cours 5, le lundi 7 février 2011 Suites décroissantes d`ensembles

cours 5, le lundi 7 f´evrier 2011
Suites d´ecroissantes d’ensembles
Pour une suite d´ecroissante d’ensembles (An)⊂ F, il est naturel de dire que l’intersection
A = TnAnest la hh limite ii de la suite de ces ensembles — la fonction 1Aest bien la
limite simple de la suite (1An) des fonctions indicatrices des (An) — mais le passage `a
la limite de la mesure, toujours vrai pour les suites croissantes (Bn), dont la limite est
la r´eunion B = SnBn, ne marche pas toujours dans le cas d´ecroissant : si An= [n, +∞[
et si la mesure utilis´ee est la mesure de Lebesgue sur R, la limite
A = \
n>0
An=\
n>0
[n, +∞[
est l’ensemble vide, de mesure nulle, alors que tous les ensembles Ansont de mesure
infinie.
Si And´ecroˆıt vers A = TnAnet si on fixe un rang n0, on peut consid´erer pour tout
entier n≥n0
Bn= An0\An;
c’est une suite croissante (Bn) d’ensembles qui tend vers B = An0\A, donc la mesure
de Bncroˆıt vers la mesure de B par la propri´et´e de monotonie des mesures σ-additives.
De plus, An0est la r´eunion disjointe de Bnet An, donc
µ(An0) = µ(An) + µ(Bn).
Quand la mesure de An0est infinie, on ne peut pas calculer la mesure de An`a partir de
cette ´equation, et on ne peut pas exploiter le fait que la mesure de Bntend vers celle
de B. Mais si la mesure de An0est finie (donc les deux autres aussi), on peut calculer
µ(An) par diff´erence, par cons´equent
µ(An) = µ(An0)−µ(Bn)→µ(An0)−µ(B) = µ(A) ;
on obtient ainsi
µ(An0)<+∞ ⇒ µ(A) = lim
nµ(An).
Remarque. On vient de voir que le seul cas qui ne marche pas pour les suites d´ecroissantes
est celui o`u tous les ensembles Ansont de mesure infinie ; dans l’exemple donn´e, la mesure
de la limite est 0, mais on pourrait facilement trouver des exemples avec n’importe
quelle valeur pour la mesure limite (ajouter `a chaque Anun mˆeme ensemble C fix´e).
Cette hypoth`ese de domination par une valeur finie reviendra de fa¸con essentielle dans
le th´eor`eme de convergence domin´ee.
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Fonctions mesurables r´eelles
Si fest une fonction sur E `a valeurs dans Ret cun nombre r´eel, on notera
{f > c}={x∈E : f(x)> c};
de fa¸con analogue, on notera {f≤1},{0≤f < 2}, etc. Si B est un sous-ensemble de R
on notera aussi
{f∈B}={x∈E : f(x)∈B}=f−1(B).
D´efinition. On dit que fest F-mesurable si l’ensemble {f > c}est dans la tribu F
pour tout cr´eel.
Dans ce cas, les ensembles {f≥c},{f < c},{f≤c},{a≤f < b}sont tous dans
la tribu F: par exemple
{f≥c}=\
n>0
{f > c −2−n}
est aussi dans F; on obtient {f < c}en passant au compl´ementaire, {a≤f < b}en
intersectant deux ensembles de l’une des formes pr´ec´edentes. En fait, on verra plus loin
que {f∈B}est dans Fpour tout bor´elien B de R, quand fest F-mesurable.
Exemples.
— Si fest F-mesurable, la fonction −f:x∈E→ −f(x) est F-mesurable aussi.
En effet, l’ensemble {−f > c}={f < −c}est dans Fpour tout c.
— Si fest monotone sur [a, b], ou si fest continue sur [a, b], et si Bd´esigne la tribu
bor´elienne de [a, b], alors fest B-mesurable.
Dans le cas monotone, l’ensemble {f > c}est un intervalle I contenu dans [a, b], et I est un
bor´elien ; dans le cas continu, l’ensemble {f > c}est un ouvert de [a, b], donc un bor´elien.
— On a vu que les fonctions F-´etag´ees sont F-mesurables.
Remarque : les fonctions en escalier sur [a, b] (de la th´eorie de l’int´egrale de Riemann)
sont un cas (tr`es) particulier de fonctions B-´etag´ees.
