1 Éléments de logique 2 Vocabulaire de théorie des ensembles

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Programme de colle n°1 de la semaine n°4 du 19/09 au 23/09
1 Éléments de logique
1. Connecteurs logiques : «non»,«et», «ou», «implique», «équivaut». Tables de vérité. À retenir absolu-
ment :
• la négation de (P⇒Q) est (Pet non Q).
• l’assertion (P⇒Q) est équivalente à (non Q⇒non P). On dit que (non Q⇒non P) est la
proposition contraposée de (P⇒Q).
Exemple :(⋆)montrer par contraposée que si n2est pair alors nest pair.
• Les lois de Morgan :
non(Pet Q)⇔(nonPou non Q)
non(Pou Q)⇔(nonPet non Q).
• L’associativité des connecteurs «et», «ou»
• la distributivité du connecteur logique «ou» par rapport au connecteur logique «et» :
((Pet Q) ou R)⇔((Pou R) et (Qou R)) .
2. Quantificateurs :∀et ∃. Notation ∃!. Négation et permutation des quantificateurs. On retiendra que :
• la négation de (∀x∈E, P (x)) est (∃x∈E, non P(x)) et la négation de (∃x∈E, P (x)) est
(∀x∈E, non P(x)).
• on peut permuter deux quantificateurs de même type, mais on ne peut rien dire à priori dans le cas
de quantificateurs de types différents.
Il faut savoir écrire la négation d’assertions et savoir dire si une assertion est vraie ou fausse.
2 Vocabulaire de théorie des ensembles
1. Vocabulaire : éléments d’un ensemble, inclusion, sous-ensemble ou partie, notation avec «accolades».
(⋆)L’ensemble vide 1est une partie de n’importe quel ensemble A. Utilisation de la double inclusion pour
prouver l’égalité de deux ensembles.
Attention :
• ne pas confondre les symboles ∈et ⊂.
• Ne pas confondre ∅et {∅}. Le premier désigne l’ensemble vide et le second désigne un ensemble
constitué d’un élément qui est l’ensemble vide.
2. Opérations sur les ensembles :
• Intersection, réunion, complémentaire, différence (A\B=A∩B). Exemple, R\Qest non vide car
√2 est irrationnel.
On a toujours les inclusions suivantes :
(A∩B)⊂A⊂(A∪B).
• Traduction ensembliste des lois de Morgan
A∪B=A∩Bet A∩B=A∪B.
• Associativité et Distributivité de l’intersection et de la réunion
• Les relations suivantes doivent vous paraître évidentes :
A∪A=E, A ∩A=∅;A∩ ∅ =∅, A ∪ ∅ =A.
3. Produit cartésien
1. En effet, l’assertion (∃x∈ ∅, x /∈A) est fausse donc sa négation (∀x∈ ∅, x ∈A) est vraie, ce qui prouve que ∅ ⊂ A.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
3 Quelques résultats sur les sommes
1. Utilisation du symbole sigma
si (zi)i∈Iest une famille finie de nombres complexes, on note Pi∈Izila somme 2des éléments de la famille
(zi)i∈I.
Si I=Jm, nK, on note cette somme
n
X
i=m
zi, et si Iest vide, on convient que Pi∈Izi= 0.
2. Quelques sommes classiques :
• Sommes de puissances d’entiers 3:
(⋆)
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2et (⋆)
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
• la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à la moyenne des termes extrêmes
multiplié par le nombre de termes.
• Sommes géométriques : on retiendra la formule suivante
S=premier terme −suivant du dernier
1−raison .
En particulier, on a
(⋆)
n
X
k=0
qk=1−qn+1
1−q(q6= 1)
• La relation suivante généralise l’identité remarquable a2−b2= (a−b)(a+b)
an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+···+a1bn−2+bn−1) = (a−b)
n−1
X
k=0
akbn−1−k.
On a en particulier, par exemple
x5−1 = (x−1)(x4+x3+x2+x+ 1) et x5+ 1 = (x+ 1)(x4−x3+x2−x+ 1).
Cette relation peut être utile aussi en arithmétique, puisque si aet bsont des entiers, elle montre
que a−bdivise an−bn.
3. Initiation au changement d’indice, séparation des termes d’indice pair et impair
Retenir qu’un changement d’indice est juste une façon de renuméroter les termes de la somme. En parti-
culier, le nombre de termes de la somme doit être le même.
Pour le découpage «modulo 2» :
n
X
k=0
uk=
⌊n
2⌋
X
p=0
u2p+
⌊n−1
2⌋
X
p=0
u2p+1.
