Eléments de topologie

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Eléments de topologie
Prologue
La Topologie (1) est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux propriétés des parties de Rn invariantes par toute déformation continue de ces parties. Un carré dans R2 peut, par exemple, être déformé continument , c’est-à-dire
sans déchirement , en un disque. Et l’inverse est également vrai. Ces deux ensembles partagent certaines propriétés topologiques. Par exemple : toute fonction continue d’un disque ou d’un carré de R2 dans lui-même possède un point
fixe . Si vous otez une nappe épousant exactement le contour d’une table ronde,
et que vous la chiffonniez avant de la rejeter en boule sur la table, l’un des points
de la nappe se retrouvera toujours à l’endroit exact où il se trouvait initialement.
C’est encore vrai si la table est carrée. Mais ce n’est plus vrai si la table a un trou
en son centre : un disque plein et un disque percé d’un trou sont tolopogiquement distincts.
Le substrat théorique de la topologie est la notion « d’espace topologique ».
Un espace topologique est le couple formé par un ensemble E et une classe de
parties de E , appelées « ouverts », satisfaisant certaines propriétés fondamentales. On dit que l’on a muni un ensemble E d’une « topologie » lorsqu’on y a
défini une classe « d’ouverts » formant avec E un espace topologique. Dans tout
ensemble E muni d’une topologie, il est possible de donner une définition abstraite de certains concepts géométriques dont on a une intuition naturelle dans
le plan ou l’espace : l’intérieur , la frontière , l’extérieur (l’intérieur du complémentaire) d’une partie quelconque de E . On peut aussi donner un sens précis
à la notion de « transformation continue » d’une partie de E dans lui-même, et
développer alors une théorie des formes, indépendante de toute notion de mesure, qui s’intéresse aux propriétés des parties de E invariantes par toute transformation continue dont l’inverse est également continu (comme la déformation d’un carré en un disque). La Topologie et son vocabulaire sont aujourd’hui
parties intégrantes de l’Analyse et irriguent le language usuel de la modélisation
mathématique.
1. Du grec : τoπoς « lieu », et : λoγoς « parole, discours, et par extension : discours raisonné,
science.
4.1. NOTION ABSTRAITE D’ESPACE TOPOLOGIQUE
81
La notion d’adhérence introduite au chapître précédent permet de définir
sur tout espace de dimension finie E une topologie naturelle, appelée « topologie usuelle » de E . Les espaces R2 et R3 , qui supportent l’intuition géométrique
et autorisent des représentations graphiques 2D ou 3D de leurs parties, sont les
exemples fondamentaux de la théorie, qui doivent servir de modèles et de guides
dans le marais des définitions abstraites de ce chapître, qui introduit la topologie usuelle des espaces de dimension finie et le vocabulaire associé : intérieur ,
adhérence , frontière , ouverts , fermés , voisinages d’un point, parties compactes .
On y analyse la relation entre topologie et structure Euclidienne, puis entre
topologie et continuité, et on y démontre un théorème clé de l’Optimisation, le
théorème de Weierstrass (2), qui assure que toute fonction f ∶ D ⊂ E ↦ R à valeurs
réelles, définie et continue sur une partie D d’un espace de dimension finie E ,
atteint son minimum et son maximum sur toute partie compacte de E contenue
dans D .
4.1 Notion abstraite d’espace topologique
Commençons (ce sera utile pour la suite) par prendre un peu de hauteur en
posant quelques définitions abstraites :
Définition 4.1.1 Un « espace topologique »est le couple (E , O(E ))) formé par un
ensemble E quelconque, et par une « topologie » sur E , c’est-à-dire une collection
O(E ) de parties de E , appelés « ouverts », vérifiant :
(O1 ) E et l’ensemble vide sont des ouverts de E :
E ∈ O(E ), et :
∅ ∈ O(E )
(4.1)
(O2 ) Toute réunion d’ouverts de E est un ouvert de E
O i ∈ O(E ) ( i ∈ I ) ⇒ ⋃ O i ∈ O(E )
(4.2)
i ∈I
(O3 ) Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert de E :
n
O i ∈ O(E ) ( 1 ≤ i ≤ n ) ⇒ ⋂ O i ∈ O(E )
(4.3)
i =1
On dit qu’une partie de E est « ouverte » si c’est un ouvert de E .
2. - Karl Theodor Wilhem Weierstrass, 1815-1897, le Weierstrass du théorème de BolzanoWeierstrass. Pour découvrir sa biographie :
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Weierstrass.html.
82
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
Topologie engendrée par une famille de parties
Proposition 4.1.1 Etant donnée une famille quelconque F de parties d’un ensemble E , il existe une topologie sur E , minimale au sens de l’inclusion parmi
toutes les topologies contenant F .
Preuve : La collection de toutes les parties de E définit trivialement une topologie sur E . Il existe donc au moins une topologie sur E contenant F, et on vérifie
facilement que l’intersection des topologies sur E contenant F est encore une
topologie sur E qui contient F . Elle est évidemment minimale, au sens de l’inclusion, parmi toutes celles ayant cette propriété.
Définition 4.1.2 On appelle topologie « engendrée » sur un ensemble E par une
famille F de parties de E l’unique topologie qui contient F , minimale au sens de
l’inclusion parmi toutes celles ayant cette propriété.
Proposition 4.1.2 Si F est une famille de parties d’un ensemble E stable par
intersection finie, c’est-à-dire vérifiant :
n
Fi ∈ F ( 1 ≤ i ≤ n ) ⇒ ⋂ Fi ∈ F
(4.4)
i =1
la topologie engendrée par F est la topologie :
OF (E ) = {E , ∅} ∪ { ⋃ F ∣ G ⊂ F}
(4.5)
F ∈G
dont les ouverts sont E , ∅, et les réunions quelconques d’éléments de F .
Preuve : Il suffit de vérifier que OF (E ) est une topologie sur E . Elle vérifie trivialement (4.1) et (4.2), et (4.4) implique qu’elle vérifie également (4.3). C’est la
topologie engendrée par F , puisque toute topologie contenant F devra vérifier
(4.1) et (4.2), donc nécessairement contenir OF (E ).
Exemple 4.1.1 Sur R , la famille des intervalles ouverts ] a, b [ (−∞ < a < b < +∞)
engendre une topologie dont les ouverts sont les réunions d’intervalles ouverts.
Fermés d’un espace topologique
Définition 4.1.3 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, on dit qu’une partie de E est « fermée », ou que c’est un « fermé » de E lorsque son complémentaire
dans E est un ouvert.
Exemple 4.1.2 Tout intervalle fermé [c, d ] de R est fermé pour la topologie engendrée sur R par les intervalles ouverts ] a, b [ (−∞ < a < b < +∞).
4.1. NOTION ABSTRAITE D’ESPACE TOPOLOGIQUE
83
De la complémentarité des ouverts et des fermés, et des propriétés (O1 ) à
(O3 ) des ouverts, on déduit immédiatement :
Proposition 4.1.3 La classe F(E ) des fermés de tout ensemble E muni d’une
topologie vérifie :
(F1 ) F(E ) contient E et l’ensemble vide :
E ∈ F(E ), et :
∅ ∈ F(E )
(4.6)
(F2 ) Toute intersection de fermés de E est un fermé de E
F i ∈ F(E ) ( i ∈ I ) ⇒ ⋂ F i ∈ F(E )
(4.7)
i ∈I
(F3 ) Toute union finie de fermés de E est un fermé de E :
n
F i ∈ F(E ) ( 1 ≤ i ≤ n ) ⇒ ⋃ F i ∈ F(E )
(4.8)
i =1
Voisinages d’un point dans un espace topologique
Définition 4.1.4 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, on dit qu’une partie V de E est « voisinage » d’un point a de E si V contient un ouvert contenant
a.