Op´erations sur les fonctions mesurables
Si (fi)i∈Iest une famille finie ou d´enombrable de fonctions F-mesurables `a valeurs
dans R, on voit que la fonction supi∈Ifiest F-mesurable ; en effet, pour tout cr´eel
on a
{sup
i
fi> c}=[
i∈I
{fi> c}
qui est dans Fcomme union d´enombrable d’ensembles de F. Si (fn) est une suite
croissante de fonctions F-mesurables, sa limite (simple) est ´egale `a supnfn, donc elle est
F-mesurable.
De mˆeme, inf d´enombrable, limite d´ecroissante, et
lim sup fn= lim
msup
n>m
fn,lim inf fn= lim
minf
n>mfn,
sont des op´erations qui pr´eservent les fonctions F-mesurables. Si une suite (fn) de fonc-
tions F-mesurables tend simplement vers une fonction f, cette fonction est F-mesurable.
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II.2.2. Int´egrale des fonctions mesurables positives
On suppose qu’on a donn´e un espace mesur´e (E,F, µ), consistant en un ensemble E,
une tribu Fde parties de E et une mesure µsur F(toujours σ-additive, `a valeurs dans
l’ensemble [0,+∞], sauf mention contraire).
Si ψest une fonction F-´etag´ee `a valeurs dans [0,+∞], on remarque que d’apr`es la
croissance de l’int´egrale,
ZE
ψdµ= supnZE ϕdµ: 0 ≤ϕ≤ψ, ϕ F-´etag´eeo.
D´efinition. Si fest une fonction F-mesurable sur E, `a valeurs dans [0,+∞], on d´efinit
son int´egrale sur Epar rapport `a µ, not´ee REfdµ, en posant
ZE
fdµ= supnZE ϕdµ: 0 ≤ϕ≤f, ϕ F-´etag´eeo.
La remarque qui pr´ec`ede la d´efinition garantit que la nouvelle d´efinition co¨ıncide
avec l’ancienne dans le cas o`u fest F-´etag´ee positive.
Notons des cons´equences imm´ediates de la d´efinition : on peut toujours prendre
ϕ= 0 comme fonction ´etag´ee plus petite que f≥0, donc l’int´egrale de fest ≥0 ; le sup
peut ˆetre ´egal `a +∞, par exemple si µ(E) >0 et si fest ´egale `a +∞en tout point ; en
r´esum´e ZE
fdµ∈[0,+∞].
La monotonie de l’int´egrale est ´evidente : si 0 ≤f≤g, alors
0≤ZE fdµ≤ZE gdµ.
In´egalit´e de Markov
Elle est aussi appel´ee de Tchebychev, de Bienaym´e-Tchebychev (prouv´ee vers 1869), mais
si l’id´ee en est la mˆeme, elle n’est pas exactement celle de Markov, qui est ult´erieure et
donne le principe extrˆemement simple et g´en´eral, qui est (en renversant le cours de
l’histoire) `a l’origine de celle de Bienaym´e-Tchebychev.
Lemme. Soit fune fonction F-mesurable sur E, `a valeurs dans [0,+∞]; pour tout
nombre r´eel a > 0, on a
µ{f≥a}≤1
aZE
fdµ.
Preuve. — Consid´erons l’ensemble A = {f≥a}; puisque fest F-mesurable, on sait
que A ∈ F et on remarque que la fonction F-´etag´ee ϕ=a1Av´erifie l’encadrement
0≤ϕ=a1A≤f;
en effet, si x∈A on a f(x)≥a=ϕ(x), et si x /∈A on a ϕ(x) = 0 ≤f(x) ; il r´esulte de
l’in´egalit´e ϕ≤f, par d´efinition de l’int´egrale des fonctions positives, que
aµ(A) = ZE ϕdµ≤ZE fdµ,
hh ce qu’il fallait d´emontrer ii.
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Corollaire 1. Soit fune fonction F-mesurable ≥0, alors REfdµ= 0 si et seulement si
µ{f6= 0}=µ{f > 0}= 0.
Si REfdµ < +∞, alors
µ{f= +∞}= 0.
