s2971

Solution – Probabilités – Suites Numériques – s2971
Dans un atelier, pour analyser le fonctionnement d'une machine, on note, mois après mois, ses pannes.
On constate que :
- Au cours d'un mois donné la machine ne tombe jamais plus d'une fois en panne.
- Si au cours d'un mois donné, la machine n'a pas de panne, la probabilité pour qu'elle en ait une le mois
suivant est 0,24 .
- Si la machine tombe en panne au cours d'un mois donné, ce qui entraîne sa révision, la probabilité pour
qu'elle tombe en panne le mois suivant est 0,04 .
- La probabilité pour que ce modèle de machine tombe en panne dès son premier mois de mise en service
est égale à 0,10 .
Soit En l'événement "La machine tombe en panne au cours de son nième mois de fonctionnement", et soit
pn la probabilité de l'événement En .
1/ Montrer l'existence de deux nombres réels a et b , tels que : pn + 1 = a + b.pn , pour tout entier n ≥≥ 1 .
p(En) = pn est la probabilité d'une panne au cours du mois n ,
p(En) = 1 – pn est la probabilité pour qu'il n'y ait pas de panne au cours du mois n .
Etablissons l'arbre de décision correspondant :
1
1
1
1
0,04
0,96
0,24
0,76
*
n
n
n
n
n
n
E
E
E
E
E
E
+
+
+
+
Z
Z]
Z
]
]
p(En + 1) = 0,04 p(En) + 0,24 p(En) ⇔ pn + 1 = 0,04 pn + 0,24(1 – pn) ⇔ pn + 1 = 0,24 – 0,20 pn .
On conclue : a = 0,24 et b = 0,20 , et p1 = 0,10 .
Autre Notation :
p(En + 1) = p(En) × p(En + 1/En) + p(En) × p(En + 1/En) = 0,04 p(En) + 0,24 p(En) .
La suite est identique.
2-a) Déterminer un nombre réel αα tel que la suite (un) telle que un = pn – αα soit géométrique.
(un) sera géométrique si : un + 1 = q.un avec la constante q pour raison.
un + 1 = q.un ⇔ pn + 1 – α = q(pn – α) ⇔ pn + 1 = (1 – q)α + q.pn .
En comparant à pn + 1 = 0,24 – 0,20 pn , on déduit : q = -0,20 et (1 – q)α = 0,24 , soit α = 0,24
1,20 = 1 5 = 0,2 .

b) En déduire l'écriture de un et de pn en fonction de n .
(un) géométrique, de raison q = -0,2 ⇒ un = u1qn – 1 = (p1 – α)qn – 1 = (0,10 – 0,20)(-0,2)n – 1 = -0,1(-0,2)n – 1 .
un = pn – α ⇔ pn = un + α = 0,2 – 0,1(-0,2)n – 1 .
c) Déterminer la limite de pn lorsque n devient infini.
| q | = 0,2 < 1 ⇒ lim
n → +∞un = 0 .
pn = un + α ⇒ lim
n → +∞pn = 
lim
n → +∞un + α = α , soit ; lim n → +∞pn = 0,2.
Plus le nombre de mois passe, plus la probabilité qu'à la machine de tomber en panne au cours d'un mois donné
est proche de 0,20 = 20%.
d) Déterminer le plus petit entier n tel que : | pn – 0,2 | ≤≤ 10-5 .
| pn – 0,2 | ≤ 10-5 ⇔ | pn – α | ≤ 10-5 ⇔ | un | ≤ 10-5 ⇔ 0,1(0,2)n – 1 ≤ 10-5 ⇔ (0,2)n – 1 ≤ 10-4 .
(n – 1) ln(0,2) ≤ -4 ln(10) avec ln (0,2) < 0 .
D'où : n – 1 ≥ -4 ln(10)
ln(0,2) ⇔ n – 1 ≥ 5,72 ⇔ n ≥ 6,72 .
Dès le 7ème mois d'utilisation, on peut considérer que la probabilité d'une panne au cours d'un mois donné est
égale à 0,2 , soit 20% , à 10-5 près (1/100.000 ème ).