Eléments de topologie

Eléments de topologie
Prologue
La Topologie(1) est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux pro-
priétés des parties de Rninvariantes par toute déformation continue de ces par-
ties. Un carré dans R2peut, par exemple, être déformé continument , c’est-à-dire
sans déchirement , en un disque. Et l’inverse est également vrai. Ces deux en-
sembles partagent certaines propriétés topologiques. Par exemple : toute fonc-
tion continue d’un disque ou d’un carré de R2dans lui-même possède un point
fixe . Si vous otez une nappe épousant exactement le contour d’une table ronde,
et que vous la chiffonniez avant de la rejeter en boule sur la table, l’un des points
de la nappe se retrouvera toujours à l’endroit exact où il se trouvait initialement.
C’est encore vrai si la table est carrée. Mais ce n’est plus vrai si la table a un trou
en son centre : un disque plein et un disque percé d’un trou sont tolopogique-
ment distincts.
Le substrat théorique de la topologie est la notion « d’espace topologique ».
Un espace topologique est le couple formé par un ensemble Eet une classe de
parties de E, appelées « ouverts », satisfaisant certaines propriétés fondamen-
tales. On dit que l’on a muni un ensemble Ed’une « topologie » lorsqu’on y a
défini une classe « d’ouverts » formant avec Eun espace topologique. Dans tout
ensemble Emuni d’une topologie, il est possible de donner une définition abs-
traite de certains concepts géométriques dont on a une intuition naturelle dans
le plan ou l’espace : l’intérieur , la frontière ,l’extérieur (l’intérieur du complé-
mentaire) d’une partie quelconque de E. On peut aussi donner un sens précis
à la notion de « transformation continue » d’une partie de Edans lui-même, et
développer alors une théorie des formes, indépendante de toute notion de me-
sure, qui s’intéresse aux propriétés des parties de Einvariantes par toute trans-
formation continue dont l’inverse est également continu (comme la déforma-
tion d’un carré en un disque). La Topologie et son vocabulaire sont aujourd’hui
parties intégrantes de l’Analyse et irriguent le language usuel de la modélisation
mathématique.
1. Du grec : τoπoς« lieu », et : λoγoς« parole, discours, et par extension : discours raisonné,
science.

4.1. NOTION ABSTRAITE D’ESPACE TOPOLOGIQUE 81
La notion d’adhérence introduite au chapître précédent permet de définir
sur tout espace de dimension finie Eune topologie naturelle, appelée « topolo-
gie usuelle » de E. Les espaces R2et R3, qui supportent l’intuition géométrique
et autorisent des représentations graphiques 2D ou 3D de leurs parties, sont les
exemples fondamentaux de la théorie, qui doivent servir de modèles et de guides
dans le marais des définitions abstraites de ce chapître, qui introduit la topolo-
gie usuelle des espaces de dimension finie et le vocabulaire associé : intérieur ,
adhérence ,frontière ,ouverts ,fermés ,voisinages d’un point, parties compactes .
On y analyse la relation entre topologie et structure Euclidienne, puis entre
topologie et continuité, et on y démontre un théorème clé de l’Optimisation, le
théorème de Weierstrass(2), qui assure que toute fonction f ∶D⊂E↦Rà valeurs
réelles, définie et continue sur une partie D d’un espace de dimension finie E,
atteint son minimum et son maximum sur toute partie compacte de E contenue
dans D .
4.1 Notion abstraite d’espace topologique
Commençons (ce sera utile pour la suite) par prendre un peu de hauteur en
posant quelques définitions abstraites :
Définition 4.1.1 Un « espace topologique »est le couple (E,O(E)))formé par un
ensemble E quelconque, et par une « topologie » sur E, c’est-à-dire une collection
O(E)de parties de E, appelés « ouverts », vérifiant :
(O1)E et l’ensemble vide sont des ouverts de E :
E∈O(E),et : ∅∈O(E)(4.1)
(O2)Toute réunion d’ouverts de E est un ouvert de E
Oi∈O(E) (i∈I)⇒
i∈I
Oi∈O(E)(4.2)
(O3)Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert de E :
Oi∈O(E) (1≤i≤n)⇒n
i=1
Oi∈O(E)(4.3)
On dit qu’une partie de E est « ouverte » si c’est un ouvert de E.
2. - Karl Theodor Wilhem Weierstrass, 1815-1897, le Weierstrass du théorème de Bolzano-
Weierstrass. Pour découvrir sa biographie :
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Weierstrass.html.

