COULON Remi 2010

INSTITUT DE
RECHERCHE
MATHÉMATIQUE
AVANCÉE
UMR 7501
Strasbourg
www-irma.u-strasbg.fr
Thèse
présentée pour obtenir le grade de docteur de
l’Université de Strasbourg
Spécialité MATHÉMATIQUES
Rémi Coulon
Automorphismes extérieurs
du groupe de Burnside libre
Soutenue le 14 juin 2010
devant la commission d’examen
Thomas Delzant, directeur de thèse
Cornelia Dru¸tu, rapporteur
Rostislav Grigorchuk, examinateur
Gilbert Levitt, rapporteur
Bertrand Rémy, examinateur

Rémi Coulon
Automorphismes
extérieurs du groupe de
Burnside libre
Institut de Recherche Mathématique Avancée
Université de Strasbourg et CNRS (UMR 7501)
7, rue René Descartes
67 084 Strasbourg Cedex
Mots-clés : théorie géométrique des groupes, groupes hyperboliques, groupe
de Burnside, automorphismes de groupes, petite simplification, complexes asphé-
riques.
Classification mathématique : 20F65, 20F50, 20F67, 20F69, 20F28, 20E36,
20F06, 20F05, 57M35

Remerciements
En premier lieu, je tiens à remercier chaleureusement Thomas Delzant qui a
encadré mon travail. Au cours de ces trois années, j’ai pu apprécier son écoute
et sa disponibilité. Lors de nos discussions, mathématiques ou non, j’ai profité
de l’étendue de ses connaissances et de sa compréhension profonde de nombreux
problèmes. Il m’a plongé au milieu d’un joyeux bouillonnement d’idées tout en
me laissant libre de choisir les questions que je souhaitais aborder.
Je suis extrêmement reconnaissant à Cornelia Druţu et Gilbert Levitt pour
avoir accepté de rapporter cette thèse et pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon
travail ainsi qu’à Rostislav Grigorchuk et Bertrand Rémy qui me font l’honneur
de siéger dans mon jury.
Rencontrer d’autres mathématiciens - dont souvent on ne connaît que le
nom sur un article - est un moment surréaliste et motivant. A chaque fois, j’ai
apprécié leur gentillesse et leurs encouragements. Je voudrais exprimer toute ma
gratitude à Gilbert Levitt, pour son aide sur les automorphismes du groupe libre,
à Étienne Ghys, qui m’a suggéré des pistes à explorer, ainsi qu’à Igor Lysenok
et Pierre Pansu, pour m’avoir consacré de leur temps que je sais précieux. Merci
aussi à Goulnara Arzhantseva, Laurent Bartholdi, François Dahmani, Vincent
Guirardel, Frédéric Haglund, Ursula Hamenstädt, Thomas Foertsch et Alain
Valette pour leur accueil, le temps d’un exposé.
J’ai été accueilli à Strasbourg par une folle équipe de doctorants : mes chers
co-bureaux, les Dindes, les locataires du 113B, les piliers du Zorba et du Zouave,
etc. Je souhaite profiter de ces quelques lignes pour leur faire part de toute
mon amitié, notamment à Vincent, Anne-Laure, Hélène et Matthias, qui m’ont
accepté, avec mes défauts, et m’ont épaulé dans les moments difficiles.
Un grand merci aussi à tout le personnel technique et administratif de l’IRMA
et de l’UFR de Mathématiques et d’Informatique. Tout particulièrement à Vé-
ronique Bertrand et Daniel Grosson ainsi qu’à Claudine Bonnin, Yvonne Borell
et Sandrine Cerdan qui ont supporté avec bonne humeur mes vocalises dans le
couloir du premier étage.
La musique a en effet accompagné mon quotidien. Je garderai un souvenir nos-
talgique des bavardages de pupitres avec Claire-Basson, Élise, Juliette, Simon
l’altiste et Philippe lors des répétitions de l’Orchestre Universitaire de Stras-
bourg. En rejoignant Magali, Solenn, François et Vincent dans le groupe Tadja
(... entendu Tadja ?), j’ai découvert une musique jubilatoire et trouvé des amis
extraordinaires. Merci à vous tous.

iv Automorphismes extérieurs du groupe de Burnside libre
« Mais à quoi donc peut bien servir la recherche en maths ? » A force d’en-
tendre cette question, on doute parfois de son utilité. Véritable bouffée d’air
frais, les projets menés avec l’association « L’enfant @ l’hôpital » m’ont redonné
l’impression de ne pas être totalement perdu pour la société. Anne, Genou, merci
pour votre confiance et votre amitié. « L’enfant @ l’hôpital » est bien plus qu’un
engagement, c’est une seconde famille.
Je remercie aussi mes amis Guillaume, Alexis et Stéphanie, qui m’ont accueilli
lors de mes pérégrinations. Je regrette de n’avoir pas fait l’effort de partager plus
de temps avec eux. J’espère que le futur m’offrira l’occasion de me rattraper.
Les discussions mathématiques ont toujours ponctué les repas en famille. Si
un problème résistait à mes parents, la table de la cuisine se métamorphosait en
une figure géométrique dont les cercles étaient des assiettes et les segments des
fourchettes. Je ne saurais jamais assez remercier ma mère et mon père d’avoir
éveillé ma curiosité et de m’avoir transmis leur esprit scientifique. Je voudrais
aussi témoigner toute mon affection à mon frère David et son épouse Marion qui
m’ont soutenu tout au long de mon parcours. Depuis la naissance de leur fille
Noémie, au début de ma thèse, je me suis successivement transformé en Tonton
Milka, ’on’on ’mi, Tonton Rémi, etc. Autant de joies que j’espère retrouver avec
l’arrivée du petit Étienne.
Alors que je m’apprête à traverser le Rhin, mon « petit frère » Alexandre
démarre sa thèse sous la direction de Thomas Delzant. Je lui souhaite autant de
joies que j’ai pu en éprouver à Strasbourg.
Les illustrations des chapitres sont extraites des aventures d’Anselme Lan-
turlu par Jean-Pierre Petit, [55] et [56].

Les mathématiques font un plaisir toujours égal, qui n’est pas succeptible de
plus ou de moins ; à l’autre extrémité de nos moyens de jouissance, je vois la
musique. Elle donne un plaisir extrême, mais de peu de durée, et de peu de
fixité. La morale, l’histoire, les romans, la poésie, qui occupent sur le clavier de
nos plaisirs tout l’intervalle entre les mathématiques et l’Opéra-Buffa, donnent
des jouissances d’autant moins vives, qu’elles sont plus durables, et qu’on peut
y revenir davantage, avec la certitude de les éprouver encore.
Stendhal, Vie de Rossini [60]