Preuve. — Si l’int´egrale de fest nulle, on obtient par Markov, pour tout a > 0,
µ{f≥a}≤1
aZE
fdµ= 0,
donc la mesure de {f≥a}est nulle ; on applique ceci successivement `a an= 2−n, pour
tout entier n≥0, et on remarque la formule de r´eunion suivante : on a
[
n>0
{f≥2−n}={f > 0}={f6= 0},
qui est donc de mesure nulle comme union d´enombrable d’ensembles de mesure nulle,
ce qui termine la premi`ere direction de l’´equivalence annonc´ee. Inversement, supposons
que la mesure de
A = {f > 0}
soit nulle. Soit ϕune fonction F-´etag´ee positive telle que 0 ≤ϕ≤f; on exprime ϕsous
la forme habituelle
ϕ=
m
X
k=1
bk1Bk
o`u B1,...,Bmest une partition de E en ensembles Bk∈ F, et o`u bk≥0. On va v´erifier
que l’hypoth`ese 0 ≤ϕ≤fentraˆıne que bkµ(Bk) = 0 pour tout k; en effet, c’est clair
si bk= 0, et si bkn’est pas nul, on a bk>0 et par cons´equent ϕest >0 en tout
point de Bk, ce qui implique Bk⊂A. Comme µ(A) est suppos´ee nulle, on a µ(Bk) = 0
et bkµ(Bk) = 0. On a donc pour toute fonction F-´etag´ee ϕ≤f
ZE
ϕdµ=
m
X
k=1
bkµ(Bk) = 0,
par cons´equent REfdµ= 0 d’apr`es la d´efinition de l’int´egrale.
Passons `a la deuxi`eme affirmation de l’´enonc´e. Si l’int´egrale de fest finie, on applique
Markov avec a=nentier >0 pour obtenir
µ{f= +∞}≤µ{f≥n}≤1
nZE
fdµ,
majorant qui peut ˆetre rendu arbitrairement petit, d’o`u le r´esultat.
Remarque. Si l’int´egrale de fest finie, on a
ZE
1{f=+∞} fdµ= 0.
En effet, l’ensemble N = {f= +∞} est de mesure nulle, donc l’ensemble des points o`u
la fonction 1{f=+∞} fest non nulle est de mesure nulle, donc l’int´egrale est nulle par le
r´esultat pr´ec´edent.
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II.2.3. Th´eor`eme de convergence monotone
Le premier th´eor`eme important de convergence des int´egrales concerne les suites crois-
santes de fonctions `a valeurs dans [0,+∞], c’est-`a-dire les suites (fn) de fonctions sur E
telles que
∀n∈N,∀x∈E,0≤fn(x)≤fn+1(x)≤+∞.
Comme on travaille avec des valeurs dans [0,+∞], toute suite croissante admet une
limite et on peut poser pour tout x∈E
f(x) = lim
nfn(x)∈[0,+∞].
La limite est aussi le sup de la suite des valeurs, et en particulier on a fn≤fpour
tout n. Quand les fonctions fnsont F-mesurables, on a vu que la limite (simple) fest
elle aussi F-mesurable.
Th´eor`eme de convergence monotone. Si (fn)n>0est une suite croissante de fonctions
F-mesurables sur E, `a valeurs dans [0,+∞], et si f= limnfnd´esigne la limite simple,
alors fest F-mesurable et on a
ZE
fdµ= lim
nZE
fndµ.
Preuve. — Puisque fn≤fn+1 pour tout n, on a REfndµ≤REfn+1 dµ, donc la suite
des int´egrales est croissante et admet une limite dans [0,+∞]. Puisque fn≤f, il est
clair que REfndµ≤REfdµpour tout n, ce qui donne l’in´egalit´e dans un sens,
lim
nZE
fndµ≤ZE fdµ.
Inversement, on va fixer pour un bon moment une fonction ϕqui est F-´etag´ee et telle
que 0 ≤ϕ≤f, qu’on peut ´ecrire
ϕ=
K
X
k=1
ak1Ak,
o`u les Ak∈ F sont deux `a deux disjoints, et o`u on n’a gard´e dans la repr´esentation que
les ak>0 (sinon ils ne contribuent pas `a la valeur de ϕ). On introduit un nombre τ
tel que 0 < τ < 1, qu’on fera ensuite tendre vers 1 ; on a ainsi 0 < τ ak< akpour tout
k= 1,...,K ; on pose pour tout n
Ak,n ={x∈Ak:fn(x)> τ ak}= Ak∩ {fn> τ ak} ∈ F,et ϕ∗
n=
K
X
k=1
τ ak1Ak,n .
On v´erifie que
ϕ∗
n≤fn.
Comme la suite (fn) est croissante, la suite d’ensembles (Ak,n) est croissante en net
comme pour tout x∈Ak, on a f(x)≥ϕ(x) = ak> τ ak, la valeur fn(x), qui tend vers
f(x), finit par d´epasser τ ak, donc xest dans Ak,n pour nassez grand, ce qui montre que
Ak=
+∞
[
n=0
Ak,n.
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