Matrices

Maths PCSI Cours
Matrices
Table des mati`eres
1 Pr´esentation de Mn,p(K)2
1.1 Espace des matrices (n, p)............................. 2
1.2 Lien avec les applications lin´eaires ........................ 3
1.3 L’alg`ebre Mn(K).................................. 5
1.4 Transposition .................................... 6
2 Repr´esentation des applications lin´eaires 7
2.1 Matrices coordonn´ees ................................ 7
2.2 Matrice de passage entre deux bases ....................... 8
2.3 Formule de changement de base pour une application lin´eaire ......... 9
2.4 Compl´ements sur Mn(K)............................. 10
3 Th´eorie du rang 11
3.1 Op´erations ´el´ementaires .............................. 11
3.2 Rang d’une matrice, pivot de Gauss ....................... 11
3.3 Inversion des matrices ............................... 16
4 Annexe : puissances d’une matrice 17
4.1 Pourquoi et comment ? ............................... 17
4.2 Utilisation d’un polynˆome annulateur ...................... 18
4.3 Diagonalisation ................................... 19
4.4 Pour terminer... ................................... 19
1

Dans tout ce chapitre, Kd´esigne un corps : Rou C. Tous les espaces vectoriels en jeu sont
de dimension finie.
1 Pr´esentation de Mn,p(K)
1.1 Espace des matrices (n, p)
D´ efinition 1
•Soient n, p ∈N∗. Une matrice (n, p) (“nlignes pcolonnes”) `a coefficients1dans Kest une
aplication de [[1, n]] ×[[1, p]] dans K. De mˆeme que pour une suite, on note unplutˆot que
u(n), on notera ´egalement pour les matrices mi,j au lieu de M(i, j). On repr´esentera la
matrice Mpar un tableau `a nlignes et pcolonnes, en mettant l’´el´ement mi,j `a l’intersection
de la i-`eme ligne et de la j-`eme colonne. . .
•L’ensemble des matrices de type (n, p) `a coefficients dans Kest not´e Mn,p(K). Lorsque
n=p, on notera Mn(K) plutˆot que Mn,n(K).
•On munit naturellement Mn(K) d’une structure d’espace vectoriel, avec les lois naturelles
suivantes : (λM +N)i,j =λmi,j +ni,j .
Exemples 1
•La matrice M=1 0 1515
−2 15 12 est dans M2,3(R), avec m2,1=−2.
•Si de plus N=2−10 1
1−1 0, alors 2M+N=4−10 3031
−3 29 24 .
•On parle de matrice-ligne lorsque n= 1 : on ne confondra pas la matrice ligne
10−1789∈ M1,3(R)et le vecteur de R3u= (1,0,−1789).
•On d´efinit de mˆeme les matrices-colonnes (p= 1). La matrice colonne 
1
0
−1789
sera dite
(dans quelques paragraphes) associ´ee au vecteur upr´ec´edent dans la base canonique de
R3.
D´ efinition 2
On fixe net pdes entiers >0. Les matrices ´el´ementaires de type (n, p) sont les matrices
Ek,l, pour (k, l)∈[[1, n]] ×[[1, p]], avec Ek,l de terme g´en´eral (Ek,l)i,j =δi,kδj,l (on rappelle
la signification du symbole de Kronecker :δα,β = 1 si α=β, et 0 sinon). En termes clairs,
Ek,l est constitu´ee uniquement de 0, sauf en position (k, l) o`u on trouve 1.
Exemple 2 Si n= 3 et p= 2, on a E2,2=
0 0
0 1
0 0
Proposition 1 La famille des Ek,l, pour (k, l)∈[[1, n]] ×[[1, p]], constitue une base de
Mn,p(K).
Preuve : On commence par observer que le coefficient (k, l) de la combinaison lin´eaire
X
i,j
λi,j Ei,j est λk,l. Or deux matrices sont ´egales si et seulement si tous leurs coefficients
sont ´egaux. On a donc M=X
i,j
λi,j Ei,j si et seulement si pour tout (k, l)∈[[1, n]] ×[[1, p]],
λk,l =mk,l : on obtient ainsi existence et unicit´e de la d´ecomposition de Mselon les Ei,j .
Corollaire 1 Mn,p(K)est de dimension np
Remarque 1 Tiens, comme L(E, F ) lorsque dim E=pet dim F=n. . .
1on dit parfois “entr´ees”, ce qui est un anglicisme notoire : les anglo-saxons (et Maple) d´esignent les
coefficients d’une matrice par entries
2

