MOUTON Alexandre 2009-restrict

Approximation multi-échelles de l’équation
de Vlasov
par
Alexandre MOUTON
Thèse soutenue le 16 Septembre 2009 devant le jury composé de
Grégoire Allaire Rapporteur externe
Christophe Besse Rapporteur externe
Laurent Desvillettes Examinateur
Emmanuel Frénod Directeur de thèse
Philippe Helluy Rapporteur interne
Eric Sonnendrücker Directeur de thèse

2

Remerciements
Mes premiers remerciements vont à Eric Sonnendrücker. Je tiens à lui exprimer une immense
gratitude pour la confiance qu’il m’accorde depuis depuis mon stage en magistère et mes débuts
en analyse numérique. Je le remercie également pour sa présence, ses conseils et son soutien tout
au long de mon travail de thèse.
Je tiens également à remercier Emmanuel Frénod qui, malgré la distance géographique, a co-
dirigé ma thèse. A travers de longues discussions téléphoniques, il a su apporter d’excellents conseils
tant au niveau scientifique que personnel, et il a su me remotiver lorsque cela était nécessaire.
Je remercie également Grégoire Allaire, Christophe Besse et Philippe Helluy qui m’ont fait
l’honneur d’accepter de rapporter sur ma thèse. Un merci tout particulier à Grégoire Allaire et
Philippe Helluy qui m’ont apporté des informations capitales en mécanique des fluides et en ther-
modynamique grâce auxquelles la rédaction du deuxième chapitre de ce document a été grandement
améliorée. Je remercie également Laurent Desvillettes de s’être joint au jury en tant qu’examina-
teur.
Un très grand merci à l’ensemble de l’équipe EDP de Strasbourg, à commencer par Sébastien
Jund avec qui je partage mon bureau et mes enseignements en L3 depuis le début de la thèse. Merci
également à Nicolas Crouseilles pour les nombreux conseils sur les méthodes semi-lagrangiennes
et les modèles gyrocinétiques, à Matthieu Haefele pour les nombreux coups de main sous Unix et
l’initiation au logiciel Visit, à Hocine Sellama pour sa sympathie et pour les discussions autour d’un
café et d’un tableau plein d’équations. Je n’oublie pas non plus les autres membres de l’équipe :
Stéphanie, Michel, Martin, Hélène, Sever, Thomas, Yves, et la liste est encore longue !
Par extension, je remercie également toutes les personnes que j’ai eu l’occasion de côtoyer à
l’IRMA et dans le cadre du projet CALVI, le personnel administratif et le personnel du service
reprographie. La qualité de leurs services et leur bonne humeur quotidienne sont autant de raisons
d’apprécier de travailler à leurs côtés.
J’adresse également mes remerciements à Luc et Stéph, Jean-Baptiste, Bruno, Didier, Jérémie,
Régis, Marie-Claire, François, Valérie, Florent, Marie-Antoinette, Jean-Claude, Julien, et aux Mas-
ters du club Léo-Lagrange Natation pour leur bonne humeur, leurs encouragements et leur fameux
"La soutenance est pour quand ?".
Je ne serais sans doute jamais arrivé au bout de cette thèse sans les encouragements constants
de mes parents qui m’ont toujours soutenu malgré la longueur des études qui ont été nécessaires
pour en arriver là. Je remercie également mon petit frère Nicolas sans qui je n’aurais pas pris
conscience d’avoir attrapé le virus de la Recherche, et je lui adresse mes plus vifs encouragements
dans son travail de doctorant.
Enfin, mes derniers remerciements, sans doute les plus sincères, sont pour celle avec qui j’ai
choisi de partager ma vie. Merci pour tout.
3

4

Notations
Sauf mention contraire, les notations suivantes sont valables pour l’ensemble de ce manuscrit.
Soient Ωun ouvert de Rnde frontière notée ∂Ω, et x= (x1,...,xn)∈Ω.
Nous considérons les opérateurs différentiels suivants :
– pour u: Ω →R, la dérivée partielle de uselon xi:∂xiu(x) = ∂u
∂xi
(x),
– pour u: Ω →R, le gradient de uen x:∇xu(x) = 
∂x1u(x)
.
.
.
∂xnu(x)
,
– pour u=
u1
.
.
.
un
: Ω ∈Rn, la divergence de uen x:∇x·u(x) = ∂x1u1(x) + ···+∂xnun(x),
– pour u=
u1
u2
u3
: Ω ∈R3, le rotationnel de u:∇x·u(x) = 
∂x2u3(x)−∂x3u2(x)
∂x3u1(x)−∂x1u3(x)
∂x1u2(x)−∂x2u1(x)
,
– pour u: Ω →R, le laplacien de uen x:∆xu(x) = ∇x· ∇xu(x) = ∂2
x1u(x) + ···+∂2
xnu(x),
– pour u: Ω →Rm, le support de udans Ω: Supp(u) = nx∈Ω : u(x)6= 0o.
Nous considérons les espaces fonctionnels suivants (voir [1]) :
–Lp(Ω) = nu: Ω →Rmesurable sur Ω : ZΩu(x)
pdx<+∞opour p∈[1,+∞[,
–L∞(Ω) = nu: Ω →Rmesurable sur Ω : max
x∈Ωu(x)<+∞o,
–Wk,p(Ω) = nu∈Lp(Ω) : toute dérivée partielle de ud’ordre ≤kest dans Lp(Ω)opour
p∈[1,+∞]et k∈N,
–Wk,p
0(Ω) = C∞
c(Ω) ⊂Wk,p(Ω),
–Hk(Ω) = Wk,2(Ω),
–D(Ω) = nu∈ C∞(Ω) : Supp(u)est compact dans Ωo,
Pour tout espace fonctionnel X(Y)sur le pavé Y= [0, θ1]×···×[0, θn]⊂Rn, nous définissons
l’espace X#(Y)par
X#(Y) = nu∈X(Y) : uest Y-périodiqueo,
et nous le munissons de la norme induite par celle de X(Y).
5