Développement trigonométrique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
Développement trigonométrique
Exercice 1 [ 00962 ] [correction]
Soit t∈]−1,1[. Former le développement en série de Fourier de la fonction
x7→ sin x
1−2tcos x+t2
Exercice 2 [ 00964 ] [correction]
Former le développement en série de Fourier de
x7→ ecos xcos(sin x)
Exercice 3 [ 00966 ] [correction]
Pour |z|<1, calculer
Zπ
0
1−zcos t
1−2zcos t+z2cos(nt) dt
Exercice 4 [ 00968 ] [correction]
Calculer
+∞
X
p=0
(−1)pcos(2p+ 1)x
(2p+ 1)!
Exercice 5 [ 03326 ] [correction]
Soit la fonction f:R→C2π-périodique donnée par
f(t)=eeit
a) Déterminer les coefficients de Fourier exponentiels de f.
b) Etablir
Z2π
0
e2 cos tdt= 2π
+∞
X
n=0
1
(n!)2
Exercice 6 [ 03424 ] [correction]
Soient f, g :R→Ccontinues par morceaux et 2π-périodiques.
a) Montrer la convergence de la somme
+∞
X
n=−∞
|cn(f)cn(g)|
b) Soit ϕ:R→Cdéfinie par
ϕ(x) =
+∞
X
n=−∞
cn(f)cn(g)einx
Calculer les coefficients de Fourier de ϕ.
Exercice 7 [ 03667 ] [correction]
Soit a > 0.
a) Développer en série entière
x7→ 1
x+ ea
b) En déduire le développement en série de Fourier de
t7→ 1
cos t+cha
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections 2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Par décomposition en éléments simples
sin x
1−2tcos x+t2=a t−eix +¯a t−e−ix
avec
a=sin x
eix −e−ix =1 2i
donc sin x
1−2tcos x+t2=Re 1 i
1
t−eix =Re ie−ix 1 1−te−ix 
puis
sin x
1−2tcos x+t2=
+∞
X
n=0
tnsin(n+ 1)x
La fonction étudiée étant impaire an= 0.
Par convergence normale obtenue via |t|<1, on a bn+1 =tn
Ainsi l’écriture précédente est le développement en série de Fourier de la fonction
étudiée.
Exercice 2 : [énoncé]
ecos xcos(sin x) = Re ecos x+isin x=Re
+∞
P
n=0
einx
n!=
+∞
P
n=0
1
n!cos(nx).
Il reste à justifier que ce développement correspond au développement en série de
Fourier de la fonction.
Puisque la fonction est paire, bn= 0.
On a
a0=1
πZπ
−π
+∞
X
n=0
1
n!cos(nx) dx
Par convergence normale de la série de fonctions engagée,
a0=1
π
+∞
X
n=0 Zπ
−π
1
n!cos(nx) dx= 2
On a
an=1
πZπ
−π
+∞
X
m=0
1
m!cos(mx) cos(nx) dx
Par convergence normale de la série de fonctions engagée,
an=1
π
+∞
X
m=0 Zπ
−π
1
m!cos(mx) cos(nx) dx
Or Rπ
−πcos(mx) cos(nx) dx= 0 si m6=net Rπ −πcos(mx) cos(nx) dx=πsi
m=n6= 0.
Ainsi an=1
n!.
Finalement, l’écriture
ecos xcos(sin x) =
+∞
X
n=0
1
n!cos(nx)
est bien le développement en série de Fourier de la fonction considérée.
Exercice 3 : [énoncé]
1−zcos t
1−2zcos t+z2=1 21 1−(eitz)+1 1−(e−itz)=1 2
+∞
X
n=0
(eint + e−int)zn
puis
1−zcos t
1−2zcos t+z2=
+∞
X
n=0
cos(nt)zn
avec convergence normale sur [0, π]. Par suite
Zπ
0
1−zcos t
1−2zcos t+z2cos(nt) dt=π 2zn
compte tenu de l’orthogonalité des fonctions t7→ cos(kt).