Proposition 4.1.4 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, la classe VE (a )
des voisinages de tout point a dans E vérifie :
(V1 ) Tout point a au moins un voisinage :
VE ( a ) ≠ ∅
(V2 ) Toute partie de E contenant un voisinage de a est voisinage de a :
V ∈ VE (a ),V ⊂ W ⇒ W ∈ VE (a )
(V3 ) Toute intersection finie de voisinages de a est voisinage de a :
(4.9)
(4.10)
n
Vi ∈ VE (a )( 1 ≤ i ≤ n ) ⇒ ⋂ Vi ∈ VE (a )
(4.11)
i =1
Preuve : - V1 : E est un ouvert contenant a (cf. Définition 4.1.1).
- V2 : est une conséquence immédiate de la définition d’un voisinage
- V3 : Chaque Vi ∈ V(a ) ( 1 ≤ i ≤ n) contient par définition un ouvert O i de
n
E contenant a, et : O = ⋂ O i est un ouvert (Définition 4.1.1, Propriété (O3 ) )
i =1
2. Par analogie avec les exemples fondamentaux R2 et R3 , on appelle souvent « points » les
éléments de tout ensemble muni d’une toplogie.
84
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
n
contenu dans ⋂ Vi et contenant a.
i =1
Proposition 4.1.5 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, une partie de E
est un ouvert si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses points.
Preuve : Par définition d’un voisinage, tout ouvert de E est évidemment voisinage de chacun de ses points. Réciproquement, si A est une partie de E qui est
voisinage de chacun de ses points, chaque point x de A doit être contenu dans
un ouvert O x de E contenu dans A , de sorte que : A = ⋃x ∈ A O x est réunion d’ouverts de E , donc un ouvert de E (Définition 4.1.1, propriété O(2)).
Bases de voisinages
Définition 4.1.5 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, on appelle « base
de voisinages » d’un point a de E , toute famille F de voisinages de a, telle que
tout voisinage de a dans E contienne un élément de F .
Exemple 4.1.3 Dans tout ensemble E muni d’une topologie, les voisinages ouverts d’un point a forment une base de voisinages de a.
Exemple 4.1.4 Dans R, muni de la topologie engendrée par les intervalles ouverts, les intervalles ouverts contenant un point a forment une base de voisinages
de a.
Topologie induite sur une partie d’un espace topologique
Soient E un ensemble quelconque, O(E ) une topologie sur E , et F(E ) la
classe des fermés de E pour cette topologie.
Définition 4.1.6 On appelle topologie « induite » par O(E ) sur une partie A de
E la topologie :
O( A ) = { O ∩ A ∣ O ∈ O(E )}
(4.12)
dont les ouverts sont les traces sur A des ouverts de E .
Proposition 4.1.6 La classe des fermés de l’espace topologique en munissant A
de la topologie induite sur A par O(E ) est la classe :
F( A ) = { F ∩ A ∣ F ∈ F(E )}
(4.13)
des traces sur A des fermés de E .
Preuve : Un fermé de A muni de la topologie induite est le complémentaire
4.2. TOPOLOGIE USUELLE DES ESPACES DE DIMENSION FINIE
85
dans A d’un ouvert de A pour cette topologie, donc un ensemble de la forme :
c
A ∩ (O ∩ A ) = A ∩ (O c ∪ A c ) = ( A ∩ O c ) ∪ ( A ∩ A c ) = A ∩ O c
où O est un ouvert de E , c’est-à-dire la trace sur A d’un fermé de E .
Exemple 4.1.5 ] 0, 1 ] est un fermé et ] 1, 2 ] un ouvert de la topologie induite sur
] 0, 2 ] par la topologie engendrée sur R par les intervalles ouverts.
4.2 Topologie usuelle des espaces de dimension finie
Intuitivement, une partie de R2 ou de R3 est un « ouvert » si elle ne contient
aucun point de sa frontière . Cette intuition peut être formalisée à l’aide de la
notion d’adhérence , définie au chapître précédent : un « point » appartient à la
frontière d’une partie A si il est adhérent à la fois à A et à son complémentaire.
Cette idée sert de base de la construction d’une topologie naturelle sur tout espace de dimension finie E , indépendante de la donnée de toute autre structure
sur E .
Frontière et intérieur d’une partie d’un espace de dimension finie
Dans toute cette partie on suppose donné un espace de dimension finie E
quelconque. Comme il est destiné à être équipé d’une topologie, on appellera
ses éléments « points », par analogie avec les « points » de R2 ou de R3 .
Définition 4.2.1 On appelle « frontière » ou « bord » d’une partie A de E , et on
note ∂A l’ensemble des points de E adhérents à la fois à A et à son complémentaire :
∂A = A ∩ A c
(4.14)
Proposition 4.2.1 L’adhérence de toute partie A de E est réunion de A et de sa
frontière : A = A ∪ ∂A .
Preuve : Tout point x de A est évidemment limite de la suite constante dont
tous les termes sont égaux à x . Donc l’adhérence A de toute partie A de E
contient A. Elle contient aussi, par définition, sa frontière : ∂A = A ∩ A c . Réciproquement, tout point adhérent à A qui n’appartient pas à A est dans : A ∩ A c ,
donc appartient à ∂A . Ainsi A est contenu dans A ∪ ∂A .
86
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
○
Définition 4.2.2 On appelle « intérieur » d’une partie A de E , et on note : « A »
l’ensemble des points de A qui n’appartiennent pas à sa frontière :
○
A = A / ∂A = A ∩ (∂A )c
○
(4.15)
○
t On a donc toujours : A ⊂ A ⊂ A = A ∪ ∂A .
Exemple 4.2.1 dans R2 , l’intérieur du disque unité : D = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ x 12 + x 22 ≤ 1}
○
est : D = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ x 12 + x 22 < 1} . Sa frontière est le cercle d’équation : x 12 + x 22 = 1 .
Lois de complémentarité
Proposition 4.2.2 Pour toute partie A d’un espace de dimension finie E :
○
○ c
A c = ( A ) , et :
○
c
Í
Ac = ( A )
(4.16)
○
A c = ( A ) : Dire que a appartient à Í
A c , c’est dire qu’ il appartient à
Preuve : - Í
c
A mais pas à sa frontière. Cela équivaut à dire que a n’appartient ni à A ni à sa
frontière, donc qu’il n’appartient pas à : A = A ∪ ∂A .
c
○ c
- A c = ( A ) : on remplace, dans la relation précédente, A par son complémentaire dans E .
Ouverts de la topologie usuelle
Théorème 4.2.1 La collection des parties d’un espace de dimension finie E qui
coïncident avec leur intérieur est une topologie sur E .
○
Preuve : Il faut montrer que : O(E ) = {O ⊂ E ∣ O = O } vérifie les propriétés (O1 )
à (O3 ) de la définiton 4.1.1.
