p X X X X n o

Groupe 3
annee 2009/20010
FE 01. Nombres complexes.
0 : application directe du cours, verication des connaissances.
1 : grand classique, a conna^tre.
2 : protable, instructif.
3 : pour s'exercer, si on en a le temps.
4 : dicile.
5 : original, astucieux, amusant.
0 D
Exercice 1 ecrire l'ensemble des nombres complexes z tels que z ,
z + 1 aient m^eme module.
0 Di
erentes ecritures.
Exercice 2 1. Ecrire sous forme cartesienne :
a = 2i (2 3i)2; b = ( 1+2i)3; c =
2. Ecrire sous forme exponentielle : 1
1
2+3i
;d =
3+i
2+i
; e = 2ei 6 ; f = 3e
p
1
z
et
2i 3
i; 1 + i; i; 1; 1 + i 3
3. Ecrire sous forme exponentielle
A = cos(x) isin(x); B = sin(x) + icos(x); C = sin(x) + icos(x).
0 Exercices de simplication.
Exercice 3
1. Simplier Z =
2. Simplier
(1+i)4
(1 i)3
p
3p 3 i
3+2i
et en deduire une ecriture simple de Z 25 .
i)
+ (1
(1+i)3 .
4
0 Formule d'Euler, linearisation.
1. Lineariser cos6 (x); cos(x) cos(2x).
2. Trouver une primitive de x 7! sin5 (x).
1 Pour tout n 2 N , et tout r
eel x, calculer :
Exercice 5 Exercice 4
Cn(x) =
puis
Dn(x) =
n
X
k=0
n
X
k=0
cos(kx) et Sn (x) =
k cos(kx) et Tn(x) =
n
X
k=0
n
X
k=0
sin(kx);
k sin(kx):
Considerer Cn (x) + iSn (x), et utiliser la formule de Moivre (attention, il
faudra distinguer deux cas pour la reponse). Pour la seconde question,
penser a une derivation.
n
p 5 n
o
(1 i 3)
0 D
Exercice 6 eterminer l'ensemble n 2 N ; (1 i)3
2R+ .
La forme trigonometrique se comporte bien avec le produit et le quotient.
Cette remarque permet d'eviter ici de fastidieux calculs algebriques.
1
0 D
Exercice 7 eterminer les racines carrees complexes.
a = 1 + i; b = 5 + 12i; c = 3 + 4i; d = 15 + 8i; e = 9 + 40i.
0 R
Exercice 8 esoudre dans C les equations suivantes :
2
1)9z
3(3 i)z + 4 3i = 0; 2)z 2 + z + 1 = 0; 3)z 2 + 2iz
0; 4)z 2 + 2iz + 1 = 0
5 =
0 R
Exercice 9 esoudre dans C les equations suivantes : z 3 = i; z 4 =
1; z 3 = 1 + i
3
Exercice 10 1. Resoudre l'equation (1 + i)z 2
4iz + 26
2i = 0.
2. Resoudre l'equation
i)z 3 + ( 4 + 8i)z 2 + (3 25i)z + 30i = 0;
(1
sachant qu'elle admet une solution reelle.
Commencer par trouver une solution reelle, en separant termes reels
et termes imaginaires purs.
3. Resoudre l'equation
z3
(5 + 3i)z 2 + (7 + 16i)z + 3
21i = 0;
sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure.
4. Resoudre l'equation
z 6 + (2i 1)z 3 1 i = 0:
On pourra poser y = z 3 .
1 Egalit
e du parallelogramme. Soit z et z 0 deux nombres
Exercice 11 complexes, demontrer que :
jz + z0j2 + jz
z 0j2 = 2(jz j2 + jz 0j2)
. Donner une interpreptation geometrique.
3 Montrer que deux nombres complexes z et z 0 distincts
Exercice 12 ont m^eme module () :
9 2 R ; z + z0 = i (z z0) :
2 Exprimer comme un polyn^
Exercice 13 ome de la fonction cosinus la
fonction f denie par f (2k ) = 6 et f ((2k + 1) ) = 6 pour tout k 2 Z
et, pour tout reel x 2
= fk; k 2 Z g, par
sin 6x
f (x ) =
:
sin x
2
Utiliser la formule de Moivre. N'oubliez de verier que la formule trouvee
convient en un multiple entier de .
