Le support de révisions sur les nombres complexes

TS - Maths - Révisions
Nombres complexes
Exercice 1 LIBAN 2014
On considère la suite de nombres complexes (zn)définie par z0=p3−i et pour tout entier naturel n:
zn+1=(1+i)zn.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel n, on pose un=|zn|.
1. Calculer u0.
2. Démontrer que (un)est la suite géométrique de raison p2 et de premier terme 2.
3. Pour tout entier naturel n, exprimer unen fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (un).
5. Etant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, la plus petite valeur de
l’entier naturel ntelle que un>p.
Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon
à afficher la valeur cherchée de l’entier n.
Variables :uest un réel
pest un réel
nest un entier
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 2
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement :
Sortie :
Partie B
1. Déterminer la forme algébrique de z1.
2. Déterminer la forme exponentielle de z0et de 1 +i.
En déduire la forme exponentielle de z1.
3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cosπ
12
Exercice 2 ANTILLES-GUYANE 2014
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé O;−→ u,−→ v. On prendra comme unité 2 cm sur chaque
axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction fqui à tout nombre complexe zassocie
f(z)=z2+2z+9.
TS - Révisions - Complexes - Page 1/ 11

1. Calculer l’image de −1+ip3 par la fonction f.
2. Résoudre dans Cl’équation f(z)=5.
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’affixe est solution de
l’équation (A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3. Soit λun nombre réel. On considère l’équation f(z)=λd’inconnue z.
Déterminer l’ensemble des valeurs de λpour lesquelles l’équation f(z)=λadmet deux solutions com-
plexes conjuguées.
4. Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zvérifie
|f(z)−8|=3.
Prouver que (F) est le cercle de centre Ω(−1 ; 0) et de rayon p3.
Tracer (F) sur le graphique.
5. Soit zun nombre complexe, tel que z=x+iyoù xet ysont des nombres réels.
(a) Montrer que la forme algébrique de f(z) est
x2−y2+2x+9+i(2x y +2y).
(b) On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe zest telle que f(z) soit un
nombre réel.
Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1et D2dont on précisera les équations.
Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.
6. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F).
Exercice 3 PONDICHERY 2013
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O;−→ u,−→ v.
On note i le nombre complexe tel que i2=−1.
On considère le point A d’affixe zA=1 et le point B d’affixe zB=i.
à tout point Md’affixe zM=x+iy, avec xet ydeux réels tels que y̸= 0, on associe le point M′d’affixe
zM′=−izM.
On désigne par Ile milieu du segment [AM].
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point Mn’appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du
triangle OAMest aussi une hauteur du triangle OBM′(propriété 1) et que BM′=2OI(propriété 2).
1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
zM=2e−iπ
3.
(a) Déterminer la forme algébrique de zM.
(b) Montrer que zM′=−p3−i.
Déterminer le module et un argument de zM′.
(c) Placer les points A, B, M,M′et Idans le repère O;−→ u,−→ ven prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant zM=x+iyavec y̸=0.
(a) Déterminer l’affixe du point Ien fonction de xet y.
(b) Déterminer l’affixe du point M′en fonction de xet y.
(c) Ecrire les coordonnées des points I, B et M′.
TS - Révisions - Complexes - Page 2/ 11

(d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.
(e) Montrer que BM′=2OI.
Exercice 4 PONDICHERY 2014
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé O;−→ u,−→ v.
Pour tout entier naturel n, on note Anle point d’affixe zndéfini par :
z0=1 et zn+1=3
4+p3 4izn.
On définit la suite (rn)par rn=|zn|pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe 3
4+p3 4i.
2. (a) Montrer que la suite (rn)est géométrique de raison p3
2.
(b) En déduire l’expression de rnen fonction de n.
(c) Que dire de la longueur OAnlorsque ntend vers +∞?
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables nentier naturel
Rréel
Préel strictement positif
Entrée Demander la valeur de P
Traitement Rprend la valeur 1
nprend la valeur 0
Tant que R>P
nprend la valeur n+1
Rprend la valeur p3
2R
Fin tant que
Sortie Afficher n
(a) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P=0,5 ?
(b) Pour P=0,01 on obtient n=33. Quel est le rôle de cet algorithme ?
4. (a) Démontrer que le triangle OAnAn+1est rectangle en An+1.
(b) On admet que zn=rneínπ
6.
Déterminer les valeurs de npour lesquelles Anest un point de l’axe des ordonnées.
(c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A6,A7,A8
et A9.
Les traits de construction seront apparents.
Exercice 5 NOUVELLE CALEDONIE 2013
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O;−→ u,−→ v.
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1. Proposition : Pour tout entier naturel n: (1 +i)4n=(−4)n.
TS - Révisions - Complexes - Page 3/ 11

2. Soit (E) l’équation (z−4)z2−4z+8=0 où zdésigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans C, de (E) sont les sommets d’un triangle
d’aire 8.
3. Proposition : Pour tout nombre réel α, 1+e2iα=2eiαcos(α).
4. Soit A le point d’affixe zA=1
2(1+i) et Mnle point d’affixe (zA)noù ndésigne un entier naturel supérieur
ou égal à 2.
Proposition : si n−1 est divisible par 4, alors les points O, A et Mnsont alignés.
5. Soit j le nombre complexe de module 1 et d’argument 2π
3.
Proposition : 1+j+j2=0.
ANNEXE EXERCICE 3
A0
A1
A2
A3
A4
A5
O
ANNEXE EXERCICE 4
2
4
6
8
−2
2 4 6 8 10 12 14 16−2−4
A0
A3
A4
A5A6
0
TS - Révisions - Complexes - Page 4/ 11

TS - Maths - Révisions
Nombres complexes
CORRECTION
Exercice 1 LIBAN 2014
On considère la suite de nombres complexes (zn) définie par z0=p3−i et pour tout entier naturel n:
zn+1=(1+i)zn
Partie A
Pour tout entier naturel n, on pose un=|zn|.
1. u0=|z0|=p3−i=2.
2. un+1=|zn+1|=|(1+i)zn|=|1+i|×|zn|=p2|zn|=p2un
3. D’après le cours, pour tout entier naturel n, on a un=2p2n; (un) est la suite géométrique de raison
p2 et de premier terme u0=2.
4. (un) est une suite géométrique de raison p2>1 et de premier terme strictement positif, elle diverge
donc vers +∞.
5.
Variables :uest un réel
pest un réel
nest un entier
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 2
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement : Tant que uÉpFaire
Affecter à nla valeur n+1
Affecter à ula valeur p2×u
Fin du Tant Que
Sortie : Afficher n
Partie B
1. z1=(1+i)×(p3−i) =1+p3+i(p3−1).
2. z0=2p3
2−1 2i=2e−iπ/6
1+i=p2eiπ/4.
z1=2e−iπ/6 ×p2eiπ/4 =2p2eiπ/12.
3. Des deux questions précédentes, on obtient que
1+p3+i(p3−1) =2p2eiπ/12 =2p2cosπ
12+isinπ 12
D’où
cosπ
12=1+p3
2p2=p2+p6
4
TS - Révisions - Complexes - Page 5/ 11