- (O1 ) : Le complémentaire E c de E est vide, donc son adhérence est vide.
Par conséquent, le bord de E est vide. De même l’adhérence, et donc le bord
de l’ensemble vide sont vides. Donc E et l’ensemble vide ne contiennent aucun
point de leurs bords repectifs et coïncident ainsi avec leurs intérieurs.
- (O2 ) : Soit : O i ( i ∈ I ) une famille quelconque de parties de E appartenant à
O(E ), et : O = ⋃i ∈I O i . Si un point a appartient au bord de O, il est limite d’une
suite x (k ) d’éléments de O c = ⋂i ∈I O ic , et est donc adhérent au complémentaire
de chacun des ouverts O i ( i ∈ I ). S’il appartenait également à O, il devrait par
conséquent appartenir à la fois à l’un au moins des O i ( i ∈ I ) et à l’adhérence
4.2. TOPOLOGIE USUELLE DES ESPACES DE DIMENSION FINIE
87
de son complémentaire, donc au bord de l’un au moins des O i ( i ∈ I ), ce qui est
impossible puisque, par hypothèse, chaque O i ( i ∈ I ) coïncide avec son intérieur. Ainsi O ne contient aucun point de sa frontière, et donc coïncide avec son
intérieur.
- (O3 ) : Soit maintenant O i ( 1 ≤ i ≤ n) une famille finie de parties de E
appartenant à O(E ), et : O = ⋂ni=1 O i . Si un point a appartient au bord de O, il
est limite d’une suite x (k ) d’éléments de : O c = ⋃ni=1 O ic , et l”un des O ic ( 1 ≤ i ≤ n)
doit nécessairement contenir une infinité de x (k ), donc son adhérence contient
a (Lemme ??). Si a appartenait également à O, il devrait donc appartenir à la fois
à l’un des O i ( 1 ≤ i ≤ n) et à son adhérence, ce qui est impossible puisque chacun
des Oi ( 1 ≤ i ≤ n) coïncide avec son intérieur. Ainsi O ne contient aucun point
de sa frontière, donc coïncide avec son intérieur.
Définition 4.2.3 Pour tout espace de dimension finie E , on appelle topologie
usuelle de E la topologie :
○
O(E ) = {O ⊂ E ∣ O = O }
dont les ouverts sont les parties de E qui coïncident avec leur intérieur : .
Fermés de la topologie usuelle
Théorème 4.2.2 Pour toute partie A d’un espace de dimension finie E , les assertions suivantes sont équivalentes :
1. A est fermé pour la topologie usuelle.
2. A coïncide avec son adhérence A.
3. A contient sa frontière ∂A.
Preuve :
- 1 ⇔ 2 : A est un fermé de la topologie usuelle si et seulement si son com○
plémentaire est un ouvert, c’est-à-dire : Í
A c = A c , donc si et seulement si : A = A
(Proposition 4.2.2).
- 2 ⇔ 3 : est conséquence immédiate de la proposition 4.2.1
Corollaire 4.2.1 Dans tout espace de dimension finie E , l’adhérence de toute partie de E est fermée pour la topologie usuelle de E .
Preuve : Soient A une partie quelconque de E , et B = {e (1), . . . , e (n )} une base
de E . Par définition, un élément a = ∑ni=1 a i e (i ) de E est adhérent à l’adhérence
A de A si il est limite d’une suite d’éléments de A . Pour tout entier k , on peut
88
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
alors trouver un point x (k ) = ∑ni=1 x i (k ) e (i ) dans A tel que :
n
max ∣ a i − x i (k )∣ < 2−k
(4.17)
i =1
Mais, par définition encore, chaque élément de A est lui-même limite d’une
suite d’éléments de A , de sorte que, pour tout entier k, on peut trouver un élément : y (k ) = ∑ni=1 y i (k ) e (i ) dans A , tel que :
n
max ∣ x i (k ) − y i (k )∣ < 2−k
(4.18)
i =1
La combinaison de (4.17) et (4.18) fournit, compte tenu l’inégalité triangulaire :
n
n
n
i =1
i =1
i =1
max ∣ a i − y i (k )∣ ≤ max ∣ a i − x i (k )∣ + max ∣ x i (k ) − y i (k )∣ < 2−k +1
qui montre que a est aussi limite de la suite y (k ), donc adhérent à A . Le résultat
valant pour tout a adhérent à A, A coïncide avec son adhérence, donc est un
fermé de la topologie usuelle de E .
Corollaire 4.2.2 Dans tout espace de dimension finie E , un point a est adhérent
à une partie A de E si et seulement si tout voisinage de a pour la topologie usuelle
de E rencontre A.
Preuve : - Supposons a adhérent à A : s’il existait un voisinage de a , donc un
ouvert O de E contenant a et ne recontrant pas A , on aurait : O ⊂ A c , donc :
A ⊂ O c , et puisque par définition O c est un fermé de E , A ⊂ O c , ce qui est absurde puisque a devrait appartenir à la fois à O et à son complémentaire.
c
- Réciproquement, si a n’est pas adhérent à A , l’ouvert O = A est voisinage
de a et ne rencontre pas A . Donc si tout voisinage de a rencontre A , a est adhérent à A .
Corollaire 4.2.3 Dans tout espace de dimension finie E muni de sa topologie
usuelle :
1. L’adhérence de toute partie A de E est l’intersection :
A= ⋂ F
(4.19)
A ⊂F
des fermés contenant A
2. L’intérieur de toute partie A de E est la réunion :
○
A= ⋃ O
(4.20)
O⊂ A
○
des ouverts contenus dans A. En particulier, A est un ouvert.
4.3. TOPOLOGIE USUELLE DES ESPACES EUCLIDIENS
89
Preuve : Tout fermé contenant A coïncide avec son adhérence, donc contient
l’adhérence de A , qui est fermée (Théorème 4.2.2), ce qui implique (4.19, et
(4.20) s’en déduit par passage au complémentaire.
4.3 Topologie usuelle des espaces Euclidiens
Boules ouvertes d’un espace Euclidien
Dans R3 , une « boule » de centre c et de rayon r est l’ensemble des points
dont la distance au point c est majorée par r . Selon que l’on inclut ou non sa
« frontière », on parlera de boule « ouverte » ou de boule « fermée ». Par analogie :
Définition 4.3.1 Dans tout espace Euclidien (E , <, >), on appelle « boule ouverte »
de centre c et de rayon r l’ ensemble :
B (c, r ) = {x ∈ E ∣ ∣ x − c ∣ < r }
Proposition 4.3.1 Dans un espace Euclidien (E , <, >), toute boule ouverte est un
ouvert de la topologie usuelle de E .
Preuve : De la continuité de la norme Euclidienne (Proposition ??), il résulte immédiatement que le complémentaire de toute boule ouverte coïncide avec son
adhérence, donc est fermé pour la topologie usuelle.
Théorème 4.3.1 Dans tout espace Euclidien (E , <, >), les boules ouvertes de
centre a et de rayon strictement positif forment une base de voisinages de a pour
la topologie usuelle de E .