3 Soit z1 ; z2 ; : : : ; zn des nombres complexes non nuls, o
Exercice 14 u
n 2. Montrer l'equivalence :
(jz1 + z2 + + zn j = jz1 j + jz2 j + + jzn j) , (les zi ont tous m^eme argument):
Proceder par recurrence.
0 Interpr
Exercice 15 etation geometrique des nombres complexes.
1. Representer dans le plan complexe les points M d'axe z tels que
jz + ij = jz ij.
2. Representer dans le plan complexe les points M d'axe z tels que
jzj = j z1 j = j1 zj.
3. Representer dans le plan complexe les points M d'axe z tels que
z 2 2 R.
z +i
4. Representer dans le plan complexe les points M d'axe z tels que
j(1 + i)z 2ij = 2.
2 Soit a et b deux complexes distincts, et soit un r
Exercice 16 eel
strictement positif. Decrire l'ensemble C , ou :
C = fz 2 C ; jz bj = jz ajg:
Un tel ensemble est appele ligne de niveau. Pour le decrire, la voie
algebrique et la voie geometrique fonctionnent bien. Attention, la nature
de l'ensemble dependra de la valeur de .
1
Exercice 17 Soit (a; b) 2 R 2 f(0; 0)g. Determiner un reel A > 0 et un reel de
sorte que :
8 2 R ; a cos + b sin = A cos ( + )
Exercice classique qui sera utile surtout en physique. Vous pouvez partir
de l'expression a droite et la developper puis identier, mais il ne s'agit la
que d'une phase d'analyse. On determine explicitement A mais pas (sauf
dans quelques cas particuliers).
Montrer algebriquement puis geometriquement que si jz j = 1, alors j1 +
z j 1 ou j1 + z 2j 1.
3 R
Exercice 18 esoudre l'equation cos(3x) 2 cos(2x) = 0, d'inconnue
reelle x.
4 Soit a; b; c des nombres complexes distincts deux Exercice 19 a deux,
d'images respectives A,B,C. Montrer que les propositions suivantes sont
equivalentes :
3
1. ABC est un triangle equilateral ;
2. j ou j 2 est solution de az 2 + bz + c = 0 ;
3. a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ;
4. a 1 b + b 1 c + c 1 a = 0.
1
Exercice 20 1. Determiner les racines quatrieme de i (a) sous forme polaire (b) sous
forme algebrique.
2. En deduire l'expression de cos( 8 ) et sin( 8 ) a l'aide de radicaux.
Exercice 21
:
4 Soit n 1, a 2 R .
En deduire la valeur de
Resoudre l'equation (d'inconnue z )
(z + 1)n = e2ina :
k
:
Pn = sin a +
n
k=0
nY1
Cet exercice anticipe legeS
rement sur le cours sur les polyn^omes.
2 A-t-on
Exercice 22 Un = U ?
n 2N La reponse est non. On a une inclusion evidente. Pour montrer que
l'autre
inclusion est fausse,
p
p vous pouvez utiliser par exemple le nombre
i
2
e , et l'irrationalite de 2.
3 (X 04)
Exercice 23 2
Soient a; b; c 2 C avec jaj = jbj = jcj = 1 et a 6= c. Montrer : ab ((cc ab))2 2
R +.
On peut utiliser la forme exponentielle. Quand on a une expression du
type ei ei (ou ; 2 R ), on a souvent inter^et a factoriser par ei(+ )=2
(astuce de "`l'angle moitie"').
3 (X 04)
Exercice 24 (5+i)4
Montrer que (239+
eel. Ce resultat permet d'approcher . Exi)(1+i) est r
pliquer comment.
Un simple calcul sut. Il est trop t^ot pour traiter cette question !
1 (demi-plan de Poincar
Exercice 25 e)
Soit (a; b; c; d) un quadruplet de reels tels que ad bc = 1, et soit H
l'ensemble
H = fz 2 C ; =z > 0g:
4
Montrer :
+b
8z 2 H; az
2H
cz + d
Cette propriete est-elle plus generalement vraie pour tout quadruplet de
complexes tels que ad bc = 1 ?
5