Correction exercice 9 – Probabilités

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 9
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 9 – Probabilités
Une machine M
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est constituée de deux éléments A et B. Un défaut
d’un seul élément suffit à mettre la machine hors service et on
exclut toute autre éventualité de panne.
Les défauts éventuels des éléments A et B sont des événements
indépendants se produisant avec les probabilités
respectives a=0,1 et b=0,2.
Dans la suite on appellera A l’événement "l’élément A fonctionne"
et B l’événement "l’élément B fonctionne".
On a donc p
( )
Ò
A=0,1 et p
( )
Ò
B=0,2
1. Calculons la probabilité pour que A et B soient hors service en même temps.
A et B sont des événements indépendants donc Ò A et Ò B sont aussi indépendants
donc p(Ò A∩Ò B)=p(Ò A)×p(Ò B)=a×b=0,1×0,2=0,02
La probabilité pour les éléments A et B soient simultanément hors service est 0,02 .
2. Calculons que la probabilité que la machine M
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soit hors service.
Soit C l’événement "la machine M
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est H.S"
Pour que M
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soit H.S., il suffit qu’un des deux éléments A ou B soient défectueux, donc C=Ò A∟Ò B
Donc p(C)= p
( )
Ò
A∟Ò B=p
( )
Ò
A+p
( )
Ò
B−p
( )
Ò
A∩Ò B=a+b−ab=0,28
La probabilité que la machine M
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soit en panne est 0,28 .
3. Calculons la probabilité que la machine M
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fonctionne.
L’événement "M
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fonctionne" est l’événement contraire de C càd Ò C
Or, p
( )
Ò
C=1−p(C)=1−0,28=0,72
La probabilité que la machine M
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fonctionne est 0,72
4. Calculons la probabilité de l’événement V : "un seul élément est en panne"
L’événement V est la réunion des événements incompatibles A∩Ò B et Ò A∩B et les événements A et B étant
indépendants, les événements Ò A et B d’une part et A et Ò B le sont aussi donc
p(V)=p
( )
A∩Ò B+p
( )
Ò
A∩B=p(A)×p
( )
Ò
B+p
( )
Ò
A×p(B)=0,9×0,2+0,1×0,8=0,26
La probabilité qu’un seul élément soit en panne est 0,26 .
5. On suppose que M
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est H.S. Quelle est la probabilité d’avoir un seul élément en panne ?
p
C
(V)=
p(C∩V)
p(C)
=
p(V)
p(C)
=
0,26
0,28
=
13
14
La proba d’avoir un seul élément en panne sachant que M
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est H.S. est
13
14
Ò
B
B
Ò
B
B
Ò
A
A
0,2
0,8
0,2
0,8
0,1
0,9
0,02
0,08
0,18
0,72