Les boules ouvertes de centre a sont des ouverts de la topologie usuelle de
E (Proposition 4.3.1), qui contiennent a, donc, a fortiori , des voisinages de a
pour cette topologie. Réciproquement, tout voisinage V de a pour la topologie
usuelle de E doit contenir un ouvert O de la topologie usuelle contenant a, et
cet ouvert doit lui-même contenir une boule ouverte de centre a et de rayon
strictement positif. Sinon, pour tout entier k, la boule ouverte de centre a et de
rayon 2−k contiendrait un point x (k ) du complémentaire de O dans E , et ainsi
a serait limite de la suite x (k ), donc adhérent au complémentaire de O dans
E , qui, par définition, est un fermé de la topologie usuelle, donc contient son
adhérence (Théorème 4.2.1). Ainsi a devrait appartenir à la fois à O et à son
complémentaire, ce qui est absurde. Finalement une partie de E est voisinage
de a si et seulement si elle contient une boule ouverte de centre a et de rayon
strictement positif.
90
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
Corollaire 4.3.1 Dans tout espace de dimension finie E , une suite x (k ) d’éléments de E converge vers une limite a si et seulement si tout voisinage de a
pour la topologie usuelle de E contient tous les x (k ) sauf au plus un nombre fini
d’entre-eux.
Preuve : Puisque tout espace de dimension finie E peut être muni d’une structure Euclidienne (Proposition ??), c’est une conséquence immédiate du théorème 4.3.1 et de la Proposition ??.
Corollaire 4.3.2 Dans tout espace Euclidien (E , <, >), les boules ouvertes engendrent la topologie usuelle de E .
Preuve : Les boules ouvertes sont des ouverts de la topologie usuelle (Proposition 4.3.1), donc la topologie usuelle contient, par définition, la topologie engendrée par les boules ouvertes. Réciproquement, tout ouvert de la topologie
usuelle est voisinage de chacun de ses points, donc contient une boule ouverte
de rayon strictement positif centrée en chacun de ses points. Il est donc réunion
des boules ouvertes qu’il contient, et appartient ainsi à la topologie engendrée
par les boules ouvertes.
Corollaire 4.3.3 La topologie usuelle de R est la topologie engendrée par les intervalles ouverts : ] a, b [ (−∞ < a < b < +∞)
Preuve : Ce sont les « boules » ouvertes de l’espace Euclidien obtenu en munissant R du produit scalaire usuel.
4.4 Topologie et continuité
Soient X et Y deux espaces quelconques de dimensions finies.
Théorème 4.4.1 Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. f ∶ D ⊂ X ↦ Y est continue
2. Pour tout ouvert O de la topologie usuelle de Y :
f −1 (O ) = {x ∈ D ∣ f (x ) ∈ O }
est un ouvert de la topologie induite sur D par la topologie usuelle de X .
3. Pour tout fermé F de Y muni de sa topologie usuelle :
f −1 (F ) = {x ∈ D ∣ f (x ) ∈ F }
est fermé pour la topologie induite sur D par la topologie usuelle de X .
4.4. TOPOLOGIE ET CONTINUITÉ
91
Preuve : - 1 ⇒ 3 : Pour toute partie F de Y , f −1 (F ) est contenu dans son adhérence f −1 (F ) dans X , et, par définition, contenu dans D, donc contenu dans
f −1 (F ) ∩ D. Réciproquement, tout point a de f −1 (F ) ∩ D est limite d’une suite
Y
x (k ) de points de f −1 (F ) , et, par continuité de f : f ○ x (k ) → b = f (a ) . Puisque,
pour tout entier k, x (k ) appartient à f −1 (F ) , f ○ x (k ) appartient à F , et, comme
F est fermé dans Y , b appartient à F . Par conséquent : a ∈ f −1 (F ) . Ainsi :
f −1 (F ) = f −1 (F ) ∩ D
est fermé dans D pour la topologie induite sur D par la topologie usuelle de X .
- 3 ⇒ 2 : Pour tout ouvert O de Y : f −1 (O )c = f −1 (O c ) est le complémentaire
dans D d’un fermé, donc un ouvert, pour la topologie induite sur D par la topologie de X .
- 2 ⇒ 1 Si une suite x (k ) de points de D converge dans X vers un point a de
D , l’image réciproque f −1 (O ) de tout ouvert O de Y contenant f (a ) est, par
hypothèse, un ouvert de X contenant a, donc un voisinage de a dans X . Ce
voisinage doit contenir tous les x (k ) sauf au plus un nombre fini d’entre-eux
(Corollaire 4.3.1). Ainsi O contient tous les f ○ x (k ) sauf au plus un nombre fini,
Y
et, par conséquent : f ○ x (k ) → f (a ) . Le résultat valant pour tout point a de D
et toute suite x (k ) de points de D convergeant vers a, f est continue.
Corollaire 4.4.1 Si D est un ouvert (resp. un fermé) de X , l’image réciproque par
toute fonction continue f ∶ D ⊂ X ↦ Y de tout ouvert (resp. tout fermé) de Y est
un ouvert (resp. un fermé) de X .
Preuve : La trace d’un ouvert sur un ouvert (resp. d’un fermé sur un fermé) est
l’intersection de deux ouverts (resp. de deux fermés), donc un ouvert (resp. un
fermé).
Corollaire 4.4.2 Si f ∶ X ↦ Y est continue, l’image réciproque de tout ouvert
(resp. de tout fermé) de Y est un ouvert (resp. un fermé) de X .
Preuve : X est à la fois un ouvert et un fermé de la topologie usuelle de X .
Exemple 4.4.1 L’ensemble des n ×n matrices réelles inversibles est un ouvert dense
de M R (n ).
Preuve : C’est l’image réciproque de l’ouvert ] 0, +∞[ de R par la fonction continue :
f ∶ M R (n ) ↦ R ∶ A ↦ det A
donc un ouvert de M R (n ). Il est dense dans M R (n ) puisque, si A est une n × n
matrice réelle quelconque, et I la matrice identité de même format : det( A − λ I )
ne s’annule que pour un nombre fini de valeurs de λ. On peut donc toujours
92
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
trouver une suite réelle λ(k ) convergeant vers zéro telle que : det( A − λ(k ) I ) ≠ 0 ,
et :
M R (n )
A + λ(k ) I Ð→ A
4.5 Parties compactes
Définition 4.5.1 On dit qu’une partie K d’un espace de dimension finie X est
« compacte », ou que c’est un « compact », lorsque toute suite de points de K a (au
moins) une valeur d’adhérence dans K .
Soient X et Y deux espaces quelconques de dimensions finies, et D une partie quelconque de X .
Théorème 4.5.1 L’image d’une partie compacte K de X , contenue dans D, par
toute fonction continue f ∶ D ⊂ X ↦ Y est une partie compacte de Y .
Preuve : Toute suite y (k ) de points de f (K ) est l’image d’une suite x (k ) de
points de K , dont on peut extraire, si K est compact, une sous-suite x ○ ϕ(k )
convergeant vers un point a appartenant encore à K . Par continuité de f , la
suite : y ○ ϕ(k ) = f ○ x ○ ϕ(k ) est une suite extraite de y (k ), qui converge dans Y
vers le point f (a ), et ce point appartient à f (K ).
Corollaire 4.5.1 (Théorème de Weierstrass) Toute fonction continue
f ∶ D ⊂ X ↦ R , à valeurs réelles, atteint son maximum est son minimum sur
toute partie compacte K de X , contenue dans D.
Soit x (k ) une suite minimisante du problème consistant à minimiser f sur une
partie compactet K de D :
R
x (k ) ∈ K , f ○ x (k ) → m = inf f (x )
x ∈K
Du théorème 4.5.1, il résulte que f (K ) est un compact de R. La suite f ○ x (k ) a
donc, par définition, une valeur d’adhérence dans f (K ) , et, puisqu’elle converge
vers m, cela implique que m appartient à f (K ). Donc il existe un point a dans
K tel que : f (a ) = m . Le raisonnement est analogue si on remplace le problème
de minimisation par un problème de maximisation.
Corollaire 4.5.2 Dans tout espace de dimension finie X , les parties compactes
sont les parties bornées, fermées pour la topologie usuelle de X .
Preuve : Toute partie compacte K de X est bornée puisque toute norme Euclidienne sur X est continue (Proposition ??), donc atteint son maximum sur K
4.5. PARTIES COMPACTES
93
(Théorème de Weierstrass) . Elle est fermée, puisque toute suite x (k ) de points
de K convergeant dans X vers une limite a doit avoir, par définition, une valeur
d’adhérence dans K . Sa limite, qui est son unique valeur d’adhérence, est donc
dans K . Ainsi K coïncide avec son adhérence dans X (Théorème 4.2.2). Réciproquement, toute partie bornée K de X , fermée pour la topologie usuelle de X , est
compacte : puisque K est bornée, toute suite de points de K a au moins une valeur d’adhérence (Théorème ??), puisque K est fermée, cette valeur d’adhérence
appartient nécessairement à K (Théorème 4.2.2).
Projection Euclidienne sur un fermé
Rappelons que, si (E , <, >) est un espace Euclidien, et S une partie quelconque de E , on appelle projection Euclidienne d’un point x de E sur S toute
solution du problème de minimisation :
(P)
Min ∣ x − y ∣
(4.21)
s.c. y ∈ S
(Définition ??). Pour toute partie S de E et tout point x dans E , on note :
d S (x ) = inf ∣ x − y ∣ , et : P S (x ) = { y ∈ S ∣ d S (x ) = ∣ x − y ∣}
y ∈S
(4.22)
Théorème 4.5.2 Pour tout espace Euclidien (E , <, >), et toute partie fermée non
vide S de E :
1. Tout point de E admet (au moins) une projection sur S :
2. L’ensemble des points ayant une unique projection sur S est dense dans E .
Plus précisément : y ∈ P S (x ), et : 0 < t ≤ 1 ⇒ P S ( t y + (1 − t )x ) = { y } .
3. Si en outre S est convexe, tout point de E a une unique projection sur S (3).
Preuve : 1. Toute suite minimisante y (k ) du problème (P) est évidemment bornée puisque, par définition :
∣ x − y (k )∣ → d S (x ) < +∞
Elle admet donc au moins un point d’adhérence y, et, par continuité de la norme
Euclidienne : ∣ x − y ∣ = d S (x ) , donc y est solution de (P).
2. Soient : y ∈ P S (x ), x t = t y + (1 − t ) x (0 < t ≤ 1 ), et : z ∈ P S (x t ) . Si : x = y ,
x t = y , et : P S (x t ) = P S ( y ) = { y } . Sinon, par définition de la projection Euclidienne :
∣ z − xt ∣ + ∣ xt − x ∣ ≤ ∣ y − xt ∣ + ∣ xt − x ∣ = ∣ x − y ∣
. . . ≤ ∣ x − z ∣ ≤ ∣ z − xt ∣ + ∣ xt − x ∣
3. C’est, en particulier, le cas si S est un sous-espace vectoriel de E (Théorème ??), mais aussi
lorsque S est, par exemple, un sous-espace affine ou un polyèdre de E .
94
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
Fig. 4.1 – Projection sur le bord d’un carré dans R2 : tout point situé sur une
diagonale a deux projections sur le bord, sauf le centre du carré qui
en a quatre.
qui implique : « z − x t et : x t − x = t ( y − x ) colinéaires de même sens », donc :
« z − x t et : y − x t = (1 − t )( y − x ) colinéaires de même sens » (Proposition ??),
mais aussi : ∣ z − x t ∣ = ∣ y − x t ∣ . Finalement : z = y .
3. Pour tout triplet de points x, y, et z de E , la fonction :
ϕx,y,z ∶ R ↦ R ∶ t ↦ ∣ x − t y − (1 − t ) z ∣ = . . .
2
2
. . . = t 2 ∣ x − y ∣ + (1 − t )2 ∣ x − z ∣ − 2 t (1 − t ) < x − y, x − z >
2
est de classe C 2 , et, pour tout t dans R :
ϕ′′
x,y,z (t ) = 2 ∣ x − y ∣ + 2 ∣ x − z ∣ − 4 < x − y, x − z > = 2 ∣ y − z ∣
2
2
2
Si y et z étaient deux projections distinctes de x sur S , ϕx,y,z serait strictement
convexe, et on devrait donc avoir :
1
1
2
2
ϕx,y,z ( ) <
ϕx,y,z (0) +
1
2
ϕx,y,z (1)
c’est-à-dire :
1
1
2
2
2
∣x − y − z ∣ <
1
2
∣ x − y ∣2 +
1
2
∣ x − z ∣2 =
1
2
d S ( x )2 +
1
2
ce qui est absurde, puisque, S étant convexe :
x ∈ S, y ∈ S ⇒
1
2
y+
1
2
z ∈ S ⇒ d S (x ) ≤ ∣ x −
1
2
y−
1
2
z∣
d S ( x )2 = d S ( x )2
4.5. PARTIES COMPACTES
95
Exemple 4.5.1 Tout point extérieur au carré de la figure 4.1 a une unique projection sur le carré (le carré est convexe). Tout point intérieur qui n’est pas sur une
diagonale est sur le segment joignant un point de l’une des diagonales à l’une de
ses projections sur le bord, donc a une unique projection sur le bord.
t On dit que l’ensemble x des points d’un ouvert borné O de Rn n’appartenant à aucun
« rayon de projection », c’est-à-dire à aucun segment joignant un point y de O, distinct
de x , à l’une de ses projections sur ∂O, est le « squelette » de l’ouvert O. Le squelette du
carré de la figure 4.1 est par exemple la réunion des deux diagonales du carré. Il existe
des ouverts convexes bornés de R2 dont le squelette est dense dans E . On ne sait pas
caractériser les ouverts bornés dont le squelette est contenu dans un ensemble fermé
d’intérieur vide, comme la réunion des deux diagonales d’un carré.
Fonctions homogènes
Signalons pour conclure ce chapître une autre application du théorème de
Weierstrass, très utile en pratique pour effectuer des majorations. Elle concerne
les fonctions à valeurs réelles dites « homogènes ». Soit E un espace de dimension finie quelconque.
Définition 4.5.2 On dit qu’une fonction f ∶ E /{0E } ↦ R est « homogène », « de
degré d », si :
t ≥ 0, x ∈ E /{0E } ⇒ f (t x ) = t d f (x )
(4.23)
Exemple 4.5.2 Toute forme linéaire sur un espace de dimension finie est homogène de degré un.
Exemple 4.5.3 Toute fonction quadratique sur un espace de dimension finie est
homogène de degré deux.
Théorème 4.5.3 Pour toute fonction f ∶ E /{0E } ↦ R , continue et homogène de
degré : d > 0, et toute norme Euclidienne sur E , il existe des constantes réelles
positives α et β telles que :
∀x ∈ E /{0E },
α ∣x ∣
d
≤ ∣ f (x )∣ ≤ β ∣ x ∣d
(4.24)
et si f ne s’annule pas, on peut choisir : α > 0 .
Preuve : La « sphère unité » S = {x ∈ E ∣ ∣ x ∣ = 1} est un compact de E . Du théorème de Weierstrass (Corollaire 4.5.1), il résulte l’existence de deux éléments x̂ 1
et x̂ 2 dans S tels que :
∣ f (x̂ 1 )∣ = inf ∣ f (x )∣ ≤ sup ∣ f (x )∣ = ∣ f (x̂ 2 )∣
x ∈S
x ∈S
96
CHAPITRE 4. ELÉMENTS DE TOPOLOGIE
En particulier :
α = inf ∣ f (x )∣ ≤ sup ∣ f (x )∣ = β < + ∞
x ∈S
x ∈S
et, pour tout x dans E /{0E } :
α ∣x ∣
d
≤ ∣ x ∣d ∣ f (
x
∣x ∣
)∣ = ∣ f (x )∣ ≤ β ∣ x ∣d
Enfin si f ne s’annule pas : α = f (x̂ 1 ) > 0 .
Corollaire 4.5.3 Toute fonction continue f ∶ E /{0E } ↦ R , homogène de degré :
d > 0, se prolonge par continuité à l’espace E tout entier en posant : f (0E ) = 0 .
Exemple 4.5.4 La fonction f ∶ R2 /{(0, 0)} ↦ R ∶ (x 1 , x 2 ) ↦
par continuité en (0, 0).
Preuve : ∣ x 2 ∣ = y 2 ⇒ ∣ f (x 1 , x 2 )∣ ≤ ∣
x1 y 6
x 14 + y 4
x 1 x 23
x 14 + x 22
se prolonge
∣ ≤ β (x 12 + y 2 )3/2 = β (x 12 + x 24 )3/2
Epilogue
On dit qu’une fonction : d ∶ E × E ↦ [ 0, +∞[ définit une « distance » sur un
ensemble E lorsqu’elle vérifie les trois propriétés :
(D1 ) Elle est symétrique :
∀x, y ∈ E
d (x, y ) = d ( y, x )
(4.25)
(D2 ) Elle vérifie l’inégalité triangulaire
∀x, y, z ∈ E
d (x, y ) ≤ d (x, z ) + d (z, y )
(4.26)
(D3 ) Elle ne s’annule que si : x = y :
x, y ∈ E , d (x, y ) = 0 ⇒ x = y
(4.27)
On dit que l’on a muni E d’une « structure métrique », ou, plus simplement
d’une « métrique », lorsqu’on y a défini une distance, et qu’une topologie sur E
est « métrisable » lorsqu’elle est engendrée par les « boules ouvertes » :
B (c, r ) = {x ∈ A ∣ d (x, c ) < r }
(c ∈ A, r > 0)
associées à une distance sur E . Dans tout espace Euclidien (E , <, >) en particulier, la norme Euclidienne induit une distance naturelle :
d ∶ E × E ↦ [ 0, +∞[∶ (x, y ) ↦ d (x, y ) = ∣ x − y ∣
4.5. PARTIES COMPACTES
97
dont les boules ouvertes engendrent la topologie usuelle de E . Cette topologie
est donc métrisable . L’une des conséquences importantes de cette propriété est
que tout point admet une base dénombrable de voisinages (4). C’est fondamentalement la raison pour laquelle une partie A est fermée pour la topologie engendrée sur E par les boules ouvertes si et seulement si elle coïncide avec son
adhérence (Théorème 4.2.2), c’est-à-dire avec l’ensemble des limites des suites
de points de A , ou, de manière équivalente, est un ouvert de cette topologie
si et seulement si elle coïncide avec son intérieur. C’est cette définition intuitive d’un ouvert qui a été choisie pour introduire dans ce chapître la topologie
usuelle des espaces de dimension finie (Définition 4.2.3). Le fait que cette topologie soit engendrée par les boules ouvertes associées à une quelconque structure Euclidienne apparait alors comme une conséquence de la définition 4.2.3
(Corollaire 4.3.2). Le point important que met en évidence cette approche est
que la topologie usuelle de tout espace de dimension finie E peut être définie de
maniète intrinsèque, indépendamment de la donnée d’une quelconque structure
Euclidienne sur E .
La topologie induite sur toute partie A d’un espace de dimension finie E est
également métrisable : la restriction à A × A de la distance :
d ∶ E × E ↦ [ 0, +∞[∶ (x, y ) ↦ ∣ x − y ∣
induite par une quelconque métrique Euclidienne sur E , est encore une distance
sur A. Les « boules ouvertes » :
B (c, r ) = {x ∈ A ∣ d (x, c ) = ∣ x − c ∣ < r }
(c ∈ A, r > 0)
associées à cette distance sont les traces sur A des boules ouvertes associées à la
métrique de E , et engendrent la topologie induite sur A par la topologie usuelle
de E .
Dans toute la suite, on supposera systématiquement tout espace de dimension
finie E muni de sa topologie usuelle , et toute partie de E munie de la topologie
induite par la topologie de E .
On parlera de fermés , d’ouverts , ou de voisinages d’un point sans préciser
à chaque fois qu’il s’agit de fermés, d’ouverts, ou de voisinages pour la topologie usuelle de E , ou, si D est une partie quelconque de E , de fermés , d’ouverts ,
ou de voisinages d’un point de D « dans D » sans préciser à chaque fois qu’il
s’agit de fermés, d’ouverts, ou de voisinages pour la topologie induite sur D par
la topologie de E .
Le théorème 4.4.1 est la clé permettant de reconnaître en pratique les ouverts et les fermés d’un espace de dimension finie E , ou d’une partie D de E munie de la topologie induite sur D par la topologie usuelle de E . Le théorème de
Weierstrass (Corollaire 4.5.1) garantit que toute fonction continue f ∶ D ⊂ E ↦ R
4. Par exemple : les boules ouvertes de rayon 2−k (k ∈ N) centrées en ce point.
98
CHAPITRE 4. EXERCICES
atteint son minimum et son maximum sur toute partie fermée bornée de E contenue dans D. Directement ou indirectement, ce théorème est à la base de toute
preuve d’existence de solutions d’un problème d’optimisation dans lequel l’ensemble des valeurs admissibles de la variable d’optimisation est une partie d’un
espace de dimension finie.
Exercices
Exercice 4.1
Prouver que, dans tout espace de dimension finie, toute partie réduite à un
point est fermée. Déduire que toute partie finie est fermée.
Exercice 4.2
Prouver que tout sous-espace vectoriel F d’un espace de dimension finie E
est fermé dans E .
t indication: Si (E , <, >) est un espace Euclidien : x ∈ F c ⇒ dF (x ) = inf y ∈F ∣ x − y ∣ > 0
Exercice 4.3
On considère le simplexe :
3
S = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R3 ∣ ∑ x i ≥ 0, x i ≥ 0( 1 ≤ i ≤ 3)}
i =1
1. Quel argument simple permet de garantir que S est un fermé de R3 .
2. Quel est l’intérieur de S ? Quelle est sa frontière ?
3. Plus généralement, si A est une m × n matrice réelle, autre que la matrice
nulle, et b un vecteur quelconque de Rm , quel est l’intérieur du polyèdre
S = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x ≤ b } ? Justifier.
Exercice 4.4
On considère l’ensemble D =] 0, +∞[×] 0, +∞[ , et la fonction :
f ∶ D ⊂ R2 ↦ R ∶ (x 1 , x 2 ) ↦ x 1 ln x 1 + x 2 ln x 2
1. L’ensemble : O = {(x 1 , x 2 ) ∈ D ∣ f (x 1 , x 2 ) < 1} est un ouvert. Pourquoi ?
2. L’ensemble : F = {(x 1 , x 2 ) ∈ D ∣ f (x 1 , x 2 ) ≤ 1} est un fermé de D, mais pas
de R2 . Pourquoi ?
3. Prouver que O et F sont convexes.
CHAPITRE 4. EXERCICES
99
4. Représenter sur un même dessin O , F , et l’adhérence O de O dans R2 .
t indication:
○ x ln x = 1 ⇒ x ≃ 1.7632 . Essayer pour le vérifier, la commande O CTAVE :
[email protected](x)(x⋆log(x);fzero(f,1)
qui cherche une solution voisine de un de l’équation : x ln x = 1, x ∈] 0, +∞[ ? .
○ La relation : x 1 ln x 1 + x 2 ln x 2 = 1 définit, sur un voisinage à droite de zéro, x 2 comme
fonction de x 1 . Quel est la limite de sa dérivée lorsque : x 1 → 0+ ? Comment ce résultat
s’interprète-il géométriquement ?
Exercice 4.5 (Intérieur et adhérence d’un ensemble de niveau)
Soient E un espace de dimension finie, f ∶ E ↦ R une fonction continue, et
c un nombre réel quelconques. On suppose E muni de sa topologie usuelle.
1. L’adhérence de S c = {x ∈ E ∣ f (x ) < c } est contenue dans {x ∈ E ∣ f (x ) ≤ c } .
Pourquoi ? Donner un exemple montrant que l’inclusion peut être stricte,
même si S c n’est pas vide.
2. L’intérieur de {x ∈ E ∣ f (x ) ≤ c } contient S c . Pourquoi ? Donner un exemple
montrant que, là encore, l’inclusion peut être stricte.
3. Prouver néanmoins que si f est homogène de degré : d > 0, et : c ≠ 0 :
○
S c = {x ∈ E ∣ f (x ) ≤ c }, et : S c = S c
4. Déduire que, dans tout espace Euclidien (E , <, >), l’adhérence de la boule
ouverte : B (c, r ) = {x ∈ E ∣ ∣ x − c ∣ < r } de centre c , et de rayon : r > 0, est la
« boule fermée » de même centre et de même rayon :
B (c, r ) = {x ∈ E ∣ ∣ x − c ∣ ≤ r }
Exercice 4.6
Soient E un espace de dimension finie muni de sa topologie usuelle, F une
partie fermée de E , et ` ∶ E ↦ R une forme linéaire sur E .
1. Montrer que, si F est bornée, `(F ) est un fermé de R .
2. Donner un exemple d’une partie fermée F de R2 telle qu’aucune de ses
images par les projections projections p i ∶ R2 ↦ R ∶ (x 1 , x 2 ) ↦ x i ( i = 1, 2) ne
soit fermée.
Exercice 4.7 ( ∗) (Image du cône positif par une application linéaire)
On se propose de prouver, dans cet exercice, que l’image du cône positif :
C = {x ∈ Rn ∣ x ≥ 0 Rn } de Rn par l’application linéaire :
` ∶ R − n ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x
où A est une m × n matrice réelle donnée, est toujours fermée dans Rm .
100
CHAPITRE 4. EXERCICES
1. S = {x ∈ C ∣ ∑ni=1 x i = 1} est un simplexe. Pourquoi ? Vérifier que ce simplexe
possède exactement n sommets (Voir l’exercice ??).
2. Prouver que C est le cône de sommet 0 Rn engendré par S (Définition ??).
3. Déduire que K = `(C ) est le cône engendré par `(S ) .
4. Déduire qu’il existe une partie finie F = {e (1), . . . , e (n )} de Rm telle que
`(C ) soit le cône engendré par l’enveloppe convexe coF de F .
5. Soit J une partie de {1, . . . , n } telle que les e ( j ) ( j ∈ J ) soient linéairement
indépendants , c’es-à-dire :
∑ y j e ( j ) = 0 Rm ⇒ y j = 0 ( j ∈ J )
j ∈J
On note : F ( J ) = {e ( j ) ∣ j ∈ J } . Prouver que le cône :
K ( J ) = { y ∈ Rm ∣ y = ∑ y j e ( j ), y j ≥ 0 ( j ∈ J )}
j ∈J
engendré par l’enveloppe convexe de F ( J ) est fermé.
t indication: L’application linéaire L J ∶ R ∣ J ∣ ↦ Rm qui, à tout ∣ J ∣-uplet de réels y j ( j ∈ J )
associe le vecteur ∑ j ∈ J y j e ( j ) de Rm est un isomorphisme de R ∣ J ∣ sur son image dans
Rm , et K ( J ) est l’image par L J du cône positif de R ∣ J ∣ .
6. Prouver que, pour tout élément y de K , il existe une partie J de {1, . . . , n }
telle que y appartienne au cône K ( J ) et que les e ( j ) ( j ∈ J ) soient linéairement indépendants.
t indication: Si : J 0 = {1, . . . , n } ne convient pas, il existe une condition de liaison :
∑ z j e ( j ) = 0 Rm
j ∈J0
telle que les z j ( j ∈ J 0 ) ne soient pas tous nuls. Observez alors que, pour tout réel t :
y = ∑ y j e ( j ) ⇒ y = ∑ (y j + t z j ) e ( j )
j ∈J0
j ∈J0
En chosissant t judicieusement, déduire que : y ∈ K ( J 0 ) ⇒ y ∈ K ( J 1 ) , où : ∣ J 1 ∣ = n − 1 .
Continuez . . .
7. Conclure que `(C ) est fermé.
t indication: Prouver que c’est une réunion finie de K ( J ) .
8. Application : Déduire que, pour toute m × n matrice réelle A , et tout vecteur
b de Rm , le problème :
(P)
Min
s.c. x ≥ 0
a des solutions.
∣ A ⋆x −b∣
CHAPITRE 4. EXERCICES
101
Exercice 4.8 ( ∗) (Bord d’un ouvert ou d’un fermé)
Soit E un espace de dimension finie quelconque muni de sa topologie usuelle.
1. Prouver que le bord de tout ouvert de E est d’intérieur vide.
○
Í serait voisinage de
t indication: Si a était un élément quelconque de l’intérieur de ∂O , ∂O
a , donc . . .
2. Déduire que le bord de tout fermé est d’intérieur vide.
3. Donner un exemple d’une partie de R dont le bord est d’intérieur non vide.
Exercice 4.9 ( ∗) (Bord d’une partie convexe )
Soient E un espace de dimension finie, et C une partie convexe de E .
