Examen 2007-2008 (ENSIACET et ENSAT) File

Formation La PAD
2007-2008
Probabilités et Statistique
Examen du 31 mai 2008 (ENSAT et A7)
Documents autorisés : tous les documents de la PAD ; le livre "Modélisation probabi-
liste et Statistique".
Barème : 6+6+8.
Exercice 1
Risques et compagnie d’assurance (probabilités conditionnelles) Une compa-
gnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1, R2et R3: les risques réduits, les
risques moyens et les gros risques. Les effectifs des ces trois classes représentent respective-
ment 20%,50% et 30% de la clientèle totale. Une étude statistique a permis d’évaluer que
pour une personne donnée de l’une de ces trois classes la probabilité d’avoir un accident
dans l’année est de 0.05 pour R1,0.15 pour R2et 0.30 pour R3.
1) Si on note Al’événement "avoir un accident dans l’année" et, pour 16i63,Ri
l’événement "appartenir à la classe Ri" indiquer P(R1), P (A|R1), P (R2),P(A|R2), P (R3),
P(A|R3).
2) Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard ait un accident dans l’année ?
En déduire P(Ac).
3) Si un client donné n’a pas eu d’accident dans l’année quelle est la probabilité qu’il soit
dans R1? Il faut donc calculer ici P(R1|Ac).
Exercice 2
Loi de durée de vie d’un matériel électronique On note Xl’instant de première
panne d’un composant électronique Ccompté à partir de la mise en service. Il s’agit donc
d’une variable aléatoire réelle (VAR) positive. On introduit la fonction de survie Sde ce
composant comme étant définie par
S(x) = 1si x60
P[X > x]si x > 0.
1) On suppose que Cfonctionne la première fois qu’on l’utilise avec la probabilité 1−p,
06p < 1,que pour tout z>0,x>0la probabilité que Ctombe en panne après l’instant
zn’est pas nulle et que celle qu’il tombe en panne après z+xsachant qu’il n’était pas
encore tombé en panne avant zest la même que celle d’un composant neuf de même type
1

que Cde tomber en panne après x. Ecrire, en terme de probabilité conditionnelle pour la
loi de X, la propriété qui découle de cette hypothèse et vérifier qu’ alors
(∀x>0),(∀z>0) S(x+z) = S(x)S(z).(1)
2) Vérifier que l’égalité (1) est vraie si Xadmet comme loi de probabilité la loi exponen-
tielle E(λ)de paramètre λ > 0.
Exercice 3
Essais en laboratoire. Le tableau ci-dessous donne les résultats de 10 essais en
laboratoire concernant la charge de rupture, en kg, d’un acier en fonction de sa teneur
en carbone, en pourcent. On cherche à expliquer la charge de rupture en fonction de la
teneur en carbone. On note donc ce nombre avec des variables xiet la charge de rupture
avec des variables yiet on cherche une relation y=β0+β1x.
xi(teneur en carbone) 70 60 68 64 66 64 62 70 74 62
yi(charge de rupture) 87 71 79 74 79 80 75 86 95 70
1) Donner l’expression des solutions b β0et b β1du problème des moindres carrés en fonction
des quantités
n
X
i=1
xi,
n
X
i=1
yi,
n
X
i=1
x2
i,
n
X
i=1
xiyi.
2) Tracer le nuage de points et calculer l’ajustement y=b β0+b β1x. On donne
10
X
i=1
xi= 660 ,
10
X
i=1
yi= 796 ,
10
X
i=1
x2
i= 43736 ,
10
X
i=1
xiyi= 52832.
3) On note ei=yi−byioù byiest la valeur prédite par le modèle estimé à la question 2) :
byi=b β0+b β1xi. On note rle coefficient de corrélation linéaire entre la teneur en carbone
et la charge de rupture
r=Pi=10
i=1 (xi−x)(yi−y)
i=10
P
i=1
(xi−x)2.
i=10
P
i=1
(yi−y)21/2.
Montrer que l’égalité suivante est vérifiée :
Xi=10
i=1 e2
i=Xi=10
i=1 (yi−y)2(1 −r2).
2