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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 1
DEVOIR SURVEILLÉ nř1 du samedi 23 septembre
Durée : 4 heures de 8h à 12h. Les calculatrices sont interdites.
Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
1 Pour démarrer
Exercice 1 (Nombres complexes et Brevet de trigonométrie) Les trois questions sont indé-
pendantes.
1. On pose Z=
1
2(√6−i√2)
1−i.
(a) Donner l’écriture algébrique de Z.
(b) Donner une écriture exponentielle de Z.
(c) Déduire des deux questions précédentes les valeurs exactes de cos π
12 et sin π 12 .
2. Calculer les intégrales suivantes :
π
2
0
cos2xdxet π
2
0
sin(x) cos(2x)dx.
3. Déterminer des réels a, b, A, B tels que :
∀x∈R,cos3(x) = Acos(ax) + Bcos(bx).
On pourra développer (eix +e−ix)3.
Exercice 2 (Questions en vrac) Les questions sont indépendantes
1. Calculer les sommes suivantes (n∈N) :
(a)
n
i=0
2i
32i−1(b) 301 + 304 + 307 + ··· + 739 + 742 (c)
n
k=0 n
k+ 13k
2. Démontrer par récurrence que n!>2n.
3. Combien existent-ils de nombres à 10 chiffres dont tous les chiffres sont pairs.
4. La classe de MPSI constituée de 36 élèves désire inscrire une équipe de 10 joueurs pour le tournoi
de volley du lycée. Combien d’équipes différentes peut-elle former ?
5. Soit xun élément d’un ensemble E. Déterminer P({x})puis P(P({x})).
6. Soit Pet Qdeux assertions. Déterminer en justifiant, une assertion Atelle que l’assertion
(Pou Q)soit équivalente à l’assertion (non P=⇒A).
7. Calculer 
16i6j6n
i
j+ 1.
Exercice 3 (Négations en vrac) Pour chaque assertion, écrire sa négation puis préciser si l’asser-
tion est vraie.
1. ∀n∈N,∃m∈N, m2>2017n.
2. ∃y∈R,∃x∈[0,+∞[,−x < y < x.
3. ∀x∈R,(x2>9⇒x > 3).
Exercice 4 (Une identité binomiale) Soit n∈N∗.
1. Simplifier la somme n
k=1 (−1)k2n
k−(−1)k−12n k−1.
2. En déduire la valeur de la somme
n
k=0
(−1)k2n+ 1
k.

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2 Pour finir
Exercice 5 (Inégalité arithmético-géométrique) Soit n∈N∗et xun réel positif ou nul. On
appelle racine n-ième de x, noté n
√xou x1
nl’unique réel positif ou nul rtel que rn=x. Par exemple,
3
√8 = 2 car 23= 8.
L’objectif de l’exercice est de démontrer la proposition suivante :
Proposition 1 Soit n∈N∗et x1, x2, . . . , xndes réels strictement positifs. Alors on a
n
n
k=1
xk61
n
n
k=1
xk.
Le réel 1
n
n
k=1
xkest la moyenne arithmétique de x1, . . . , xn, et le réel n
n
k=1
xkest appelé moyenne
géométrique de x1, . . . , xn.
1. Le prix de mon café augmente de 20% cette année, de 5% l’année prochaine et de 25% l’année
suivante. Quelle variation moyenne aura-t-il subi sur ces trois années (on ne demande pas de faire
l’application numérique) ?
2. Démontrer l’inégalité pour n= 2.
3. Cas général : on note mla moyenne arithmétique de x1, . . . , xn.
Simplifier la somme n
k=1 xk
m−1, puis conclure (on pourra utiliser librement l’inégalité clas-
sique suivante : pour tout x > 0, on a ln(x)6x−1où ln désigne la fonction logarithme
népérien).
Fin de l’énoncé