Exercice 4 : [énoncé]
+∞
X
p=0
(−1)pcos(2p+ 1)x
(2p+ 1)! =Re +∞
X
p=0
(−1)pei(2p+1)x
(2p+ 1)!!=Re(sin(eix))
or sin(eix) = sin(cos x+isin x) = sin(cos x)ch(sin x) + ish(sin x) cos(cos x)donc
+∞
X
p=0
(−1)pcos(2p+ 1)x
(2p+ 1)! = sin(cos x)ch(sin x)
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections 3
Exercice 5 : [énoncé]
a) Pour tout t∈Ron peut écrire
f(t) =
+∞
X
n=0
eint
n!
Puisque la série à termes positifs P1
n!converge, on peut par convergence normale
calculer les coefficients de Fourier de fen intégrant terme à terme
cp(f) = 1
2πZ2π
0
f(t)e−ipt dt=1
2π
+∞
X
n=0
1
n!Z2π
0
ei(n−p)tdt
Et puisque
1
2πZ2π
0
eikt dt=δk,0
on obtient
cp(f) = 1/p!si p∈N
0sinon
b) Par la formule de Parseval
+∞
X
n=0
1
(n!)2=1 2πZ2π
0
|f(t)|2dt
avec
|f(t)|2=f(t)f(t) = exp eit + e−it= exp(2 cos t)
Exercice 6 : [énoncé]
a) En vertu de l’inégalité
ab 61
2a2+b2
on a
|cn(f)cn(g)|61
2|cn(f)|2+|cn(g)|2
Puisqu’il y a convergence des sommes
+∞
X
n=−∞
|cn(f)|2et
+∞
X
n=−∞
|cn(g)|2
on peut, par comparaison de séries à termes positifs, affirmer la convergence de la
somme étudiée.
b) La fonction ϕest définie, continue et 2π-périodique par convergence normale
de la série de fonctions sous-jacente. Pour p∈Z
cp(ϕ) = 1
2πZ2π
+∞
X
n=−∞
cn(f)cn(g)ei(n−p)xdx
Par convergence normale de la série des fonctions continues
x7→ cn(f)cn(g)ei(n−p)x
on peut intégrer terme à terme
cp(ϕ) = 1
2π
+∞
X
n=−∞
cn(f)cn(g)Z2π ei(n−p)xdx=cp(f)cp(g)
Exercice 7 : [énoncé]
a) Pour |x|<ea,
1
x+ ea= e−a1 1 + xe−a= e−a
+∞
X
n=0
(−1)n(xe−a)n=
+∞
X
n=0
(−1)ne−(n+1)axn
b) On peut écrire
1
cos t+cha=2eit e2it + 2ch(a)eit + 1 =2eit (eit + ea)(eit + e−a)
Par décomposition en éléments simples de la fraction
2X
(X+ ea)(X+ e−a)
on obtient
2eit
(eit + ea)(eit + e−a)=
ea
sh(a)
eit + ea−
e−a
sh(a)
eit + e−a
Puisque eit<1, on peut décomposer le premier terme comme ci-dessus et on
mène des calculs analogues pour la seconde somme
1
cos t+cha=1 sh(a)
+∞
X
n=0
(−1)ne−naeint −e−ae−it
sh(a)
+∞
X
n=0
(−1)ne−nae−int
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections 4
En combinant les deux sommes
1
cos t+cha=1 sh(a) 1 +
+∞
X
n=1
2(−1)ne−na cos(nt)!
Puisqu’il y a convergence de la série Pe−na, on peut aisément établir la
convergence normale permettant l’intégration terme à terme calculant les
coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction considérée. Sans surprise,
on obtient que la décomposition précédente s’apparente à la décomposition en
série de Fourier de la fonction étudiée.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD