–2
10
2
Page 1 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
B/ Notion de fonction
2
1) Activité
x
Pour réaliser une enseigne, on découpe un orifice carré de côté x cm
dans une plaque rectangulaire de longueur 2 m et largeur 1 m
comme l'indique la figure.
a) Calculer l'aire hachurée A pour
x = 0,25 m
x = 0,5 m
x= – 0,75 m
1
b) Exprimer l'aire hachurée A de l'enseigne en fonction de x.
Calculer A pour x = 0,83 m.
À chaque valeur de x correspond une valeur unique A de l'aire :
on dit que l'aire de l'enseigne est fonction de la variable x.
Soit f la fonction qui à chaque valeur de x fait correspondre A.
La nature du problème impose d'avoir 0 ≤ x ≤ 1 ; on dit que la fonction f est définie sur l'intervalle [ 0 ; 1 ].
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
2) A retenir
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Page 2 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
3) Exemple
La fonction f qui à toute valeur de x fait correspondre x² – 1 est notée :
f:x
x² – 1 (lire : x donne x² – 1) ou f(x) = x² – 1 (lire : f de x égale x² – 1).
L'image de 2 est f(2) = 22 – 1 = 3.
Pour les valeurs positives de la variable, l'antécédent de 3 est 2.
C/ Représentation graphique
y
1) Activité
La fonction f qui à chaque valeur de x de l'intervalle [ 0 ; 1 ]
fait correspondre l'aire A est f : x
2 – x².
A l'aide d'un ordinateur muni d'un logiciel traceur de courbes,
on a obtenu le graphique ci-contre.
a) Retrouver graphiquement l'aire de l'enseigne pour
x = 0,25 m
x = 0,5 m
x = 0,75 m
y
2
1
0
0
1
x
b) Pour quelle valeur de x a-t-on A = 1,6 m² ?
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
2) A retenir
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Page 3 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
y
Cf
3) Exemple
1
La courbe ci-contre est la représentation graphique de la fonction
f:x
x² — 2 définie dans l'intervalle [ – 2 ; 2 ]. On la note Cf.
0
0
1
x
D/ Sens de variation d’une fonction
1) Activité
Sur le graphique ci-contre, on peut partager l'intervalle [ 0 ; 30 ]
en trois intervalles [ 0 ; 10 ], [ 10 ; 25 ] et [ 25 ; 30 ].
Lorsque x augmente de 0 à 10, l'observation du graphique
suggère que la fonction augmente.
Entre quelles valeurs la fonction augmente-t-elle ?
y
20
10
Dans ce cas, on dit que la fonction est croissante
sur l'intervalle [ 0 ; 10 ].
0
0
10
20
30
Que peut-on dire de la fonction lorsque x augmente de 10 à 25 ?
La valeur de la fonction ne varie pas sur l'intervalle [ 10 ; 25 ], on dit que la fonction est constante
sur cet intervalle.
Lorsque x augmente de 25 à 30, l'observation du graphique suggère que la fonction diminue.
Entre quelles valeurs la fonction diminue-t-elle ?
Dans ce cas, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle [ 25 ; 30 ].
Page 4 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
x
2) A retenir
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
3) Exemples
- Au démarrage, la vitesse d'un TGV augmente de 0 à 300 km/h.
La vitesse est une fonction croissante du temps pendant la phase d'accélération.
- Au freinage, la vitesse du TGV diminue de 300 km/h à 0.
La vitesse est une fonction décroissante du temps pendant la phase de ralentissement.
- L'affranchissement d'une lettre de 0 à 20 g (tarif normal) est 0,50 € quel que soit le
poids de la lettre dans cet intervalle.
L'affranchissement est une fonction constante du poids sur l'intervalle [ 0 ; 20 ].
Page 5 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
Exercice 1 :
Traduire ces inégalités par des intervalles
Dans chaque cas, placer l’intervalle sur un axe gradué (unité 1cm)
0
x
4
–5<x<5
x>0
x
0
1
x
2
– 2 < x < –1
0<x
0
x
Exercice 2 :
Soit la fonction f définie pour tout nombre x par f(x) = 2x + 3
Calculer : f(0) , f(1)
Calculer les images de 2 et de 3.
Exercice 3 :
Soit la fonction f définie pour tout nombre x par f(x) = – 0,5x + 1
Calculer : f(1) , f(1,5)
Calculer les images de –2 et de 0.
Exercice 4 :
Soit la fonction f définie pour tout nombre x par f(x) = 2x² – 3
Compléter le tableau suivant.
x
–2
0
1
2
Page 6 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
f(x)
y
Exercice 5 :
Soit la fonction f dont la représentation graphique
est donnée ci-contre.
1) Quelle est l’image de 3 ?
2) Quel est l’antécédent de 3,
c'est-à-dire le nombre dont l’image est 3 ?
1
0
0
1
x
3) Quels sont les antécédents de 1 ?
4) Déterminer graphiquement f(0) , f(2), f(0) , f(4), f(6) , f(8)
y
Exercice 6 :
Quel est le sens de variation de la fonction f
dont la représentation graphique est ci-contre
sur les intervalles [ 0 ; 2 ], [ 2 ; 4 ], [ 4 ; 8 ] ?
1
0
0
1
x
y
Exercice 7 :
Donner un exemple de représentation graphique
d’une fonction qui serait :
- croissante sur l’intervalle [ -3 ; -1 ]
- décroissante sur [ -1 ; 1 ]
- constante sur l’intervalle [ 1 ; 3 ]
1
0
0
1
x
Page 7 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
y
4
Exercice 8 :
On considère la fonction f représentée ci-contre.
Déterminer graphiquement sur quel(s)
intervalle(s) la fonction f est croissante,
3
décroissante ou constante.
2
1
0
0
1
2
3
4
Exercice 9 :
Soit la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle [ 0,5 ; 5 ] par f(x) =
–x
x
1) Calculer f(0,5) , f(1), f(2) , f(3), f(4) , f(5)
2) Placer les points correspondant dans un repère orthonormé d’unité graphique 1 cm
1
0
0
1
3) Tracer l’allure de la courbe.
4) Peut-on être sur que la représentation graphique de la fonction f est proche de celle-ci ? Pourquoi ?
Page 8 sur 8
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS -
5
x