4. Sommes à double indice : cela revient à additionner tous les termes d’une matrice.
• Cas d’un domaine rectangulaire du type K=Jm, nK×Jp, qK. On note alors
X
k∈K
zk=X
m6i6n
p6j6q
zi,j .
Selon que l’on additionne par «paquets» de lignes ou de colonnes, on a :
X
m6i6n
p6j6q
zi,j =
n
X
i=m
q
X
j=p
zi,j 
=
q
X
j=p n
X
i=m
zi,j !.
2. De même, le produit des éléments de la famille (zi)i∈Ise note Qi∈Iziavec la convention que ce produit vaut 1 si Iest vide.
3. Pour calculer Pn
k=1 k2, on part de (k+ 1)3−k3= 3k2+ 3k+ 1, puis on somme chaque membre, la somme de gauche étant
télescopique.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3
• Cas d’un domaine triangulaire du type K={(i, j)∈N2|16i6j6n}.
On a alors
X
16i6j6n
zi,j =
n
X
i=1 
n
X
j=i
zi,j 
=
n
X
j=1 j
X
i=1
zi,j !.
Exemple : X
16i6j6n
i=n(n+ 1)(n+ 2)
6.
• Corollaire : produit de deux sommes, on a
X
i∈I
ai×X
j∈J
bj=X
(i,j)∈I×J
aibj.
Application au produit de deux polynômes
4 Coefficients binomiaux, binôme de Newton
La notation factorielle : n! = 1 ×2× ··· × nsi n∈N∗et 0! = 1.
4.1 Dénombrement d’une collection d’objets ordonnés et désordonnés
1. Notion de p-liste
Une liste est ordonnée. Ainsi les deux listes (1,2) et (2,1) sont différentes. Il faut savoir les dénombrer
à l’aide d’un arbre ou de la «technique des cases».
Une situation modèle : on tire successivement pboules dans une urne qui en contient n. S’il y a remise,
le nombre de tirages possibles est np, s’il n’y a pas remise, il y a n×(n−1) ×...(n−(p−1)) = n!
(n−p)!
tirages possibles.
Cas d’une permutation.
2. Nombres de parties à pd’un ensemble à néléments.
Lorsque l’ordre des éléments ne compte pas, on peut modéliser la collection d’objet par un ensemble. Le
nombre de parties à péléments d’un ensemble à néléments noté n
pvaut
n
p=n!
p!(n−p)!.
Exemple : s’il y a 15 chevaux partants, le nombre de tiercés possibles dans l’ordre est : est 15 ×14 ×13.
Le nombre de tiercés dans le désordre est 15
3=15!
3!12! .
Remarque : le nombre n
pest aussi le nombre de branches conduisant à psuccès lors de la répétition de n
épreuves de Bernoulli.
4.2 Coefficients binomiaux
On étend la définition des coefficients binomiaux à des entiers quelconques :
n
k=n!
(n−k)!k!si 0 6k6net n
k= 0 sinon .
Voici trois propriétés fondamentales qui caractérisent les coefficients binomiaux :
• pour tout n∈N, on a n
0= 1.
• Symétrie : n
k=n
n−k.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 4
• Relation du triangle de Pascal : (⋆)
n−1
k−1+n−1 k=n k.
Cela permet de les calculer à la main.
Savoir dire instantanément que n
0= 1,n
1=n, n
n−1=n, n
n= 1 grâce à l’interprétation ensembliste.
4.3 Formule du binôme de Newton
(⋆)Formule du binôme : soit n∈Net (a, b)∈C2, on a
(a+b)n=n
nanb0+n
n−1an−1b+n
n−2an−2b2+···+n
1a1bn−1+n
0a0bn=
n
X
k=0 n
kakbn−k.
Attention la somme démarre à k= 0.
Il faut savoir développer rapidement des expressions du type (1 + x)5et (1 −x)5en lisant les coefficients
dans le triangle de Pascal sur la ligne 5. Mais il faut aussi savoir faire le contraire et reconnaître des sommes
qui sont le développement d’expressions du type (a+b)n. Par exemple
n
X
k=0 n
k(−1)k=
n
X
k=0 n
k(−1)k1n−k= (1 −1)n= 0.
De même, n
X
k=0 n
k=
n
X
k=0 n
k1k1n−k= (1 + 1)n= 2n.
Cette dernière égalité montre que la somme des coefficients diagonaux de la ligne d’indice n(du triangle de
Pascal) vaut 2n.
La semaine prochaine: Nombres complexes