Alg`ebre linéaire et géométrie pour le CAPES1 Olivier DEBARRE

Alg`ebre lin´eaire et g´eom´etrie pour le
CAPES1
Olivier DEBARRE
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Table des mati`eres
Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications lin´eaires 5
1. D´efinitions 5
2. Applications lin´eaires 5
3. Bases 5
Chapitre 2. R´eduction des endomorphismes 7
1. Sous-espaces stables 7
2. Sous-espaces propres et polynˆome caract´eristique 8
3. Trigonalisation 9
4. Polynˆome minimal 10
5. Espaces caract´eristiques 11
6. D´ecomposition de Dunford 14
Chapitre 3. G´eom´etrie affine 17
1. Espaces et sous-espaces affines 17
2. Applications affines 17
3. Rep`eres 18
4. Barycentres 18
5. Convexes 21
Chapitre 4. Espaces vectoriels euclidiens 23
1. Produit scalaire, norme 23
2. Bases orthogonales, bases orthonorm´ees 24
3. Endomorphismes sym´etriques 25
4. Isom´etries 27
5. Isom´etries du plan complexe 28
6. Isom´etries et d´eplacements de l’espace 28
7. Produit vectoriel 29
Chapitre 5. Espaces affines euclidiens 31
1. Projection sur un convexe 31
2. Isom´etries affines 33
3. Isom´etries et d´eplacements du plan 35
4. Similitudes 39
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4 TABLE DES MATI` ERES
5. Similitudes planes 40
6. Homographies 41
7. Isom´etries et d´eplacements de l’espace 42
Chapitre 6. Coniques et quadriques 45
1. Formes quadratiques 45
2. D´efinition des quadriques 47
3. Classification euclidienne des coniques 49
4. Classification euclidienne des quadriques 51
5. Coniques 51
6. Application `a la r´esolution d’´equations quadratiques dans Z55
7. Quadriques sur un corps fini 57

CHAPITRE 1
Espaces vectoriels et applications lin´eaires
1. D´efinitions
Espace vectoriel, sous-espace vectoriel.
Exemples : Rn, plan et droites dans R3.
Intersection de sous-espaces vectoriels, sous-espace vectoriel engendr´e par une
partie Scomme intersection des sous-espaces contenant Sou comme ensemble des
combinaisons lin´eaires d’´el´ements de S.
Somme de sous-espaces vectoriels comme sous-espace vectoriel engendr´e par la
r´eunion ou comme ensemble de sommes d’´el´ements de chaque sous-espace vectoriel.
Somme directe, exemples dans R3.
2. Applications lin´eaires
D´efinition, image, noyau (exemple avec ´equations dans R3). Exemples : sym´etries
et projections.
3. Bases
Famille g´en´eratrice, libre ; base. Th´eor`emes fondamentaux sur l’existence des
bases.
Formule du rang, formule de Grassmann.
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