1. Prouver que l’adhérence C de C est convexe.
2. On suppose E muni d’une structure Euclidienne. Vérifier que, si C contient
la boule ouverte B (b, r ) de centre b et de rayon : r > 0 , alors :
0 ≤ t < 1, ∣ v ∣ < t r ⇒ t b + (1 − t ) a + v ∈ C
○
(4.28)
○
Déduire : a ∈ C , b ∈ C , 0 < t ≤ 1 ⇒ t b + (1 − t ) a ∈ C , et conclure que l’inté○
rieur C de C est également convexe.
t indication: On poura s’aider d’un dessin dans R2 .
○
Í = ∅.
3. Etablir : C ≠ ∅ ⇒ ∂C = ∂ (C ) ⇒ ∂C
○
○
t indication: La première implication est conséquence de (4.28). La seconde est affaire de
○
pure logique : si un point a appartenait à l’intérieur de : ∂C = ∂ (C ) , ∂C serait voisinage
○
de a , donc devrait rencontrer C . . .
○
Í = ∅.
4. Etablir : C = ∅ ⇒ ∂C = C ⇒ ∂C
○
t indication: La première implication est triviale. Pour prouver la seconde, raisonner par
l’absurde en utilisant 3 et le résultat de l’exercice 4.8.
Exercice 4.10 (Distance Euclidienne de deux fermés)
Soient (E , <, >) un espace Euclidien, A et B deux fermés de E . On pose :
d B (x ) = inf ∣ x − y ∣ , et : d ( A, B ) = inf d B (x ) = inf inf ∣ x − y ∣
y ∈B
x∈A
1. Prouver que, pour tout couple (x, y ) de points de E :
d B (x ) ≤ d B ( y ) + ∣ x − y ∣
x ∈ A y ∈B
102
CHAPITRE 4. EXERCICES
2. Déduire que d B ∶ E ↦ R ∶ x ↦ d B (x ) est une fonction continue.
Réponse: Si x (k ) converge vers x :
d B (x ) − ∣ x − x (k )∣ ≤ d B (x (k )) ≤ d B (x ) + ∣ x − x (k )∣
donc : limk →+∞ d B (x (k )) = d B (x ) .
3. Déduire que, si l’un des deux ensembles A ou B est compact, on peut trouver deux points a et b dans A et B respectivement tels que :
d ( A, B ) = ∣ a − b ∣
4. Déduire que deux fermés disjoints dont l’un au moins est compact sont toujours contenus dans des ouverts disjoints.
t indication: Si A et B sont disjoints, et l’un au moins est compact : r = d ( A, B ) > 0 . Considérer les ensembles :
U = {x ∈ E ∣ d A (x ) < r /2},
et :
V = { y ∈ E ∣ d B ( y ) < r /2}
5. Dans R2 muni de son produit scalaire usuel, donner un exemple de deux
fermés A et B disjoints tels que : d ( A, B ) = 0 .
6. On considère l’espace Euclidien obtenu en munissant M R (n ) de son produit scalaire usuel : < A, B >= tr( A ′ ⋆ B ) . Prouver que, pour toute n × n matrice réelle A, il existe une matrice diagonale D̂ et une matrice orthogonale
P̂ telles que :
∣ D̂ − P̂ ′ ⋆ A ⋆ P̂ ∣ =
inf
inf ∣ D − P ′ ⋆ A ⋆ P ∣
D ∈∆(n ) P ∈I(n )
où ∆(n ) et O(n ) désignent respectivement l’ensemble des matrices diagonales et l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre n.
Exercice 4.11 (Nearest Correlation Matrix)
Une matrice de corrélation est une matrice n × n matrice réelle C , de terme
général :
j
Ci =
E( X i X j ) − E( X i ) E( X j )
σ( X i ) σ( X j )
( 1 ≤ i , j ≤ n)
où les X i ( 1 ≤ i ≤ n) sont n variables aléatoires réelles, E( X i ) et σ( X i ) désignent respectivement l’espérance et l’écart type de X i ( 1 ≤ i ≤ n). Une matrice de corrélation peut en fait être caractérisée comme une n ×n matrice réelle
symétrique, SDP , ne contenant que des « uns » sur sa diagonale .
CHAPITRE 4. EXERCICES
103
Un problème récurrent en finance (5) consiste à trouver la meilleure approximation d’une n × n matrice réelle donnée A par une matrice de corrélation :
(P)
Min
s.c.
C = C , C SDP
∣ A −C ∣
′
C ii = 1 ( 1 ≤ i ≤ n)
lorsque l’espace M R (n ) est muni de son produit scalaire usuel : < A, B >= tr ( A ′ ⋆ B )
Justifier l’existence d’au moins une solution de ce problème. Est-elle nécessairement unique ?
Exercice 4.12 ( ∗) (Connexité)
On dit qu’un espace topologique est « connexe » s’il n’est pas réunion de deux
ouverts disjoints non vides. On dit qu’une partie S d’un espace topologique E
est « connexe » si l’espace topologique obtenu en munissant S de la topologie
induite sur S par la topologie de E est connexe.
1. Prouver que, dans tout espace de dimension finie E , muni de sa topologie
usuelle :
a. Aucun doubleton {a, b } (a, b ∈ E , a ≠ b) n’est connexe.
b. Tout segment [ a, b ] est connexe.
t indication: S’il existait deux ouverts non vides O 1 et O 2 de [ a, b ] tels que :
[ a, b ] = O 1 ∪ O 2 et : O 1 ∩ O 2 = ∅
on pourrait, quitte à permuter les rôles de O 1 et O 2 , trouver un segment [ c, d ] contenu
dans [ a, b ] tel que : c ∈ O 1 , et : d ∈ O 2 . Montrer que cela est impossible en considérant le
point : θ d + (1 − θ ) c , où :
θ = inf{t ∈ [ 0, 1 ] ∣ t d + (1 − t ) c ∈ O 2 }
c. Toute partie convexe est connexe.
2. Déduire que, dans tout espace de dimension finie E , les seules parties à la
fois ouvertes et fermées pour la topologie usuelle sont E et l’ensemble vide.
3. Si E et F sont deux espaces de dimensions finies munis de leurs topologies
usuelles, D une partie connexe de E , et f ∶ D ⊂ E ↦ F une fonction continue, f (D ) est connexe.
Exercice 4.13 ( ∗)
Soit (E , <, >) un espace Euclidien, x (k ) une suite bornée d’éléments de E , et
S l’ensemble (non vide) des valeurs d’adhérence de x (k ).
5. Voir par exemple : Borsdorf Rüdiger, Higham, Nicholas J., A preconditionned Newton Algorithm for the nearest correlation matrix , IMA J. Numer. Anal. 30 (2010), no 1, pp. 94-107.
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CHAPITRE 4. EXERCICES
1. Prouver que S est un fermé de la topologie usuelle de E .
2. Prouver que, si x (k ) vérifie :
∣ x (k + 1) − x (k )∣ → 0
(4.29)
S est connexe (Voir Exercice 4.12 pour la définition d’une partie connexe).
Est-il nécessairement réduit à un point ?
t indication: Si S était réunion de deux ouverts disjoints non vides O 1 et O 2 , prouver que
l’on devrait avoir : d (O 1 ,O 2 ) = inf{∣ x 1 − x 2 ∣ ∣ x i ∈ O i , i = 1, 2} > 0 . Montrer que cela est
impossible.
3. ( ∗∗) Imaginer, dans R2 , une suite x (k ) non bornée, mais vérifiant (4.29),
dont l’ensemble des valeurs d’adhérence n’est pas connexe.
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