s2971

Solution – Probabilités – Suites Numériques – s2971
Dans un atelier, pour analyser le fonctionnement d'une machine, on note, mois après mois, ses pannes.
On constate que :
- Au cours d'un mois donné la machine ne tombe jamais plus d'une fois en panne.
- Si au cours d'un mois donné, la machine n'a pas de panne, la probabilité pour qu'elle en ait une le mois
suivant est 0,24 .
- Si la machine tombe en panne au cours d'un mois donné, ce qui entraîne sa révision, la probabilité pour
qu'elle tombe en panne le mois suivant est 0,04 .
- La probabilité pour que ce modèle de machine tombe en panne dès son premier mois de mise en service
est égale à 0,10 .
Soit En l'événement "La machine tombe en panne au cours de son nième mois de fonctionnement", et soit
p n la probabilité de l'événement En .
1/ Montrer l'existence de deux nombres réels a et b , tels que : p n + 1 = a + b.p n , pour tout entier n ≥ 1 .
p(En ) = p n est la probabilité d'une panne au cours du mois n ,
p( En ) = 1 – p n est la probabilité pour qu'il n'y ait pas de panne au cours du mois n .
0,04 Z
Z
Etablissons l'arbre de décision correspondant :
En
0,96 ]
En +1
En +1
*
]
0,24 Z
En
0,76 ]
En+1
En +1
p(En + 1 ) = 0,04 p (En ) + 0,24 p( En ) ⇔ p n + 1 = 0,04 p n + 0,24(1 – p n ) ⇔ p n + 1 = 0,24 – 0,20 p n .
On conclue : a = 0,24 et b = 0,20 , et p 1 = 0,10 .
Autre Notation :
p(En + 1 ) = p(En ) × p(En + 1 /En ) + p( En ) × p(En + 1 / En ) = 0,04 p(En ) + 0,24 p ( En ) .
La suite est identique.
2-a) Déterminer un nombre réel α tel que la suite (un) telle que un = p n – α soit géométrique.
(u n ) sera géométrique si : u n + 1 = q.u n avec la constante q pour raison.
u n + 1 = q.u n ⇔ p n + 1 – α = q(p n – α) ⇔ p n + 1 = (1 – q)α + q.p n .
En comparant à p n + 1 = 0,24 – 0,20 p n , on déduit : q = -0,20 et (1 – q)α = 0,24 , soit α =
0,24 1
= = 0,2 .
1,20 5
b) En déduire l'écriture de un et de p n en fonction de n .
(u n ) géométrique, de raison q = -0,2 ⇒ u n = u 1 q n – 1 = (p 1 – α)q n – 1 = (0,10 – 0,20)(-0,2)n – 1 = -0,1(-0,2)n – 1 .
u n = p n – α ⇔ p n = u n + α = 0,2 – 0,1(-0,2)n – 1 .
c) Déterminer la limite de p n lorsque n devient infini.
| q | = 0,2 < 1 ⇒
pn = un + α ⇒
lim u n = 0 .
n → +∞
lim p n =  lim u n + α = α , soit ;
n → +∞
n → + ∞ 
lim p n = 0,2.
n → +∞
Plus le nombre de mois passe, plus la probabilité qu'à la machine de tomber en panne au cours d'un mois donné
est proche de 0,20 = 20%.
d) Déterminer le plus petit entier n tel que : | p n – 0,2 | ≤ 10 -5 .
| p n – 0,2 | ≤ 10-5 ⇔ | p n – α | ≤ 10-5 ⇔ | u n | ≤ 10-5 ⇔ 0,1(0,2)n – 1 ≤ 10-5 ⇔ (0,2)n – 1 ≤ 10-4 .
(n – 1) ln(0,2) ≤ -4 ln(10) avec ln (0,2) < 0 .
D'où : n – 1 ≥
-4 ln(10)
⇔ n – 1 ≥ 5,72 ⇔ n ≥ 6,72 .
ln(0,2)
Dès le 7ème mois d'utilisation, on peut considérer que la probabilité d'une panne au cours d'un mois donné est
égale à 0,2 , soit 20% , à 10-5 près (1/100.000 ème ).