82 CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
Topologie engendrée par une famille de parties
Proposition 4.1.1 Etant donnée une famille quelconque Fde parties d’un en-
semble E , il existe une topologie sur E, minimale au sens de l’inclusion parmi
toutes les topologies contenant F.
Preuve : La collection de toutes les parties de Edéfinit trivialement une topolo-
gie sur E. Il existe donc au moins une topologie sur Econtenant F, et on vérifie
facilement que l’intersection des topologies sur Econtenant Fest encore une
topologie sur Equi contient F. Elle est évidemment minimale, au sens de l’in-
clusion, parmi toutes celles ayant cette propriété.
Définition 4.1.2 On appelle topologie « engendrée » sur un ensemble E par une
famille Fde parties de E l’unique topologie qui contient F, minimale au sens de
l’inclusion parmi toutes celles ayant cette propriété.
Proposition 4.1.2 Si Fest une famille de parties d’un ensemble E stable par
intersection finie, c’est-à-dire vérifiant :
Fi∈F(1≤i≤n)⇒n
i=1
Fi∈F(4.4)
la topologie engendrée par Fest la topologie :
OF(E)={E,∅}∪{
F∈G
FG⊂F}(4.5)
dont les ouverts sont E, ∅, et les réunions quelconques d’éléments de F.
Preuve : Il suffit de vérifier que OF(E)est une topologie sur E. Elle vérifie tri-
vialement (4.1) et (4.2), et (4.4) implique qu’elle vérifie également (4.3). C’est la
topologie engendrée par F, puisque toute topologie contenant Fdevra vérifier
(4.1) et (4.2), donc nécessairement contenir OF(E).
Exemple 4.1.1 Sur R, la famille des intervalles ouverts ]a,b[(−∞<a<b<+∞)
engendre une topologie dont les ouverts sont les réunions d’intervalles ouverts.
Fermés d’un espace topologique
Définition 4.1.3 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, on dit qu’une par-
tie de E est « fermée », ou que c’est un « fermé » de E lorsque son complémentaire
dans E est un ouvert.
Exemple 4.1.2 Tout intervalle fermé [c,d]de Rest fermé pour la topologie en-
gendrée sur Rpar les intervalles ouverts ]a,b[(−∞<a<b<+∞).

4.1. NOTION ABSTRAITE D’ESPACE TOPOLOGIQUE 83
De la complémentarité des ouverts et des fermés, et des propriétés (O1)à
(O3)des ouverts, on déduit immédiatement :
Proposition 4.1.3 La classe F(E)des fermés de tout ensemble E muni d’une
topologie vérifie :
(F1)F(E)contient E et l’ensemble vide :
E∈F(E),et : ∅∈F(E)(4.6)
(F2)Toute intersection de fermés de E est un fermé de E
Fi∈F(E) (i∈I)⇒
i∈I
Fi∈F(E)(4.7)
(F3)Toute union finie de fermés de E est un fermé de E :
Fi∈F(E) (1≤i≤n)⇒n
i=1
Fi∈F(E)(4.8)
Voisinages d’un point dans un espace topologique
Définition 4.1.4 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, on dit qu’une par-
tie V de E est « voisinage » d’un point a de E si V contient un ouvert contenant
a.
Proposition 4.1.4 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, la classe VE(a)
des voisinages de tout point a dans E vérifie :
(V1)Tout point a au moins un voisinage :
VE(a)≠∅(4.9)
(V2)Toute partie de E contenant un voisinage de a est voisinage de a :
V∈VE(a),V⊂W⇒W∈VE(a)(4.10)
(V3)Toute intersection finie de voisinages de a est voisinage de a :
Vi∈VE(a)(1≤i≤n)⇒n
i=1
Vi∈VE(a)(4.11)
Preuve : - V1:Eest un ouvert contenant a(cf. Définition 4.1.1).
-V2: est une conséquence immédiate de la définition d’un voisinage
-V3: Chaque Vi∈V(a)( 1 ≤i≤n) contient par définition un ouvert Oide
Econtenant a, et : O=n
i=1
Oiest un ouvert (Définition 4.1.1, Propriété (O3))
2. Par analogie avec les exemples fondamentaux R2et R3, on appelle souvent « points » les
éléments de tout ensemble muni d’une toplogie.

84 CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
contenu dans
n
i=1
Viet contenant a.
Proposition 4.1.5 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, une partie de E
est un ouvert si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses points.
Preuve : Par définition d’un voisinage, tout ouvert de Eest évidemment voisi-
nage de chacun de ses points. Réciproquement, si Aest une partie de Equi est
voisinage de chacun de ses points, chaque point xde Adoit être contenu dans
un ouvert Oxde Econtenu dans A, de sorte que : A=x∈AOxest réunion d’ou-
verts de E, donc un ouvert de E(Définition 4.1.1, propriété O(2)).
Bases de voisinages
Définition 4.1.5 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, on appelle « base
de voisinages » d’un point a de E, toute famille Fde voisinages de a, telle que
tout voisinage de a dans E contienne un élément de F.
Exemple 4.1.3 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, les voisinages ou-
verts d’un point a forment une base de voisinages de a.
Exemple 4.1.4 Dans R, muni de la topologie engendrée par les intervalles ou-
verts, les intervalles ouverts contenant un point a forment une base de voisinages
de a.
Topologie induite sur une partie d’un espace topologique
Soient Eun ensemble quelconque, O(E)une topologie sur E, et F(E)la
classe des fermés de Epour cette topologie.
Définition 4.1.6 On appelle topologie « induite » par O(E)sur une partie A de
E la topologie :
O(A)={O∩AO∈O(E)} (4.12)
dont les ouverts sont les traces sur A des ouverts de E.
Proposition 4.1.6 La classe des fermés de l’espace topologique en munissant A
de la topologie induite sur A par O(E)est la classe :
F(A)={F∩AF∈F(E)} (4.13)
des traces sur A des fermés de E.
Preuve : Un fermé de Amuni de la topologie induite est le complémentaire