1.2 Lien avec les applications lin´eaires
D´ efinition 3
Soient u∈ L(E, F ), E= (e1,...,ep) une base de Eet F= (f1,...,fn) une base de
F. Chaque u(ej) est combinaison lin´eaire des fi. Si on note mi,j les coefficients tels que
u(ej) =
n
X
i=1
mi,j fi, alors la matrice Mde terme g´en´eral mi,j s’appelle la matrice repr´esentant
uentre les bases Eet F.
Cette matrice est not´ee Mat
E,Fu. Lorsque F=Eet F=E, on note Mat Euplutˆot que Mat E,Eu.
Exemple 3 La matrice repr´esentant (x, y)7→ (x+2y, y, 3x−y)entre les bases canoniques
respectives (e1, e2)et (f1, f2, f3)de R2et R3est 
1 2
0 1
3−1
. Par contre, si on prend comme
base au d´epart la famille (e1+e2, e2)(en conservant la mˆeme base `a l’ariv´ee), la matrice
repr´esentant uentre ces deux base est : 
3 2
1 1
2−1
(sur la premi`ere colonne, on ´ecrit les
coefficients dans la d´ecomposition de u(e1+e2)selon les fi. . .).
Proposition 2 On suppose Ede dimension pet Fde dimension n. Si on fixe une base
Ede Eet une base Fde F, alors l’application
ΦL(E, F )−→ Mn,p(K)
u7−→ Mat
E,Fu
est un isomorphisme.
Preuve : On commencera par montrer soigneusement la lin´earit´e. Ensuite, vu l’´egalit´e
des dimensions, il suffit de montrer l’injectivit´e. Supposons donc Φ(u) = 0 : on a alors pour
tout j∈[[1, p]] u(ej) = 0. uest donc nulle sur une base, donc est nulle.
Sans l’argument de dimension, on pourra prouver la surjectivit´e en fixant M∈ Mn,p(K), et
en ´etablissant l’existence de u∈ L(E, F ) telle que M= Mat
E,Fu. On utilisera un fait prouv´e
dans le chapitre pr´ec´edent (pour d´eterminer la dimension de L(E, F ), justement ; ce n’est
pas un hasard...) : si on se fixe pvecteurs v1,...,vpde F, on peut trouver une (unique)
application uqui envoie chaque ejsur vj.
Remarque 2 BIEN ENTENDU, on aura not´e les dimensions de Eet F, qui sont
respectivement pet n, et pas le contraire. . .
Exercice 1 (IMPORTANT)
Soient u, v ∈ L(R2)et Ela base canonique de R2. D´eterminer Mat
E(u◦v)en fonction de
A= Mat
Euet B= Mat Ev.
Solution : On trouvera :
a1,1b1,1+a1,2b2,1a1,1b1,2+a1,2b2,2
a2,1b1,1+a2,2b2,1a2,1b1,2+a2,2b2,2
En fait, on va d´efinir la multiplication des matrices `a l’aide de la compos´ee des applications
lin´eaires. Un point de vue adopt´e parfois consiste `a d´efinir la multiplication `a l’aide
de “formules magiques”, et de constater, miracle, que cela correspond `a la composition
d’applications lin´eaires.
D´ efinition 4
Soit A∈ Mn,p(K). D’apr`es la proposition 2, il existe une unique application lin´eaire
u∈ L(Kp,Kn) telle que Asoit sa matrice entre les bases canoniques de Kpet Kn: cette
application lin´eaire est dite canoniquement associ´ee `a A, et on note souvent cela : A←→u.
3

Exemple 4 L’application canoniquement associ´ee `a Inest la fonction identit´e de Kn.
Exemple 5 L’application canoniquement associ´ee `a A=10−2
21−3est :
u:R3−→ R2
(x, y, z)7−→ (x−2z, 2x+y−3z)
D´ efinition 5
Soient A∈ Mn,p(K) et B∈ Mp,q (K). Notons u∈ L(Kp,Kn) et v∈ L(Kq,Kp) leurs
applications lin´eaires canoniquement associ´ees. On d´efinit alors la matrice AB comme la
matrice repr´esentant u◦v(qui va de Kqdans Kn) entre les bases canoniques de Kqet Kn.
Remarque 3 Avec les notations pr´ec´edentes, on a alors AB ∈ Mn,q (K) : noter comment
les dimensions s’arrangent “`a la Chasles”.
Proposition 3
•Le produit matriciel (A, B)7→ AB est bilin´eaire (i.e. : lin´eaire par rapport `a Aet `a B).
•Le produit matriciel est associatif : si les dimensions sont compatibles2,ona:A(BC) =
(AB)C.
•Le terme (i, j)du produit AB vaut :
(AB)i,j =
p
X
k=1
ai,kbk,j .(P)
Preuve :
•Consid´erer les applications lin´eaires canoniquement associ´ees (entre les Krad´equats. . .),
et utiliser la lin´earit´e de l’isomorphisme u7→ Mat
E,Gu...
•Mˆeme principe.
•Soient u∈ L(Kp,Kn) et v∈ L(Kq,Kp) canoniquement associ´ees `a Aet B.
v u
Kq−→ Kp−→ Kn
Si on note E,Fet Gles bases respectives de Kq,Kpet Kn, on a par d´efinition
AB = Mat
E,G(u◦v), de sorte que si j∈[[1, q]] et C=AB,ona:
(u◦v)(ej) =
n
X
i=1
ci,j gi.
Or :
(u◦v)(ej) = up
X
k=1
bk,j fj=
p
X
k=1
bk,j u(fk) =
p
X
k=1bk,j
n
X
i=1
ai,kgi
=
n
X
i=1k
X
k=1
ai,kbk,j gi,
et on conclut par libert´e des gi.
Remarque 4 La formule (P) du produit incite `a pr´esenter le calcul de C=AB sous
la forme (B)
(A)(C): on calcule ainsi ci,j en “prenant le produit scalaire de la ligne de A
2Si elles le sont dans un membre, elles le sont dans l’autre : le v´erifier. . .
4

et de la colonne de Bdont ci,j est l’intersection”. Cela donne, pour A=
1 0 1
0 1 0
1 0 1
et
B=
1−1
0 1
1 0
:
1−1
0 1
1 0
101
010
101
2−1
0 1
2−1
1.3 L’alg`ebre Mn(K)
On rappelle que pour n > 0, Mn(K) d´esigne l’espace Mn,n(K) des matrices (n, n) (de mˆeme
que L(E) est un raccourci pour L(E, E) ).
Proposition 4 Mn(K)(muni des lois auxquelles on pense) est une K-alg`ebre non
commutative (sauf pour n= 1. . .), de neutre (pour la multiplication) :
In=
1 (0)
...
(0) 1
.
Preuve : On commence par v´erifier (soit par le calcul, soit en revenant `a la d´efinition du
produit matriciel) : M In=InM=M. Ensuite, pour montrer que Mn(K) n’est JAMAIS
commutative lorsque n≥2 (ce qui ne signifie pas que deux matrices ne commutent jamais) :
on peut prendre par exemple A=E1,2et B=E2,1:AB =E1,1alors que BA =E2,2
(justifier).
Certaines matrices ont une structure remarquable :
D´ efinition 6
Une matrice A∈ Mn(K) est dite
•triangulaire sup´erieur (resp. inf´erieur) lorsque ai,j = 0 pour tout couple (i, j) tel que i>j
(resp. i<j) ;
•diagonale lorsque ai,j = 0 pour tout couple (i, j) tel que i6=j(ce qui revient `a dire que
Aest triangulaire inf´erieur et sup´erieur).
Il est parfois utile de savoir multiplier “formellement” (i.e. sans r´efl´echir) les matrices
´el´ementaires. On peut alors retenir le r´esultat suivant :
Proposition 5 Ei,j Ek,l est nul lorsque j6=k, et vaut Ei,l lorsque j=k. En d’autres
termes :
Ei,j Ek,l =δj,k Ei,l.
Preuve : On peut le faire de fa¸con calculatoire (avec les formules de produits), ou
bien en consid´erant les applications lin´eaires canoniquement associ´ees, sachant que celle
canoniquement associ´ee `a Ei,j envoie ejsur ei, et les eα(α6=j) sur 0.
D´ efinition 7
Le produit matriciel est une LCI associative sur Mn(K), qui poss`ede un neutre, `a savoir In.
L’ensemble des ´el´ements inversibles est not´e GLn(K). Muni du produit matriciel, il constitue
un groupe : “groupe lin´eaire des matrices carr´ees d’ordre n”.
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