Développement de Notons le coefficient de dans le développement

Développement de 
Notons 
 le coefficient de 
 dans le développement de  ; alors le
calcul suivant montre la relation (*) 
 pour tout  tel que  :
Remarquons que
La relation (*) permet de construire les coefficients binomiaux de proche en proche dans le diagramme du
triangle de Pascal :
Développement de 
Posons  , alors 
A PROPOS DES COEFFICIENTS BINOMIAUX

Interprétation Combinatoire des Coefficients Binômiaux
Si on écrit  comme un produit de  facteurs égaux à  :
Alors la règle de distributivité nous dit que pour obtenir le développement, on doit choisir de toutes
les façons possibles un terme égal soit à , soit à 1 dans chaque facteur ; le produit  s’obtient
donc en choisissant de toutes les façons possibles  termes égaux à  et  termes égaux à 1 ; son
coefficient 
est donc le nombre de manières de choisir  positions parmi  ; on dit aussi le
nombre de combinaisons à  éléments parmi .
Dans cette interprétation combinatoire, on peut montrer à nouveau la formule 
Pour évaluer le nombre de combinaisons à éléments parmi , on peut distinguer entre celles
qui contiennent un élément donné, par exemple la position 1, et celles qui ne la contiennent pas
(autrement dit, discuter dans le développement du binôme  selon que c’est  ou bien 
qui a été choisi en 1
ère
position) : celles qui contiennent la position 1 sont au nombre de 
(en effet, la position 1 étant déjà retenue, il reste à choisir  positions parmi les  restantes), et
celles qui ne la contiennent pas sont au nombre de 
 (en effet, la position 1 n’étant pas retenue, il
reste à choisir  positions parmi les  restantes), d’où la formule (*), vue cette fois-ci d’un point de
vue combinatoire.
Formule donnant les Coefficients Binômiaux
Une combinaison à  éléments parmi  est la donnée de  éléments sans notion d’ordre en ces
éléments ; on définit aussi la notion d’arrangement à  éléments parmi , qui est la donnée d’un
 d’éléments distincts choisis parmi les  , l’ordre dans lequel ils sont énumérés étant cette
fois-ci pris en compte.
Le nombre d’arrangements à  éléments parmi  se calcule aisément : il y a  choix pour le premier
élément,  choix pour le second élément,  choix pour le troisième élément, etc…,
 choix pour le p-ième élément, d’où 
arrangements possibles  éléments parmi .
Il existe autant d’arrangements correspondant à une même combinaison (à  éléments parmi )
que de nombre de façons de permuter les  éléments en question, soit 
(même raisonnement, en considérant une permutation comme un arrangement à  éléments parmi
 : il y a  choix pour le premier élément,  choix pour le second élément,  choix pour
le troisième élément, etc…, un seul choix pour le p-ième et dernier élément.
On en conclut que le nombre de combinaisons à  éléments parmi  est donné par la formule :
à partir de laquelle on vérifiera aisément la
formule (*) du triangle de Pascal.

Coefficients Binômiaux et Tirage du Loto
Le nombre de combinaison de six nombres choisis parmi les entiers de 1 à 49 vaut :
La probabilité  de détenir la combinaison gagnante, toutes les combinaisons étant supposées
équiprobables au tirage, vaut par conséquent :
Avril 2008
tous droits réservés